प्रस्तावना खंड  

   

सूची खंड  

   
Banners
   

प्रस्तावनाखंड : विभाग पांचवा- विज्ञानेतिहास.
 
प्रकरण १३ वें.
गणितशास्त्राचा इतिहास
 
गणितशास्त्राची अर्वाचीन वाढ.- या शास्त्रांतील शुद्ध (प्युअर) व शास्त्रांतर्गत व्यवहारीय (अप्लाइड) अशा दोन निरनिराळ्या शाखांमध्यें कोणकोणते विषय पडतात तें पाहूं:-

शुद्ध
१. मूलभूत कल्पना (फंडामेंटल नोशन्स):

(अ) अंकगणिताचीं मूलतत्वें (फाउंडेशन्स ऑफ अरिथमेटिक);
(आ) व्यापक बीजगणित (युनिव्हर्सल आलजेब्रा);
(इ) संघमीमांसा (थिअरी ऑफ ग्रूप्स);

२. बीजगणित व संख्यामीमांसा (आलजेब्रा अॅड थिअरी ऑफ नंबर्स):

(अ) बीजगणिताचीं मूलतत्त्वें;
(आ) रेषाप्रतिनिवेशन (लिनियर सब्स्टिटयूशन्स);
(इ) बीजगणिती समीकरणांची मीमांसा
(ई) संख्यामीमांसा.

३. पृथक्करण (अॅनॅलिसिस):

(अ) पृथक्करणाची मूलभूत तत्त्वें ;
(आ) मिश्रचलफलांची मीमांसा (थिअरी ऑफ फंक्शन्स ऑफ कांप्लेक्स व्हेरिएबल्स);
(इ) बीजगणिती फलें व त्यांचीं उपचितें (आलजेब्राइक फंक्शन्स अँड देअर इंटग्रिल्स );
(ई) इतर विशिष्ट फलें;
(उ) चलन समीकरणें ( डिफरेन्शियल इक्वेशन्स );
( ऊ ) चलन रूपें आणि चलन स्थिरें ( डिफरेन्शियल फॉर्म्स अँड डिफरेन्शियल इन्व्हेरियंट्स );
( ऋ ) पादार्थिक विषयांशीं संबद्ध असणा-या पृथक्करणपद्धती (अॅनॅलिटिकल मेथड्स कनेक्टेड विथ फिजिकल सब्जेक्ट्स );
( ऋू ) अंतर समीकरणें आणि फलीय समीकरणें ( डिफरन्स इक्वेशन्स अँड फंक्शनल इक्केशन्स);

४. भूमिति:

( अ ) मूलतत्त्वें ( फाउंडेशन्स )
( आ ) प्राथमिक भूमिति ( एलेमेंटरी जिऑमेट्री );
( इ ) शंकुच्छेदीय व चतुरस्त्रक भूमिति ( जिऑमेट्री ऑफ कॉनिक्स अँड क्काड्रिक्स );
( ई ) बीजगणिती वक्रें आणि द्विपरिमाणापेक्षां मोठीं पृष्ठें ( आलजेब्राईक कर्वज अँड सरफेसेस ऑफ डिग्रीज हायर दॅन दि सेकंड )
( उ ) बीजगणिती आकृतींचीं रूपांतरें व सामान्य पद्धति ( ट्रॅन्स्फॉर्मेशन्स अँड जनरल मेथड्स फॉर आलजेब्राइक कॉनफिगुरेशन्स );  
( ऊ ) अतिसूक्ष्म भूमिति: सूक्ष्मावयवलब्धि व सूक्ष्म संचयनें यांचा भूमितींत उपयोग (इन्फिनिटेसिमल जिऑमिट्री: अॅप्लिकेशन्स ऑफ डिफरेन्शियल अँड इंटीग्रल कॅलक्युलस टु जिऑमिट्री );
( ऋ ) चलन भूमिति ( डिफरेन्शियल जिऑमिट्री ) चलन समीकरणांचा भूमितींत उपयोग (अॅप्लिकेशन्स ऑफ डिफरेन्शियल इक्केशन्स टु जिऑमेट्री ).

शास्त्रांतर्गत व्यवहारीय

१. गतिशास्त्रीय परिमाणांचें मापन ( मेझरमेंट ऑफ डायनॅमिकल क्कान्टिटीज ).
२. बिंदु आणि घनवस्तू यांचें गतिगणित व भूमिति ( जिऑमेट्री अँड कायनेमॅटिक्स ऑफ पार्टिकल्स अँड सॉलिड बॉडीज ).
३. अकरणीगत प्रेरणाशास्त्राचीं तत्त्वें ( प्रिन्सिपल्स ऑफरॅशनल मेकॅनिक्स ).
४. बिंदु, दृढवस्तू इत्यादिकांचे स्थितिशास्त्र ( स्टॅटिक्स ऑफ पार्टिकल्स, रिजिड बॉडीज एट्सेट्रा ).
५. बिंदु, दृढवस्तू इत्यादिकांचे जडगतिगणित ( कायनेटिक्स ).
६. सामान्य पृथक्करणात्मक प्रेरणाशास्त्र ( जनरल अॅनॅलिटिकल मेकॅनिक्स ).
७. प्रवाही पदार्थांचें स्थितिशास्त्र व गतिशास्त्र.
८. व्यावहारिक जलशास्त्र आणि प्रवाही निरोध ( हायड्रॉलिक्स अँड फ्लुइड रेझिस्टन्सेस ).
९. स्थितिस्थापकत्व ( इलॅस्टिसिटि ).

भा र ती य ग णि त ज्ञा न.

भारतीय आ-यांची वैदिक ग्रंथांवरून दिसून येणारी संस्कृति इतकी प्रगल्भ दिसते कीं, तितक्या सुसंस्कृत समाजांत गणिताचें ज्ञान बरेंच वाढलेलें असलें पाहिजे असें गृहित धरावें लागतें. तथापि निरुक्त, छंद, ज्योतिष इत्यादि विषयांची वाढ होऊन त्यांनां वेदांगें म्हणून उच्च स्थान मिळालें त्याप्रमाणें गणितादि ज्ञानासंबंधानें प्राचीन काळीं झालें नाहीं, ही गोष्ट आश्चर्यकारक वाटते. त्यामुळें या शास्त्राची प्राचीन भारतीय प्रगति किती झाली होती तिचा साधार इतिहास देतां येत नाहीं. वैदिक वाङ्मयांत अप्रत्यक्षपणें गणितज्ञानासंबंधानें कांहीं उल्लेख व विशेषत: संख्यावाचक पुष्कळ शब्द आढळतात. त्यासंबंधीं माहिती 'लेखनपद्धति' ( प्रकरण २ पृष्ठ ४९ ) व 'संख्यालेखन' ( प्र. ३ पृ. ८५ ) या प्रकरणांत दिली आहे. वेदांत संख्यावाचक शब्द जेथें आले आहेत त्यांपैकी दशमान पद्धतीशीं पूर्ण परिचय दाखविणारे कांहीं उल्लेख येणेंप्रमाणें.-

आ द्वाभ्यां हरिभ्यामिन्द्रयाह्या चतुर्भिराषडभिर्हूयमान: अष्टाभिर्दशभि: सोमपेयम्० ॥-
आ-विंशत्या त्रिंशता याह्यर्वाङाचत्वारिंशता हरिभिर्युजान:।।
आ-पंचाशता सुरथेभिरिन्द्राषष्टया सप्तत्या सोमपेयम् ।।
आशीत्या नवत्या याह्यर्वाङाशतेन हरिभिरुह्यमान :।०।।
ऋ २.१८, ४ ते ६

एका च दश च दश च शतं च शतं च सहस्त्रं च सहस्त्रंचायुतं च अयुतं च नियुतं च नियुतं च प्रयुतं च अर्बुदं च न्युर्बुदं च समुद्रश्च मध्यं च अंतश्व परार्धश्व
( वाजसनेयि सं. १७.२ )

एकस्मै स्वाहा द्वाभ्या. स्वाहा त्रिभ्यस्वाहा .० एकान्नवि शत्यै स्वाहा इत्यादि ( तै. सं. .२,११)

तै. सं. ( .२, २० ) या ठिकाणीं वरील वाजसनेयि संहिते ( १७.१ ) प्रमाणेंच संख्येचा उल्लेख आला आहे.

महाभारत ग्रंथांत गणितज्ञानविषयक कांहीं माहिती, अर्थात् अप्रत्यक्षपणें, आलेली सांपडते. बेरजेची कल्पना दोन संख्या अगदी शेजारीं शेजारीं ठेवण्यानें होते. साधारणत: अंक किंवा क्रमवाचक संख्याशब्द दुस-या संख्येला अगोदर जोडून बेरीज दर्शवितात. परंतु अशा वेळीं बेरीज करावयाची किंवा गुणाकार करावयाचा याबद्दल संशय उत्पन्न होतो. उदाहरणार्थ, 'दशशतम्.' 'अधिकं' या शब्दानें मात्र बेरीज असा अर्थ स्पष्ट होतो. जसें, 'एकाधिकं शतं' किंवा 'शतं पंचाधिकम्' इत्यादि. बेरीज दर्शविण्यास 'उत्तर' हा शब्दहि आहे. उदा० 'शतमेकोत्तंर.' वजाबाकी म्हणजे एक संख्या दुसरींतून वजा केली आहे हें दर्शविण्याकरितां 'ऊन' शब्द वापरतात. जसें, 'पञ्चोनं शतम्' 'बाकी' याला 'शेषम्' किंवा 'शिष्टम्' हे शब्द आहेत:- पञ्चाशतं षट्च शेषं दिनानां तव जीवितस्य। शिष्टमल्पं न:। ( महाभा. १२. ५१. १४ ) गुणाकारांसंबंधानें 'गुणणें' याला 'गुणय्' हें क्रियापद व 'गुणलेलें' याला 'गुणित' व 'गुणीकृत' असे शब्द आढळतात. 'त्रि:सप्त:कृत्वा' यासारखे पटी करणें या अर्थाचे प्रयोग आढळतात. गुणाकाराच्या कांहीं वेडयावाकडया पद्धती आढळतात. उदाहरणार्थ, 'षष्टिरुष्ट्रसहस्त्राणि शतानि द्विगुणा हया:' येथें कवीला ६० हजार उंट व त्याच्या दुप्पट शत घोडे असें सांगावयाचें आहे. भागाकार करणें ही क्रिया 'विभज्' ह्या धातूनें दर्शविली आहे. अपूर्णांक दर्शविणारे शब्द पाद, भाग, अंश हे येतात. परिणाह - परिघ, विष्कंभ - व्यास. मध्यबिंदूपासून समांतर हें दर्शविण्यास 'समन्त' हा शब्द येतो. असल्या किरकोळ उल्लेखांवरुन प्राचीन भारतीयांच्या गणितज्ञानासंबंधानें कोणतेंहि निश्चित अनुमान काढणें धोक्याचें होय. शुल्बसूत्रांपूर्वीचा गणितविषयक कोणताच ग्रंथ उपलब्ध नसल्यामुळें इतर वाङ्मयांत येणारे अप्रत्यक्ष उल्लेखच येथें नमूद करणें भाग झालें आहे.

वेदांगकालांत ( ख्रि. पू. १५०० ते ५०० ) पूर्णांकपरिकर्मचतुष्टय म्हणजे बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार व भागाकार आणि त्रैराशिक यांची माहिती होती, इतकेंच नव्हे तर भिन्नपरिकर्मचतुष्टय म्हणजे व्यवहारी अपूर्णांकांची बेरीज इत्यादि, यांचें चांगलें ज्ञान होतें असें वेदांग ज्योतिषाचे ऋकपाठ श्लोक ७, १७, २२ तसेंच १४, १६, १८ आणि यजु:पाठ श्लोक ३७ यावरून दिसून येतें. ( दीक्षितकृत 'भारतीय ज्योति:शास्त्र ' पृष्ठ ९६-९७ ).

गणितज्ञानाच्या भूमितिशाखेची वाढहि आपल्या भरतखंडांत यज्ञसंस्थेच्या अनुषंगानें बरीच झालेली असून त्याची माहिती देणारा बौधायनीय शुल्बसूत्र नांवाचा स्वतंत्र ग्रंथ ब-याच प्राचीन काळीं तयार झालेला आहे. यज्ञसंस्थेच्या आरंभीं भारतीय आ-यांनां भूमितीचें चांगले ज्ञान होतें, हें त्यांचें याज्ञिक पाहून कोणीं नाकबूल करील असें वाटत नाहीं. यज्ञकुंडांनां जे आकार द्यावयाचे ते कांहींतरी नसून प्रमाणशीर असत. त्याकरितां अध्वर्यूला कर्तव्यभूमिति अभ्यासावी लागे; व तिचा उपयोग करून वक्रपक्षश्येनचितीसारख्या अवघड चिती तयार कराव्या लागत; चिती रचण्याच्या आधीं चौकोनी, त्रिकोणी प्रमाणबद्ध विटा करून भाजाव्या लागत. नंतर यज्ञभूमीवर दोरीनें चितीचा आकार सूत्रांनुसार काढून त्यावर विटांचे प्रस्तर सशास्त्र बसवावे लागत. तेव्हां यज्ञसंस्थेकरितांच शुल्ब निर्माण झालें यांत संशय नाहीं. हें प्राचीन शुल्ब किती कार्यक्षम व व्यावहारिक होतें, व त्याचप्रमाणें किती तंतोतंत बरोबर होतें हें शुल्बसूत्रांतील कर्तव्यभूमितीच्या सिद्धांतांवरून कळून येणार आहे.

हल्लीं ज्याप्रमाणें इंच हें मापण्याचें सर्वांत लहान प्रमाण म्हणून धरतात, त्याप्रमाणें या सूत्रांत अंगुल हें प्रमाण सांपडतें; व पुरुष ( = १२० अंगुलें ) हें सामान्य मोठें प्रमाण आहे. अंगुलापेक्षांहि लहान दृष्य प्रमाण म्हणजे तिल किंवा अणु, प्रादेश, पद, युग, जानु, बाहु, प्रक्रम, अरत्नि वगैरे अंगुल व पुरुष यांच्यामधलीं मापें आहेत. पुरुषाच्या शरीरावयवांवरून व त्यांच्या लांबीवरून यांनां नांवें दिलेलीं आहेत हें उघड दिसतें. तसेंच, ईषा, अक्ष, युग, शम्या हीं नावें रथावयवांवरून पडलेलीं आहेत. या प्रमाणांनंतर दिशासाधन करणें व समभुज चौकोन व दीर्घ चौकोन काढण्याच्या रीती दिलेल्या आहेत. एका रेषेवर दुसरी लंब रेषा काढतां आली म्हणजे चौकोन तयार करितां येतो. तेव्हां सूत्रांत दिलेल्या चौकोन काढण्याच्या रीती, लंब रेषा काढण्याच्या आहेत असें म्हटल्यास वावगें होणार नाहीं. एखाद्या चौकोनाच्या क्षेत्रफळाच्या वाटेल तितक्या पट क्षेत्रफळाचा चौकोन करणें झाल्यास, करणी ( द्विकरणी, त्रिकरणी, सप्तकरणी इ. ) काढून करतां येतें. तसें चौकोनाचा कर्ण व बाजू यांचें प्रमाण दिलें आहे.

दोन चौकोनांच्या क्षेत्रफळांच्या बेरजेच्या किंवा वजाबाकीच्या क्षेत्रफळाचा चौकोन करणें; चौकोनाचा दीर्घचौकोन व दीर्घचौकोनाचा चौकोन बनविणें; चौकोनाची एक बाजू लहान करणें; चौकोनाचा त्रिकोण, द्वि-त्रिकोण व वर्तुळ करणें; व वर्तुळाचा चौकोन करणें, इतकें वेदी तयार करण्याला लागणारे कर्तव्यभूमितींतील सिद्धांत बौधायनीय शुल्बसूत्रांत सांपडतात. या प्रमाणें वेदींचे आकार शिकविल्यानंतर, वेदी कशा रचाव्या, अमुक वेदि कशी बांधावी वगैरे या सूत्रांत बौधायनानें माहिती दिलेली आहे. बौधायनाप्रमाणेंच आपस्तंब व कात्यायन यांनींहि शुल्बावरं ग्रंथरचना केली आहे.

हल्लीं भूमितीच्या आकृती काढण्यास अनेक यंत्रें लागतात व या यंत्रसाधनांनी आकृती चांगल्या व बरोबर येतात यांत नवल नाहीं. पण प्राचीन काळीं ही साधनें नसतांहि केवळ दोरी व शंकू घेऊन पशुपक्षयादिकांच्या आकृती काढीत हें कौतुकास्पद तर खरेंच; पण त्याबरोबरच आपल्या पूर्वजांची कल्पकता व शोधकबुद्धि पाहून खरोखरीच त्यांच्याविषयी सादर अभिमान वाटतो; व भारतीय गणितशास्त्र कोणापासून उसनें घेतलेलें नसून स्वतंत्र आहे याची सत्यता पटते.

पुढे वाचा:गणितशास्त्राची अर्वाचीन वाढ

   

यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान निर्मित महत्वपूर्ण संकेतस्थळे  

   

पुजासॉफ्ट, मुंबई द्वारा निर्मित
कॉपीराइट © २०१२ --- यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान, मुंबई - सर्व हक्क सुरक्षित .