प्रस्तावना खंड  

   

सूची खंड  

   
Banners
   

अक्षरानुक्रम (Alphabetical)

   

विभाग नववा : ई-अंशुमान

अंकगणित - भरतखंडांत गणितशास्त्राचा अभ्यास हा वेदाच्या षडंगांपैकीं ज्योतिष ह्या पांचव्या अंगाचा एक भाग म्हणून व कांहीं अंशीं यज्ञांत एकाच क्षेत्रफळाचे पण निरनिराळ्या आकृतींची रचना करितां यावी ह्या हेतूनें प्रथम सुरू झाला. त्याचप्रमाणें ह्या विषयाच्या अभ्यासानें मनाची एकग्रता होते व तीमुळें परमेश्वरप्राप्तीचें एक सुलभ साधन प्राप्त होते ह्या विचारानेंहि आपले आर्यपूर्वज ह्याचा अभ्यास करीत. ह्या गणितस्कंधाच्या अनेक शाखा व उपशाखा आहेत. त्यांतील अंकगणित ही एका अर्थानें सर्वांत कमी महत्त्वाची पण कजाचित् सर्वांत जुनी व रोजच्या व्यवहाराशीं निकट संबंध असलेली शाखा होय. ह्या अंकगणितांत अंक अथवा व्यक्त संख्या ह्यांचा विचार केलेला आहे. बीजगणितांत अव्यक्त संख्यांचा विचार केलेला आहे.

व्यावहारिक, बौद्धिक विकासाच्या व शास्त्रीय अशा दृष्टीनें ह्या विषयाचें विवेचन करतां येईल. परंतु ह्यापैकीं पहिल्या दृष्टीनें विचार प्रत्येक अंकगणिताच्या पुस्तकांत येतो, दुसर्‍याचा शिक्षणपद्धतींत येतो. तिसर्‍या दृष्टीनें विचार ह्या लेखांत अंशत: करण्याचें योजिलें आहे. अंशत: असें म्हणण्याचें कारण ज्या लोकांच्या पुढें हा ग्रंथ जाणार आहे त्यांच्या मनोभूमिकेला अनुरूप अशीच विचारसरणी पाहिजे. युरोपिअन लोकांत शास्त्रभ्यासाची गोडी फार असते. म्हणून त्यांनां निव्वळ शास्त्रीय विवेचन शुष्क वाटत नाहीं. आमच्या इकडील सामान्य वाचकांचें ज्ञान कमी व शास्त्रीय विषयांची गोडी कमी म्हणून हा विषय ह्या लेखांत व्यवहारांतले दाखले देऊन सुबोध केलेला आहे व अंकचमत्कृति हें प्रकरण नवेंच घालून व इतरहि मनोरंजक माहिती देऊन चटकदार करण्याचा प्रयत्‍न केलेला आहे. शिवाय बरेचसे वाचक इंग्रजीला पारखे किंवा इंग्रजी येत असून गणितशास्त्राची प्रगति आजमितीला किती आहे ह्याची माहिती नसणारे असे असतात व त्यांनां त्यांच्या आटोक्यांत असेल इतकी तरी माहिती देऊन त्यांची जिज्ञासा थोडीशी तृप्त करण्याचा येथें प्रयत्‍न केला आहे इतकी प्रस्तावना करून आतां मुख्य विषयाकडे वळूं.

गणितशास्त्राच्या ज्या भूमिति इत्यादि अनेक शाखा आहेत त्यांमध्यें सर्वांत आरंभींची अंकगणित हीं शाखा होय. किंबहुना गणितशास्त्राच्या अभ्यासाला आरंभ स्वाभाविकपणें ह्याच शाखेपासून होतो. कारण शिकण्यास सर्वांत सुलभ, नेहमींच्या साध्या व्यवहारांत अत्यंत उपयुक्त अशी गणितशास्त्राची शाखा अंकगणिताइतकी कोणतीहि नाहीं. ह्याला भास्कराचार्यांनीं ‘पाटी गणित’ असें नांव दिलें आहे. कारण त्यावेळीं हल्लीं प्रमाणेंच हिशेब पाटीवर (मात्र ही पाटी म्हणजे लांकडाची फळी असून तीवर धूळ टाकून गणित हा शब्ह गण म्हणजे गणना करणें ह्यावरून लिहीत असावेत). करीत किंवा पाटीवर प्रथम शिकत. ह्या शास्त्राचें मूळ व विकास आपल्या देशांत झाला आहे हें पुढें दिलेल्या शून्य चिन्हाची व इतर अंकांची उत्पत्ति, तसेंच दशांक पद्धतीच्या उत्पत्तीवरून दिसून येईल.

उत्पत्ति- ह्या शास्त्राची उभारणी संख्येच्या कल्पनेवर असल्यामुळें या शास्त्राची उत्पत्ति व्यापाराचें मूळ स्वरूप जें विनिमय त्यापासून फार प्राचीनकाळीं झाली असावीं. व्यापार, साधा विनिमय व कांहीं प्रकारचीं नाणीं हीं वेदकाळीं प्रचारांत होतीं असें प्राचीन काळच्या ग्रंथांवरून दिसतें (कै. रोमेश चंद्र दत्त यांच्या एन्शंट व इंडिया ज्ञानकोश विज्ञानेतिहास पृ. ८५ पहा.). आर्य ह्या शब्दाची व्युत्पत्ति ‘अर’ म्हणजे नांगरणें ह्यापासून आहे. अर्थात् टोळ्या करून भटकण्याच्या (उ. अरब, तुर्क, तार्तर हे लोक ह्या प्रकारचे होत) पुढची व सुधाणेच्या सुंदर मंदिराचा पायाच अशी जी शेती ती करून व एका ठिकाणीं कायम वस्ती (घरें) करून राहणें ह्यांतच आपल्या प्राचीन आर्य पूर्वजांमध्यें व इतर तत्कालीन लोकांमध्यें मुख्य फरक होता. ह्याच्या पुढची पायरी म्हणजे उत्पन्न केलेलीं धान्यें वगैरे आपल्या निर्वाहास पुरून उरणारे पदार्थ दुसर्‍यास, देऊन त्यापासून आपल्यास जरूर लागणारे इतर पदार्थ घेणें अर्थात विनिमय ही होय. ह्यांतच दोन पदार्थांची निरनिराळ्या म्हणजे वजन, माप, किंमत-मूल्य-ह्या बाबतींत तुलना करावी लागते; व मग पुढें संख्येची कल्पना येते. ह्यानंतर एकाच तर्‍हेच्या ठराविक मापाची (मूलमानाची-युनीटची) जरूरां भासूं लागते. त्याचप्रमाणें नाण्यांची आवश्यकता भासूं लागून निरनिराळ्या परिमेयांचीं (परिमेय ह्याला सामान्यत: परिमाण असें म्हणण्याचा परिपाठ आहे. परंतु व्युत्पत्तीवरून परिमाण मापें म्ह युनिट ठरविणें भाग येतें) अशा तर्‍हेनें ह्या विनिमयाचा विकास होऊन देशांतर्गत व पुढें परदेशच्या व्यापारांत रूपांतर होतें. ह्या विनिमयाला अंकगणिताची अत्यंत जरूरी असते. व अशा रीतीनें ह्या शास्त्राची उत्पत्ति होते.

आतां ह्या शास्त्राच्या उत्त्पत्तीचा मान कोणत्या राष्ट्राकडे जातो हा प्रश्न दुसरा. प्राचीन काळचें परदेशाशीं किंवा व राष्ट्रांराष्ट्रांशीं व्यापाराबद्दल प्रसिद्ध असलेलें राष्ट्र फिनिशियन लोकांचें. ह्यांनांच वेदांत ‘पणी’ ह्या संज्ञेनें उल्लेखिलें आहे असें विद्वानांचें मत आहे. हे लोक व्यापाराकरितां हिशेब ठिशेब कसे करीत ह्याची माहिती उपलब्ध नाहीं. तेव्हां विशेषत: आंकड्यांची, संज्ञांची (संख्याची) उत्पत्ति, अंकपद्धति ह्यासंबंधीं त्यांनां कांहीं माहिती होती अशाबद्दल पुरावा सांपडत नाहीं. ज्या अर्थी संख्या, संज्ञा, दशांक पद्धति, शून्यचिन्ह इत्यादींची आपल्या देशांतच उत्पत्ति झाली असून इतर अंगांनींही त्या शास्त्राचा विकास बराच झालेला आहे, त्या अर्थी हें शास्त्र आपल्याच देशांत जन्मास आलें व परिणत झालें असावें असें म्हणण्यास प्रत्यवाय नाहीं. शिवाय प्राचीन काळीं आमच्या देशाचा इतर देशांशीं खुष्कीनेंच केवळ नव्हे तर जलमार्गानें (फाहायन ह्या चिनी व इतर देशच्या प्रवाशांनीं केलेल्या वर्णनावरून) मोठ्या प्रमाणावर व्यापार चालत होता असें दिसतें. व्यापार म्हटला कीं हिशेब व गणित त्याबरोबर आलेंच. ह्या गोष्टीवरूनहि हें शास्त्र आपल्या देशांतच जन्मास आलें असावें ह्या म्हणण्यास बळकटी येते (विविध ज्ञा. वि. ५ पा. ८९ पहा).

प रि मे यें व प रि मा णें -.वर सांगितलेंच आहे कीं विनिमय किंवा ‘देवघेव’ हा व्यापार परस्पर जिनसांचें सापेक्ष मूल्य किंवा किंमत कळल्याशिवाय होणें शक्य नाहीं. ‘अ’ जवळ कांहीं तांदूळ आहेत व ‘ब’ जवळ कांहीं गहूं आहेत. ‘अ’ ‘ब’ ह्यांमध्यें देवघेव होतांना किती तांदूळाचें मूल्य किती गव्हांबरोबर आहे हा प्रश्न उभा राहतो. तेव्हां मूल्य हें एक परिमेय झालें (जें मापतां किंवा मोजतां येईल तें परिमेय). तसेंच ‘अ’ व ‘ब’ हे दोघेजण जर एकमेकांपासून बर्‍याच अंतरावर असले तर एकाजवळ किती तांदूळ व दुसर्‍याजवळ किती गहूं आहेत हें परस्परांस कळविणें झाल्यास त्या दोघांनांहि समजेल अशा तर्‍हेचें एक माप पाहिजे. वजन कळविणें झाल्यास त्या परस्परांस माहीत असलेलीं अशीं एक किंवा अनेक ठराविक वजनें पाहिजेत. हीं ठराविक वजनें व मापें कीं ज्यांच्या योगानें इतर पदार्थांचीं वजनें व मापें परस्परांस नक्की सांगतां येतील तींच परिमाणें होत. ह्याचप्रमाणें दोन पदार्थांची लांबी मोजावयाची असल्यास लांबी हें परिमेय व ज्या ठराविक लांबीनें (इंच, फूट, हात, तसू इत्यादि) ही लांबी आपण मोजतों त्यास आपण परिमाण म्हणूं. तसेंच क्षेत्रफळ हें परिमेय व चौरस इंच, चौरस फूट, चौरस हात इत्यादि त्याचीं परिमाणें होत. ज्या जातीचें परिमेय असेल त्या जातीचें परिमाण असलें पाहिजे हें उघड आहे. कारण कापड मोजण्याच्या ‘वारा’नें पदार्थांचें वजन करतां येणार नाहीं हें उघड आहे. परिमेयें हीं मुख्यत: ६ प्रकारचीं आहेत. लांबी, क्षेत्रफळ (पृष्ठफळ), अवकाशफळ अगर घनफळ (गर्भफळ,) वजन, मूल्य व काल हीं तीं होत. याशिवाय घनता, शक्ति वगैरे इतर अनेक परिमेयें गणिताच्या उपशाखांतून दृष्टीस पडतात. परंतु सामान्य जनांना व व्यवहारांत मूलभूत अशीं वरील सहाच होत. ह्यांनां अनुसरून ६ जातींचीं परिमाणेंहि आहेत. जसें लांबीचीं परिमाणें फूट, इंच, हात, दंड, कोस, मैल इत्यादि, ह्या परिमाणांमध्यें लांबीच्या परिमाणावरून क्षेत्रफळाचीं व घनफळाचीं परिमाणें बसविलीं आहेत. लांबी मोजतांनां जसें आपल्याला कांहीं तरी गज (टेप किंवा फूटपट्टी) माप लागेल तसेंच क्षेत्रफळ मापण्यास कांहीं तरी क्षेत्रफळात्मक माप पाहिजे, म्हणजे कांहीं तरी क्षेत्र अथवा क्षेत्रफळ असलेली आकृति पाहिजे. ती उपपत्तीच्या दृष्टीनें त्रिकोण, चौकोन, वर्तुळ किंवा दुसरी एखादी असूं शकेल. परंतु सामान्यत: काटकोनात्मक (चौकोन किंवा चौरस) क्षेत्रें (दीर्घ चतुरस्त्र) मापण्याचा प्रसंग व्यवहारांत फार म्हणून सोयीकरितां हें परिमाण चौकोनाकृति असावें हें बरें. व त्यांतल्यात्यांत समचतुरस्त्र (स्क्वेअर) हा बरा. म्हणून क्षेत्रफळ हें समचतुरस्त्रांनीं मोजण्याची वहिवाट आहे. ह्या समचतुरस्त्ररूपी क्षेत्रफळाच्या मापाची बाजू कांहींहि घेतली असतां चालेल. परंतु येथेंहि पुन्हां सौकर्यासाठीं १ इंच किंवा १ फूट अथवा लांबीच्या परिमाणाइतकीच त्याची बाजू घेतली जाते. प्रत्यक्ष कोणतेंहि क्षेत्र मापावयाचें म्हणजे (उदाहरणार्थ खोलीची भिंत मापावयाची असल्यास) एक चौरस फूट म्हणून ज्याला म्हणतात तसले चौरस पुष्कळसे घेऊन ते एकमेकांनां लावून त्यांची १ ओळ करावयाची, तशीच दुसरी, तशीच तिसरी असें कीं त्यानें सर्व क्षेत्र (भिंत किंवा काय असेल तें) व्यापिलें जातें.

उदाहरणार्थ हे चौकोनी तुकडे कागदाचे, पत्र्याचे अथवा कोणत्याहि पातळ पदार्थाच्या चकत्या आपण लांबीच्या बाजूनें (रूंदीच्या बाजूनेंहि ठेवितां येतील हें उघड आहे) एकमेकांस लावून ठेविले तर आपल्या आकृतींत ६ तुकड्यांची १ ओळ बनेल (भिंतीची लांबी ६ फूट आहे, व प्रत्येक तुकड्याची बाजू एक फूट आहे, अशी कल्पना करून ह्या आकृतीप्रमाणें ओळींची संख्या ६ झाली. तेव्हां एकंदर तुकड्यांची संख्या ६x६=३६ झाली. प्रत्येक तुकडा म्हणजे आपलें क्षेत्रफळ काढण्याचें माप आपण एक चौरस फूट कल्पिलें आहे. अर्थात भिंतीच्या क्षेत्रफळाचें माप (अर्थात क्षेत्रफळ) ३६ चौरस फूट झालें. लांबीमध्यें जितके फूट (किंवा सामान्यत:लांबीचीं परिमाणें) आहेत, तितके चौरस एका खोलींत भरतात, व रूंदीमध्यें जितके फूट असतील तितक्या ओळी येतात म्हणून:-

क्षेत्रफळ (अर्थात् एकंदर चौरसांची संख्या)= लांबी (अर्थात् लांबीतील फुटांची संख्या)x रूंदी असा नियम झाला.

ह्याप्रमाणें १ फूट उंची, एक फूट लांबी, १ फूट रूंदी असा १ ठोकळा कल्पिला तर त्यानें व्यापिलेली जागा ही १ घन फूट झाली. एखाद्या पोकळीचें घनफळ काढवयाचें ह्याचा अर्थ त्या पोकळींत असे ठोकळे किती मावतील हें काढणें होय. एका खोलीची लांबी २० फूट, रूंदी १५ फूट, उंची १२ फूट असून त्या खोलीचें घनफल काढणें तर हें घनफळ प्रत्यक्ष मापणें झाल्यास येणेंप्रमाणें मापतां येईल. लांबीला अनुसरून एका ओळीनें २० ठोकळें ठेवून १ रांग बनविली. खोलीच्या तक्तपोशीवर आणखी एक रांग बसविली, नंतर तिसरी रांग, चौथी रांग, अशा १५ रांगा होतील असा १५x२० ठोकळ्यांचा १ थर झाला. मग त्यावर दुसरा थर, मग तिसरा थर ह्याप्रमाणें १२ थर होतील. अर्थात त्या खोलींत एकंदर ३००x१२ इतकें ठोकळे मावतील. अर्थात् ३६०० घनफूट हें खोलीचें घनफळ झालें ह्यावरून सामान्यत:

घनफळ=लांबीxरूंदीxउंची. असा नियम झाला.

प रि मा णां चे वि भा ग:- एक स्वाभाविक (जसें १ मनुष्य व १ अंबा) व दुसरें कृत्रिम जसें इंच, फूट इ. निरनिराळ्या महत्त्वाचीं परिमेयें मोजण्याकरितां एकाच जातीचीं अनेक भिन्न परिमाणें कल्पिलेलीं आहेत, उदाहरणार्थ एखादें मेज किंवा पेटी वितीनें किंवा हातानें मोजतां येईल. पण दोन गांवामधील अंतर कोसांनीं मोजावयाचें असतें. अमुक एक लांबीच कां धराबी व तिला इंच कां म्हणावें ह्याला कारण कांहीं नाहीं. ज्यांना इंच ही लांबी माहीत नसेल त्यांना ती लांबी किती आहे हें नांवावरून समजणार नाहीं. पण १ आंबा म्हणजे किती हें कोणालाहि सहज समजतें. संख्या (म्ह. परिमाण व परिमेय ह्यांतील संबंध) ही मूर्त व अमूर्त प्रकारची आहे. पांच गाई, सहा आंबे येथें पांच व सहा ह्या मूर्त जातिविशिष्ट पदार्थांच्या दर्शक असल्यानें त्यांस मूर्त म्हणतात; व निव्वळ ५|६ हे शब्द व ह्या संज्ञा शुद्ध संख्यावाचक असल्यानें त्यांस अमूर्त किंवा जातिरहित म्हणतां येईल.

आ प ली प रि मा ण प द्ध ति व ‘मी ट र’ नां वा ची प रि मा ण प द्ध ति.- आपल्या परिमाणपद्धतींत हात, अंगुली, दंड हीं निरनिराळीं लांबीचीं परिमाणें होत. ह्यांतील उदाहरणार्थ हात हा घेऊं. ही लांबी निश्चित अशी कांहींच नाहीं. कारण ठोकळ मानानें हें माप अमुक मर्यादेच्या आंत व अमुक मर्यादेच्या बाहेर (१ फुटाच्या वर व २ फुटांपेक्षां लहान) आहे असें म्हणतां येईल. तेव्हां एका विशिष्ट व्यक्तीचा हात घेतला पाहिजे. परंतु तरी सुद्धां अडचण आहेच. लहानपणीं त्याच व्यक्तींचा हात लहान असतो व थोरपणीं मोठा होतो. तेव्हां त्या व्यक्तीच्या एका विशिष्ट वयाची किंवा विशिष्ट क्षणाची हाताची लांबी घेतली पाहिजे. अंगुली व वीत यांनां हेंच म्हणणें लागू पडेल. हें आमच्या हिंदुस्थानी परिमाणपद्धतीसंबंधानें झालें.

इंग्रजी पद्धतींत तरी फूट ह्याचा मूळचा अर्ध ‘पाऊल’. तें तरी एका विशिष्ट व्यक्तीचें व एका विशिष्ट क्षणीचें घेतलें पाहिजे. हा घोंटाळा टाळण्याकरितां लंडनमधील ब्रिटिश म्यूझियम् (म्हणजे इंग्लंडमधील अजबखाना) ह्या नांवाच्या संस्थेंत एक धातूचें ‘यार्ड’ (अथवा ज्याला आपण मराठींत ‘वार’ म्हणतों तें) नांवाचें एक लांबीचें माप करून ठेविलें आहे. आतां सूक्ष्मदृष्टीनें विचार केल्यास हिवाळ्यांत ह्याची लांबी (थंडीमुळें संकोच पावल्यानें) कमी होणार व उन्हाळ्यांत जास्ती होणार. म्हणून हें लांबीचें माप अनेक निरनिराळे प्रसरणधर्म असलेल्या अशा धातू घेऊन त्यांच्या कांबींचें बनविलें आहे त्यामुळें तिची लांबी निरनिराळ्या ऋतूंत सारखीच रहावी. इतकें केलें तरीहि तिच्या लांबींत सूक्ष्म तरी फरक पडत असला पाहिजे हें उघड आहे. हा फरक अत्यंत सूक्ष्म असल्यानें व्यवहारांत त्यामुळें कांहीं अडचण येणार नाहीं. परंतु हल्लीं शास्त्रीय प्रयोगांत फारच सूक्ष्म मापें लागतात. तेव्हां त्रिकालाबाधित असें परिमाण असावें. ह्याशिवाय १२ इंच म्हणजे फूट तर ३ फूट म्हणजे यार्ड असें कां ? १२ फुटांचेंच पुढील परिमाण असतें तर जास्त सोईस्कर झालें असतें. ह्या परिमाणामधील गुणोत्तरदर्शकसंख्यांनां कांहीं ताळ ना मेळ ! अर्थात् सर्वत्र एकच (उदाहरणार्थ १२ हेंच) गुणोत्तर असतें तर बरें झालें असतें. तसेंच हिशोबाच्या सोईच्या दृष्टीनें हें गुणोत्तर १० असेल तर फारच उत्तम.

वर सांगितलेल्या अडचणी दूर केलेल्या असून बहुतेक सर्व गूण जींत साधलेले आहेत अशी एक परिमाणपद्धति आहे. हिला ‘मेट्रिक सिस्टिम’ अथवा ‘दशमानपद्धति’ म्हणतात. दशमानपद्धति म्हणण्याचें कारण ह्या पद्धतींतील परिमाणें दसपटीनें चढत किंवा दहाव्या हिश्यानें उतरत जातात हें होय. वरील विवेचन वाचून उत्तम परिमाणपद्धतीचीं लक्षणें खालीं दिल्याप्रमाणें असलीं पाहिजेत हें दिसून येईल.

१ लें:- यांतील मुख्य परिमाण त्रिकालाबाधित असावें. म्हणजे निरनिराळ्या काळीं त्याचें मान बदलूं नये.
२ रें:- यांतील निरनिराळ्या मापांचा परस्परांशीं असलेल्या संबंधांत-मुख्यत्वें गुणोत्तरांत-कांहींतरी नियम असावा. अर्थांत तीं एकसारखीं असावीं. एकदां एक तर दुसर्‍यांदा कांहीं भलतेंच असें असूं नये.
३ रें:- तीं गुणोत्तरें व्यवहारांस-अर्थात हिशोब करावयास-फार सुलभ असावीं.
४थें:- भिन्न जातींच्या परिमाणांमध्यें (उदाहरणार्थ घनफळ व वजन यांत) कांहींतरी संबंध असावा.

या दशमानपद्धतींत सर्वच गुणोत्तरें एकसारखीं असून तीं १० व्या पटीनें किंवा हिश्यानें चढत उतरत गेल्यामुळें वरीलपैकीं दोन लक्षणें त्यांत पूर्णपणें आहेत. परंतु हिच्यांतील परिमाण जें ‘मीटर’ ह्या नांवाचें लांबीचे परिमाण तें पृथ्वीच्या परिधीच्या (परिधी म्हणजे दोनही ध्रुवांतून जाणारें वृत्त घेतलेलें आहे) इतकें आहे. हा परिधी (पृथ्वीची स्थिति प्राण्याच्या वस्तीला जोपर्यंत अनुकूल असेल तोपर्यंत हें विधान लागूं पडेल. ती जलमय किंवा प्रज्वलित बाष्पस्वरूप अशी असतां तिचा परिधी हल्लीच्याहून भिन्न असा असणार हें उघड आहे.) कधींहि फारसा बदलत नाहीं. किंवा त्याच्या मानांत फरक पडलाच तर तो इतका सूक्ष्म आहे व त्याच्या चार कोट्यॅश हा इतका लहान भाग होईल कीं तो. विचारांत घेण्यासारखा नाहीं. तेव्हां एकाअर्थी ह्यांतील मुख्य परिमाण कायम स्वरूपांचें आहे. आता पृथ्वीचा व्यास ८००० मैल धरून हें मुख्य परिमाण जें ‘मीटर’ त्याचें अजमासें मान काय येतें तें (१ मैल = ५२८० फूट हें लक्षांत ठेवून) पाहूं-


एक मीटर हा १.१ यार्ड किंवा १.१ वार ह्याहून जरा जास्त असतो.

पृथ्वीचा व्यास ह्याहून सूक्ष्म घेतला व व्यासाच्या परिधीस (फ्रेंच शास्त्रज्ञांनीं हें माप प्रथम ठरविलें त्यावेळीं त्यांनीं घेतलेल्या पृथ्वीचा परिघी हल्लींच्या सूक्ष्ममानाइतका नव्हता. तरीहि आमच्या विधानास फारसा बाध येणार नाहीं.) प्रमाण २२/७ ह्याहून सूक्ष्मतर घेतलें तर मीटर =३९.३७ इंच अजमासें येतें. ह्या लांबीच्या परिमाणावरून क्षेत्रफळाचें परिमाण चौरस मीटर व घनफाळाचें परिमाण घनमीटर हीं काढण्यांत येतात. १ चौ. मीटर म्हणजे जवळ जवळ ११ चौ. फूट व घनमीटर म्हणजे अजमासें ३३ घनफूट. इतर परिमाण पद्धतींत घनफळ किंवा अवकाश व वजन ह्यांच्या परिमाणांत कांहींहि संबंध नाहीं. परंतु ह्या पद्धतींत पाणी हा पदार्थ मानप्रतिष्ठा (ज्या पदार्थाच्या वजनाची तुलना करून इतर पदार्थांचे वजन सागांवयाचें त्या मूलभूत पदार्थास ‘मान प्रतिष्ठा’ असें म्हणूं) कल्पून त्याचें उष्णमान ४ अंश (ह्या वेळीं त्याची घनता पराकाष्ठेची जास्त असते) व दाब ७४ असतांना १/१०००००० घनमीटर पाण्याचें जें वजन तें वजनाचें परिणाम घेतलेलें आहे. त्याला ‘ग्राम’ असें म्हणतात. अशा रीतीनें ह्यांत ४ थें लक्षणहि परिपूर्ण झालेलें आहे. तसेंच एका परिमाणाचीं जीं उच्चनीच भेदाचीं परिमाणें असतात. त्यांचीं नांवें इतर पद्धतींत भिन्न भिन्न असतात. उदाहरणार्थ इंग्रजी पद्धतींत लांबीचीं उच्चनीच परिमाणें मैल, यार्ड, फूट, इंच इ. होत. परंतु ह्या दशमानपद्धतींत तसें नसून त्यांचीं नावें मुख्यपरिमाणदर्शक शब्दापासून कांहीं प्राकप्रत्यय अथवा पूर्वगामीप्रत्यय जोडून बनविलेलीं असतात. हे प्राकप्रत्यय म्हणजे कांहीं लॅटिन व ग्रीक (व्युत्त्पत्तिदृष्ट्या संस्कृत शब्दांशीं त्यांचें साम्य आहे) संख्यावाचक शब्दांचीं रूपें आहेत. ते प्रत्यय येणेंप्रमाणें:-

मुळरूप संक्षेप
डेक्या = दशक (दसपट) डी
हेक्टो = शतक (शतपट)
किलो = सहस्त्रक (हजारपट)
मिरिया = अयुतक (दहाहजारपट)
डेसी = दशांश  डी
सेंटी = शतांश   
मिली = सहस्त्रांश


                            
                
                    
                
          
                           
                    
                    

 

ह्या प्राक्प्रत्ययाच्या उपयोगानें मूळ परिमाणावरून निरनिराळ्या उच्च नीच अशा विविध परिमांणांचीं नांवें तयार होतात.

लांबींचें मुख्य परिमाण मीटर अथवा मात्रा=३९.३७इं. क्षेत्रफळाचें परिणाम-एअर=१/४० एकर (अजमासें) मात्रादशक अथवा दहा मात्रा इतकी ज्याची प्रत्येक बाजू आहे असा चौरस.

अवकाशमापनाचें परिमाण (गर्भफळ)-१ लीटर (ज्याची प्रत्येक बाजू मात्रादशांशाइतकी आहे अशा एका चौकोनी ठोकळ्यानें व्यापलेली जागा)=१ ३/४ ग्यालन द्रव पदार्थांकरितां घन पदार्थांकरितां-स्टेअर (एक घन मात्रा) वजन-ग्राम=११/५००० पौंड (वजनी (आतां ह्यांतील लीटर ह्याच्यापासून विविध उच्चनीच परिमाणें व त्यांचे संक्षेप पुढीलप्रमाणें:

मिरियालिटर  (मि. लि.) म्हणजे १०००० ली.
किलोलिटर (कि. लि.) म्हणजे
१००० ली.
हेक्टोलिटर (हे. लि.) म्हणजे
१०० ली.
डेकॅलिटर (डेक लि.)  म्हणजे
१० ली.
डेसीलिटर  (डेसी. सि.) म्हणजे
१ ली.
सेंटीलिटर (सें. लि.) म्हणजे
०१ ली.
मिलिलिटर (मि. लि.) म्हणजे
००१ ली. 
ह्याच प्रमाणें इतरांचें समाजावें.

ही परिमाणपद्धति यूरोपमध्यें इंग्लंडशिवाय बहुतेक सर्व देशांत चालू असून इंग्लंड अमेरिकेसुद्धां सर्व देशांतील शास्त्रज्ञ हिचाच उपयोग करितात. शास्त्रीय प्रयोगांतील सर्व आंकडे ह्याच पद्धतीप्रमाणें दिलेले असतात. हिंदुस्थान सरकारनें आपलें शेर हें माप एक घनमात्राइतकें आहे असें कायद्यानें ठरविलें आहे. ही परिमाणपद्धति फार सोयीची आहे; व हिंदुस्थानांत सर्वत्र ही चालू नसली तरी हिच्याच धर्तीवर एखादी दशमानपद्धति काढून ती एकच पद्धत सर्व देशभर प्रचारांत आणल्यास त्यापासून व्यावहारांत मोठी सोय होईल. कारण ह्यांत विविध परिमाणांचा हिशोब मुळींच भानगडीचा नसतो. चढत्या उतरत्या भांजणीचा मुळींच प्रश्न उरत नाहीं. देशांतील नाण्यांच्या व्यवहारालाहि दशकपद्धति लागू करण्याचा प्रयत्‍न चालू आहे. रूपया, आणे, पै ह्यांऐवजीं रूपाया, दशांश रूपाया, शतांश रूपया अशीं नाणीं ह्यापद्धतीप्रमाणें होतील.

वरील विवेचनावरून परिमेय व परिमाण ह्यांची कल्पना आलीच असेल. एकाच जातीचें परिमेय व परिमाण घेतलीं असतां त्यांचा जो महत्त्वदर्शक परस्परसंबंध तो ‘संख्या’ ह्या शब्दानें दर्शविला जातो. ‘संख्या’ ह्या शब्दाचा मूळचा अर्थ निश्चित रीतीनें सांगणें असा आहे. पुष्कळ माणसें आलीं होतीं असें म्हणण्यापेक्षां २०० माणसें आलीं होतीं हें जास्ती निश्चित स्वरूपाचें विधान होतें. ही संख्येची निव्वळ अव्यक्त अशी कल्पना झाली. तिला व्यक्त किंवा निश्चित स्वरूप यावयासाठीं तिचें दर्शक चिन्ह किंवा चिन्हें पाहिजेत. हीं चिन्हें दोन तर्‍हेचीं; एक शाब्दिक व दुसरें लेकात्मक. दोहोंनांहि आपण ‘अंक’ किंवां ‘आंकडे’ म्हणतों. ‘अंक’ ह्याचा मूळचा अर्थहि ‘चिन्ह’ किंवा ‘खूण’ असाच आहे. पांच पदार्थ पाहिले असतां पांच ही कल्पना मनांत येते. ‘पांच’ हें शब्दचिन्ह झालें व ‘५’ हें अंकचिन्ह झालें. संख्या अनंत आहेत तेव्हां त्यांची दर्शकचिन्हेहि अनंत असलीं पाहिजेत असें सकृद्दर्शनीं वाटेल. परंतु संख्यावाचक शब्द घेतले असतां बहुतेक सर्व भाषांत एकपासून दहापर्यंत निरनिराळें शब्द आहेत. नंतर १००, १०००, १०,००० वगैरे ह्यांनां वेगळे वेगळे शब्द आहेत व इतर संखावाचक शब्द निरनिराळे संख्यावाचक शब्द जोडून बनविले आहेत. जसे:-

सं. ११ म्ह एकादश, अकरा (हा एकादश ह्याचा अपभ्रंश होय). मल्याळी भाषेंत पदनन्न (पत्त म्ह. १० आणि वन म्ह. १). कानडींत हतवन्दु (हत्त म्ह. १० व वन्दु म्ह. १)

१२ = द्वादश, बारा (अपभ्रंश) कानडी हन्यरडु (हत्+यरडु म्ह. १०+२=१२)

१३ = सं. त्रयोदश, तेरा (अपभ्रंश); मल्याळी पदमून (मून म्ह. ३) कानडी हन्मुरू (हत्+मुरू=१०+३=)एलेव्हन् ट्वेल्व्ह थर्टीन ह्या इंग्रजी शब्दांचें मूळचे अर्थ असेच आहेत.

५० = पंचाशत्, पन्नास. तसेच आंकड्यांचा विचार केला असतां एकंदर दहा चिन्हांनीं आपण सर्व संख्या मांडून दाखवूं शकतों. दहा चिन्हें म्हणजे १ ते ९ अंक व शून्य हीं होत. संख्यावाचक शब्दचिन्हांपेक्षां गणिताची ‘आकड्यां’ वरच भिस्त फार आहे. हीं अंकचिन्हें मूळ कधीं निघालीं ह्याचा इतिहास मोठा मनोरम आहे. ‘वैशाली’ ह्या नांवाच्या गांवीं अंकगणित या विषयावर एक संस्कृत जुनें पुस्तक सांपडलें आहे. (हा ग्रंथ ख्रिस्ताच्या पहिल्या शतकाच्या सुमारास लिहिलेला आहे (त्यावरून असें दिसतें कीं, संख्यांच्या नांवांचीं आद्याक्षरें हींच पूर्वकालीं संख्याचिन्हें होतीं, हें कॅजोरी नांवाच्या ग्रंथकाराचें मत होय. [जास्त महितीकरितां ज्ञा. को. वि. ५ प्र. ३. पहा]

मूळशब्द  शब्दचिन्हें अपभ्रष्ट स्वरूप
एक
द्वौ  द (ट)
त्रि त्र
पंच
नव
शून्य 

ह्याप्रमाणें ह्या संख्या पूर्वीं तद्वाचक शब्दांच्या आद्याक्षरांनीं दर्शविल्या जात असत. व त्या आद्याक्षरांचीं अपभ्रष्ट रूपें म्हणजे सांप्रतचे आंकडे होत. इंग्रजींतील व सर्व सुधारलेल्या राष्ट्रांत प्रचलित असलेले आंकडे हे आपल्याच (कॅजोरीज हिस्टरी ऑफ मॅथेमॅटिक्स पहा) आंकड्याचीं रूपांतरें होत. यूरोपमध्यें ह्यांतील पहिले नऊ आंकडे अरब लोकांच्या द्वारें इसवी सन ६०० च्या सुमारास गेले असावेत. आपले पूर्वज हीं नऊ चिन्हें इसवी सनाच्या दुसर्‍या शतकांत वापरीत असत असें दिसतें. शून्याला चिन्ह त्यावेळीं किंवा त्या सुमारासच कोणी तरी शोधून काढिलें असावें असें कॅजोरी हा गणितशास्त्राच्या इतिहासांत म्हणतो. आर्यभटाच्या ग्रंथांत हल्लींची अंकपद्धति जशीच्या तशीच दृष्टीस पडते. आपली अंकपद्धति सर्वांस माहीत आहेच. ह्या पद्धतींत आंकड्यांना ते ज्या विशिष्ट स्थानीं असतील त्या स्थानावरून कांहीं विशिष्ट किंमत येते. उदाहरणार्थ १०६२५ ह्याचा अर्थ १००००+६००+२०+५. शून्य हें चिन्ह नसतें तर ही संख्या मांडणें किंवा १०, १००, १०००० ह्या व अशा सारख्या संख्या मांडणें कठिण झालें असतें. शिवाय बेरीज वजाबाकी, गुणाकार व भागाकार हे व्यवहार अत्यंत कठिण झाले असते यूरोपमध्यें हें चिन्ह माहीत नसल्यानें बराच कालपर्यंत ह्या शास्त्रांत व्हावी तशी प्रगति झाली नाहीं अरब लोकांच्या द्वारें यूरोपमध्यें पहिलीं नऊ चिन्हें इ. स. सहाशेंच्या सुमारास गेलीं हें वर सांगितलेंच आहे. तत्पूर्वीं यूरोपांत रोमनपद्धति प्रचारांत होती. ह्या पद्धतींत त्या त्या संख्यावाचक शब्दांच्या आद्याक्षरांवरून बनविलेलीं कांहीं चिन्हें आहेत. हे रोमन आंकडे १ ते १२ पर्यंत घड्याळाच्या तबकडीवर आढळतात [I, II, III, IV, V, O, M, इ.]

ह्यांत एक (एक उभी रेघ) पांच, दहा, पन्नास, शंभर वगैरे संख्यांस वेगवेगळीं चिन्हें आहेत. (‘सी’ म्हणजे शतम ‘एम्’ म्हणजे दहा लाख इत्यादि) हीं चिन्हें विशिष्ट तर्‍हेनें एकमेकांशेजारीं लिहून निरनिराळ्या संख्या बनवितां येतात. कमी किमतीचा अंक डाव्या बाजूला असल्यास तो वजा करावयचा व उजव्या बाजूला असल्यास तो मिळवावयाचा. उदाहरणार्थ. V ह्याचा अर्थ ४ (म्ह. पांच ह्याच्या डावीकडे एक लिहिला असल्यानें ५-१ अर्थात ४) आपल्या पद्धतीप्रमाणें ४५६ ह्या संख्येंत ४ हा आंकडा शतंस्थानीं असल्यामुळें त्याची किंमत ४०० म्हणजे ४ ह्याच्या शतपट झाली ५ हा आंकडा दशमस्थानीं असल्यामुळें त्याची किंमत त्याच्या दसपट म्हणजे पन्नास झाली. आंकड्यांची किंमत स्थानाप्रमाणें दसपट, शतपट, सहस्त्रपट, लक्षपट वगैरे होत असल्यानें आपल्या पद्धतीप्रमाणें मोठमोठ्या संख्या अति सुलभ रीतीनें मांडतां येतात. रोमन पद्धतींत तितकें सुलभ जात नाहीं, शिवाय चिन्हेंहि फार लागतात. तसेंच हें स्थानिक किंमतीचें तत्त्व रोमन पद्धतींत नसल्यानें बेरीज वजाबाकीचे व्यवहार आपल्या पद्धतींतल्याप्रमाणें सुलभ रीतीनें करतां येत नाहींत.

आपल्याला हें सर्व सुलभ रीतीनें करितां येतें त्याला कारण ‘शून्य हें चिन्ह’ व अंकाचें स्थानमहत्त्व ह्या दोन गोष्टी होत. शून्याला खरोखरी कांहीं किंमत नाहीं. परंतु तें दुसर्‍या संख्या लिहिण्याच्या कामीं फार उपयोगी पडतें. शेक्सपीयर ह्या प्रसिद्ध आंग्लकवीनें (ह्याचा काळ १७ वें शतक) शून्याच्या ह्या गुणधर्मावर ‘हेनरी धी फिफ्थ’ नांवाच्या नाटकाच्या मंगलाचरणांत मोठें मनोरंजक रूपक केलें आहे. त्याच्यामुळेंच गुणाकर भागाकारादि व्यवहार फार सोपे होतात. आज शून्यचिन्ह जर जगांतून काढून टाकिलें तर हिशेबाच्या अभावी जगांतील किती तरी व्यवहारांत घोंटाळा व अनिश्चितपणा माजून राहील, एखाद्या महान् साधुपुरूषाप्रमाणें शून्याला स्वत:चा संसार (किंमत) कांहीं नसून हें चिन्ह निव्वळ लोकोपयोगार्थ अवतरलें आहे. परंतु इतकें असूनहि हें चिन्ह भरतखंडांत कोणत्या महापुरूषानें शोधून काढिलें त्याचा थांग किंवा पत्ता लागत नाहीं. मग ह्याला कारण आमच्या लोकांतील इतिहासलेखन पराड्मुखता असो अथवा मुसुलमानो व इतर परकी लोकांनीं केलेला प्राचीन ग्रंथसंपत्तीचा नाश असो

नि र नि रा ळ्या अं क प द्ध ती :- ही दशांकपद्धति (म्ह.दहा अंकचिन्हांनीं संख्या लिहिण्याची रीत) सुधारलेल्या जगांत व आपल्या लोकांत इतकी रूढ झालेली आहे कीं, हिच्याहून अगदीं भिन्न अशी अंकपद्धति असूं शकेल ही कल्पनाहि आपणास करवत नाहीं. परंतु अशा पद्धती प्राचीन काळीं अस्तित्वांत होत्या. आपल्यांतील आणेवारी किंवा सोळुलें माप ही षोडशांकपद्धतीची साक्ष देतात. इंग्रज लोकांचीं बरीचशीं परिमाणें (उदाहरणार्थ १२ पेन्स म्हणजे शिलिंग, १२ इंच म्हणजे फूट इत्यादि कोष्टकें व १२ किंवा डझन ह्या मापानें किंमत सांगण्याचा प्रघात) व आपल्यांतींल १२ अंगुलें म्हणजे वीत व बारूलें माप हीं सर्व द्वादशांकपद्धतीचीं दर्शक होत. तसेच इंग्रजीमधील स्कोअर किंवा २० यांचीं मानें किंवा दर सांगण्याची रीत व आपल्यांतील कुणबी माळी लोकांतील २ इसा, ३ इसा असा विसांनीं संख्या मोजण्याचा प्रकार हे विंशतिपद्धतीचे अवशेष होत. शिवाय २ फाडी, ४ फाडी (फाडी हें पंचक ह्याचें अपभ्रष्ट रूप असावें) अशा रीतीनें मोजण्याची पद्धत ही पंचकीपद्धतीची अवशेष होय. तथापि एकंदरींत दशांक पद्धतीच सर्व आर्य राष्ट्रांत प्राचीन काळापासून प्रचारांत होती हें उघड आहे. अरबस्तानांत सप्तांकपद्धत प्रचारांत होती व बाबिलोनियन लोकांत दशांकपद्धतीबरोबरच षष्ट्यंक पद्धति रूढ होती. ह्या निरनिराळ्या पद्धतीप्रमाणें संख्या कशा मांडितां येतात हें पाहणें फार मजेचें होईल म्हणून थोडीशीं उदाहरणें खालीं देतों:-

द्वादशांक पद्धतीप्रमाणें पहिल्या ११ संख्यांनां ११ अंक किंवा एकेरी चिन्हें पाहिजेत. समजा कीं, ११ ला ‘अ’ व दहाला ‘द’ हीं चिन्हें मुक्रर केलीं तर ह्या पद्धतीप्रमाणें कांहीं संख्या खालीं दिल्याप्रमाणें लिहितां येतील. या पद्धती संबंधीं जास्त माहिती (स्केल्स ऑफ नोटेशन ह्या सदराखालीं) इंग्रजी बीजगणिताच्या पुस्तकांत दिलेली असते.

द्वादशांकपद्धतीप्रमाणें    दशांकपद्धतीप्रमाणें
१०= १x१२+० १२
२५= २x१२+५  २९
३३= ३x१२+३ ३९
१००= १२x१२ १४४
१६४= १२x१२+६x१२+४=२२० (१४४+७२+४ )

स्पष्टीकरण :- आपल्या नेहमींच्या दशांकपद्धतीमध्यें १० ह्याचा अर्थ दहाची एक पट घ्यावयाचा. त्याप्रमाणें द्वादशांकपद्धतीमध्यें मूलांक जो १२ त्याची १ पट घ्यावयाची. तसेंच १०० हा आपल्या पद्धतींत १०x१० किंवा दहाचा वर्ग होय. पण इतर पद्धतींत त्या त्या मूलांकाच्या वर्गाचा तो वाचक होईल. द्वादशांकपद्धतींत १०० म्ह. १४४ होतील. २५ ह्यांतील २ ह्याचा अर्थ मूलांकाच्या दुप्पट घ्यावयाची व त्यांत ५ मिळवावयाचें. अर्थात द्वादशांकपद्धतींत ह्याचा अर्थ. २x१२+५=२९ असा होईल. विशांकपद्धतींत, २x२०+५= ४५ असा; सप्तांक पद्धतींत, २x७+५=१९; असा; षष्ट्यंक पद्धतींत, २x६०+५=१२५; असे निरनिराळे अर्थ होतील.

ह्या पद्धतीची माहिती ज्ञा. को. वि. ५ प्र. ३ ह्यांत सविस्तर दिलेली आहे ती पहा.

ह्या सर्व पद्धतींनां मागें टाकून हल्लींची दशांकपद्धतीच अनेक कारणांमुळें सर्व लोकांत पसंत पडली आहे; व म्हणून सर्वत्र तीच प्रचारांत आहे. चीन, जपान, यूरोपखंड, अमेरिका इत्यादि पृथ्वीच्या सर्व भागांवर सर्व राष्ट्रांत हीच पद्धति अमलांत आहे. अशी अंकपद्धति मूळ आपल्या भरतखंडांत जन्मास आली ह्याबद्दल ह्याबद्दल आपणांस अभिमान वाटल्यास तो सार्थ नाहीं असें कोण म्हणेल?

ही दशांकपद्धति प्रथम ह्या देशांत जन्मास आली व इ. स. ७७३ च्या सुमारास एका हिंदूनें बगदाद येथें नेली. तेथून मुसुलमान लोकांनीं ती आपल्याबरोबर यूरोपांत नेली. तसेंच इटलींतील पिस्सा ह्या शहराच्या लियोनार्डो ह्यानें ही पद्धति (व हिंदु बीजगणित) आरब लोकांपासून शिकून इ. स. १२०२ मध्यें युरोपांत प्रथम प्रसिद्घ केली. (गोखले यांचें इंग्रजी अकंगणित पा ७).

सं ख्या, क ल्प ना व चि न्हें (संख्येचा तात्त्विक विचार) :- कांहीं तरी एक समानधर्म असलेल्या वस्तूंचा गट आहे अशी कल्पना केल्यास त्या गटांतील वस्तूंचा (किंवा निरनिराळ्या नगांचा) व्यक्तिश: व संघश: जो गटाशीं संबंध तीच संख्येची कल्पना होय. ह्यात सर्व नग अविभाज्य किंवा बिंदुमात्र आहेत, अशी कल्पना बुडाशीं आहे. दुसर्‍या शब्दानें सांगावयाचें म्हणजे आपण येथें ती वस्तु एक व्यक्ति (व्यष्टि म्हटल्यास जास्त समर्पक होईल) आहे या पलीकडे दुसर्‍या कशाचाहि विचार करीत नाहीं. तिच्या रासायनिक किंवा पदार्थविज्ञानशास्त्रांतर्गत गुणधर्माचा व आकारमानाचा वगैरे विचार सोडून द्यावयाचा व मग ह्या एका व्यक्तीचा त्याच जातीच्या इतर व्यक्ती किंवा व्यक्तिसंघ ह्यांच्याशीं विचार करतां करतां संख्येच्या कल्पनेचा प्रादुर्भाव होतो. एक वस्तु व एकाहून भिन्न असें इतर जग अशी कल्पना आहे तेथपर्यंत ही कल्पना अस्पष्ट असते. संख्येचा व गणिताचा विचार नसतो. पण ही एक वस्तू व एतद्भिन्न राहिलेलें वस्तुजात, ह्या दुसर्‍यांतून त्या वस्तूशीं सजातीय एक किंवा अनेक व्यक्ती ह्यांचा विचार करूं लागले म्हणजे संख्या ही कल्पना मनांत येते. उदाहरणार्थ २ बायका पाहिल्या म्ह. ह्या दोन बायका (इतर वस्तूंहून) भिन्न अशी कल्पना झाली. आतां २ बायका व १ पुरूष पाहिल्यास त्या ३ व्यक्तींत स्त्रीत्व किंवा पुरूषत्व समान नाहीं पण मनुष्यत्व हा तिघांचाहि समानधर्म झाला म्हणून त्यांनां आपण ३ माणसें म्हणूं आतां २ बायका १ पुरूष व १ गाय अशा ४ व्यक्ती घेतल्या तर त्यांमध्यें प्राणित्व समान आहे म्हणून आपण हे ४ प्राणी झाले असें म्हणूं. वस्तूंचे गट व नग यांच्यासंबंधाचा विचार करितां संख्येची कल्पना आली. आतां हे गट अनेक नगांचे (किंवा वस्तूचें) असूं शकतील. त्यांनां नांवें त्या गटांत १, २, ३, अशा जितक्या वस्तू असतील तेंच मिळालें. पांच वस्तूंचा गट म्हणजे ५ असें झालें. परंतु आपण वस्तू मोजताना पहिलीला एक, दुसरीकडे बोट करून दोन, तिसर्‍या वस्तूला स्पर्श करून तीन असें मोजीत जातों. तेव्हां २ हें नांव दोन वस्तूंच्या गटाला देत नसून त्यांतील दुसर्‍या म्हणून मानलेल्या वस्तूला देतों. म्हणजे १, २, ३ व ४ हा एक क्रम आपण ठरवितों; व यांचा मूळच अर्थ पहिली, दुसरी, तिसरी असा क्रमवाचक असतो. व मागाहून तीच संख्या तितक्या वस्तूंचा गट दर्शविते. उदा. एका गटांत तीन वस्तू असल्या तर आपण पहिली घेऊन एक मोजतों, दुसरी घेऊन ‘दोन’ म्हणतों व तिसरी घेऊन ‘तीन’ (तिसरी असा आपल्या म्हणण्याचा अभिप्राय असतो) म्हणतों व मग त्या गटालाच ‘तीन’ ही संज्ञा मिळते. ज्याप्रमाणें भूमितींत अ-ब या रेषेला बिंदूच्या नावावरून ‘अब’ ही संज्ञा मिळते, तसेंच अंकगणितांत एखाद्या गटांतील शेवटच्या वस्तूच्या (५ वी अशा तर्‍हेच्या) नांवावरून त्या गटाला असें नांव मिळालें. यांत दुसरी एक कल्पना गर्मित असते ती ही कीं, या तीन वस्तू सजातीय बिंदुरूप अर्थात् सर्व बाबतींत समान मानल्या गेल्यानें वाटेल त्या क्रमानें घेतां येतात. जसें:-

पहिला क्रम :-   पहिली     दुसरी       तिसरी
                          ०          ०             ०
दुसरा क्रम  :-    तिसरी     पहिली     दुसरी

यावरून एखाद्या गटांतील वस्तू किंवा नग (कोणताहि नग न सोडतां व कोणताहि नग एकदांच घेऊन) कोणत्याहि क्रमानें घेऊन त्याला ठरलेली क्रमिक १, २, ३, ४ इत्यादि नांवें दिलीं असतां शेवटच्या वस्तूचें जें नांव येतें तितक्या वस्तू त्या गटांत असतात. ही मूर्त संख्यांची कल्पना प्रथम आल्यावर मग अमूर्त किंवा शुद्ध संख्यांची कल्पना येते. त्यांत सजातीयत्वाचा प्रश्नच येत नाहीं. कारण अमूर्तत्व हा त्यांच्यांत समानधर्म असतो. एक विशिष्ट बाबतींत समान असलेल्या वस्तूंचीच बेरीज किंवा वजाबाकी करतां येते. एका अर्थी संख्येच्या कल्पनेंत बेरीज, वजाबाकीची कल्पना अंतर्भूत झालेली आहे. कारण एका गटांत ५० वस्तू असल्या तर ५० ही संख्या न मोजतां कळणार नाहीं हें उघड आहे. ह्याप्रमाणें बेरजेची कल्पना जरी संख्याकल्पनेंतच आहे, तरी भानगडीच्या संख्या सुलभ रीतीनें एकत्रित करण्याची जी रीत तिला आपण ‘बेरीज’ म्हणतो. तसेंच ५+७ याचा अर्थ १ ते ५ अंक मोजले व ५ या आंकड्यावरून पुन: १ कडे उडी मारून आपण जातों व १ ते ७ अंक मोजतों तर ५ मोजल्यानंतर १ कडे परत न जातां जर तसेंच पुढें ७ मोजीत गेलें तर १ पासून कोठपर्यंत मोजल्यासारखें होईल ? उ. १२ मोजल्यासारखें होईल.

पहिली रक्कम      १, २, ३, ४, ५.
दुसरी   ,,             १, २, ३, ४, ५, ६, ७.
पांचापुढील अंक     ६, ७, ८, ९, १०, ११, १२.

वर सांगितलेल्या गटाच्या कल्पनेचा दृश्य स्वरूपांत विस्तार केलेला वर दिसून येतो. बर्‍याचशा वस्तू न्यावयाच्या असतांना त्या सुट्या असेंतोंपर्यंत न्यावयास कठिण पडतात पण त्यांची गठडी बांधल्यास त्या वस्तू सहज नेतां येतात. ती गठडी उचलली असतां प्रत्येक वस्तू निरनिराळीं वर उचलल्याचें श्रेय येतें. तसेंच अनेक संख्यांवर करावयाचें कार्य त्या संख्या कंसांत घातल्यास एकदम व सुलभ रीतीनें करतां येतें. जसें:-२ (३+४-५) =४ या संख्येंत २ नें ३ व ४ यांच्या बेरजेस गुणून त्यांतून ५ ची दुप्पट वजा करण्याचें काम सुलभ रीतीनें झालें आहे.

कंस अनेक असतां ते आंतून बाहेर सोडवीत येण्याची वहिवाट आहे. पण बाहेरून आतहि सोडवीत जाता येईल.

३ [२-३ (३-४ (५+६) +५)-७]
=६-९(३-४(५+१३/२)+५)-२१
=-१५-२७+३६ (५+१३/२)-४५
=-८७+१८०+२३४= ३२७

वर सांगितलेंच आहे कीं गटांतील नगांची संख्या काढतांना नग वाटेल त्या क्रमानें घेतले तरी चालतात. त्याचप्रमाणें बेरजेंतल्या रकमा किंवा (संख्येच्या कल्पनेंत गुणाकाराचाहि थोडासा अंतर्भाव होतो. उदाहरणार्थ ५ म्ह. १ ची पांचपट.) गुणाकारांतल्या रकमा कोणत्याहि क्रमानें घेतल्या तरी बेरीज व गुणाकार एकच येतात.
उदा. २X३X५=३०=२X५X३=३X५X२

ह्यालाच ‘क्रमराहित्य नियम’ (कॉम्युटेटिव्ह लॉ) म्हणतात. कंस सोडवितांना ज्या नियमाचा आपण उपयोग करतों त्यास ‘विभाजन नियम’ (डिस्ट्रिब्यूटिव्ह लॉ) म्हणतात. एका गटांतील नगांचे वाटेल तसे पोटगट केले तरी त्यांची संख्या बदलत नाहीं. किंवा एखाद्या पदावलींत वाटेल तेथें कंस घालितां येतात.
उदा. (अ+ब)-क=अ+(ब-क)

ह्याला साहचर्य नियम म्हणतात व अ५Xअ३=अ८ म्हणजे ‘अ’ च्या पांचव्या घातास त्याच्याच तिसर्‍या घातानें गुणिल्यास ‘अ’ चा ८ वा घात येतो. ह्याला ‘घातनियम’ (इंडेक्स लॉ) म्हणतात. ह्या चार नियमांवर सर्व गणितशास्त्राची उभारणी झाली आहे.

सं ख्या वा च क श ब्द:- एकपासून दहापर्यंतचीं संख्यांचीं नांवें स्वतंत्र रीतीनें आलेलीं दिसतात. ‘पंच’ ह्या शब्दाचा मूळचा अर्थ ‘पसरलेला’ असा आहे. कदाचित् पसरलेला हात (पंजा हा शब्द पंच ह्याचें अपभ्रष्ट रूप असावें) अर्थात् ५ बोटें ह्यावरून पूर्वी ५ ह्या संख्येचा बोध होत असे असें दिसतें. दहाच्या पुढच्या संख्यांचीं नांवें दशकपद्धतीप्रमाणएं दोन किंवा अधिक स्थानवाचक आंकड्यांच्या नांवावरून बनविलीं आहेत उदा. ‘ए’ चा ‘अ’ ‘दश’ ह्याचा ‘र:’ कि ‘रा’ ‘व’ चा ‘ब’ अशीं रूपांतरें झालीं आहेत. इंग्रजींत (थर्टिन् यांत ‘टेनचें’ टिन् झालें आहे.) अकरा हा ‘एकादश’ ह्याचा अपभ्रंश. बारा हा ‘द्वादश’ ह्याचा अपभ्रंश होय. असेंच तेरा वगैरेंनां समजावें.

‘शंभर’ हा शब्द शतं ह्या शब्दाचा अपभ्रंश खास नव्हे. कदाचित् ‘शं’ म्हणजे कल्याण (बिभर्ति म्ह. धारण करतो) व ‘भर’ म्ह. देणारा अर्थात् कल्याणप्रद असा अर्थ असेल. ‘शतऋतु’ इत्यादि शब्दांत ध्वनित होणारें विशेष महत्त्व ‘शंभर’ ह्या संख्येस होतें. त्या कालचा हा एक अवशेष असावा. परंतु हा शब्द मूळ संस्कृतांत कोठेंहि आढळत नाहीं हें कोडें उकलण्यास फार कठिण आहे. हजार हा शब्द ‘सहस्त्र’ शब्दांतील ऊष्मवर्ण ‘स’ ह्याचें विसर्गांत रूपांतर होऊन ‘ह’ वर जोर दिल्यानें त्या विसर्गसदृश ‘स’ मुळींच लोप झाला व ‘हस्त्र’ हें जें शेष त्याची ‘हझ्र’, ‘हज्जर’, ‘हजार’, अशीं रूपांतरें झालीं असावींत. हीं रूपांतरें इराणी किंवा पर्शियन भाषेंत होऊन नंतर ‘हजार’ हा शब्द आपल्याकडे आला असें दिसतें. ‘लक्ष’ पासून ‘परार्ध’ पर्यंत शब्द आपलेच (संस्कृतांतून घेतलेले) आहेत. परार्ध म्ह. दुसरें अर्ध हा शब्द ब्रह्मदेवाच्या आयुष्यंतील निम्या भागांतील दिवसांची संख्या ह्या अर्थी मूळ योजिला जात असावा व मागाहून तो संख्यावाचक बनला असें वाटतें. महाभारतांत व इतर कांहीं ग्रंथांतून संख्यास्थानें एकं, दहं, ते परार्धपर्यंत केवळ १८ च नसून बरींच अधिक म्ह. कांहीं ठिकाणीं २०० पर्यंत स्थानांचीं नांवें दिलेलीं आहेत.

दहापुढील संख्यांचीं नांवें आधीं एकं स्थानचा अंक, मग दहंस्थानचा अंक अशा क्रमानें शब्द घेऊन त्या संख्यांचीं नांवें बनविलीं आहेत. उदा. त्रेपन्न ह्यांतील तीन वाचक शब्द ‘त्रे’ हा आधीं व मग पन्नासचा वाचक ‘पन्न”. शंभरपासून पुढें मात्र ह्याच्या उलट क्रम आढळतो. जसें ‘दोनशें त्रेसष्ट’ ह्यांत आदीं दोनशें ही शतवाचक संख्या व मग त्रेसष्ट आले आहेत. येवढ्यावरून १०० च्या पुढच्या संख्यांत दिसून येणारी संख्यावाचनाची ही पद्धत परक्यांकडून आपण घेतली असें म्हणतां येणार नाहीं. ‘अंकांनां वामतो गति:’ हें सूत्र सामान्यत: खरें असलें तरी तें शंभराच्या पुढच्या संख्याचीं नांवें बनवितांना बरेंच गैरसोयीचे आहे. ‘पंचशतं’ ह्याचा अर्थ ५०० किंवा १०५ असाहि होऊं शकेल. ही अडचण दूर करण्याकरितां ‘अधिक’ व ‘उत्तर’ हे शब्द योजूं लागले. ‘पंचाधिकं शतं’ म्ह. पांचांनीं अधिक इतके शंभर =’पंचोत्तरं शतं’ हे शब्दप्रयोग किती बोजड व गैरसोयीचे आहेत हें संस्कृत गणितग्रंथ वाचाणारास सांगणें नकोच. ह्यापेक्षां हल्लींची पद्धत फारच चांगली आहे. पण ही केव्हांपासून भरतखंडांत रूढ झाली हें नक्की सांगतां येत नाहीं. इतके म्हणतां येईल कीं, आपल्या पूर्वजांपैकीं कांहींनां हिची उपयुक्तता पटली होती. ह्यांपैकीं दुसरा आर्यभट (९ वें शतक) ह्यानें ह्याच पद्धतीचा [भास्कराचार्यांच्या (११ वें शतक) लीलावतींत गणितपाश ‘प्रकरणांतील ३ रें उदाहरण सोडवितांना २४ निखर्व, ६३ पद्म, ९९ कोटी. ९९ लक्ष, ७५ हजार ३ शें ६० अशी संख्या शब्दांत ह्याच क्रमानें दिली आहे] आपल्या पुस्तकांत सर्रास उपयोग केलेला आहे. त्यानें आपलें नांव गुप्त ठेऊन पहिल्या आर्यभटाच्या नांवावर आपला ग्रंथ विकण्याचा जो प्रयत्‍न केलेला दिसतो त्याचें एक कारण ही नवीन पद्धत (म्ह संख्या डावीकडून उजवीकडे वाचीत जाणें) आर्यभटाच्या नांवाखालीं सुरू करण्याची त्याची इच्छा असावी. ‘पाढे’ म्हणतांना संस्कृतमधील संख्यावाचक साधे व सामासिक शब्द अपभ्रष्ट रूपानें कसे येतात त्याचें थोडेसें दिग्दर्शन करूं. जसें.-एके दुर्के (दोन) =द्विरेकं किंवा द्विकं म्ह. ‘दोन वेळां एक’ किंवा ‘जोडी’. ह्यांत द्विरेकं ह्यांतील ‘व’ चा ‘उ’ होऊन दुर्कें असें रूप झालें आहे. तिरकें= त्रिकं, चौके=चतुष्कं. बे (दुणें चार)= द्वे, यांत ‘व’ चा ‘ब’ झाला व ‘द’ चा लोप झाला आहे. ‘दुणें’ ह्याचा अर्थ ‘द्विकं’ सारखाच आहे व ‘दोन’ ह्या शब्दाशीं त्याचें साम्य दिसतें. अकरंदाहीं दाहोदरशें =दशोत्तरंशत. ‘श’ चा ‘ह’ झाला आहे व शेवटचा ‘शतं’ चें ‘शें’ असें रूप नेहमींच होतें. ह्याचप्रमाणें ‘चवरोदरशें’ ‘सतरोदरशे’ इत्यादीचें समाजावें.

बे री ज, व जा बा की, गु णा का र, भा गा का र :- ह्या चार प्रक्रियांचा थोडा सूक्ष्म विचार करूं अब (२ इंच) व बक (३ इंच) ह्या दोन रेषांची लांबी काढावयाची झाल्यास त्या रेषा एकरेषिक होतील अशा एकमेकांपुढें जोडून ठेवाव्या लागतात व ब क मधून अ क वजा करावयाचा असल्यास क पासून अ पर्यंत उलटीं करून अ क ही रेषा ठेवावी लागते. पहिल्या आकृतींत अ क ही दोहोंची बेरीज दाखविलेली आहे. दुसरींत ब अ ही वजाबाकी दाखविली आहे. बेरीज व वजाबाकी ह्यांतील रकमा सजातीय परिमेयें दाखवितात ब हें सजातीयत्त्व म्हणजेंच एकरेषिकत्व होय. गुणाकारांत दोन्हीं परिमेयें (म्ह. गुण्य व गुणक) हीं भिन्नजातीचीं असतात. उदा. एका पैशाला ५ केळीं तर ४ पैशाचीं केळीं किती ? येथें ५ केळीं X ४ पैसे = २० केळीं. येथें दर पैशाला ५ केळीं तर ४ पैशांना किती ? म्हणजे ‘दरा’ चा संबंध येतो व ४ ही निव्वळ पट आहे. क्षेत्रफळ काढितांना आपण इंचांनीं इंचांनां गुणतों असें प्रथमदर्शनी वाटतें. पण १५ इंच हे खरे इंच होत (किंमत ५ इंच हें मूळ धरिल्यास १५ ही ओळींची संख्या झाली (व ५ ही उभ्या ओळींची संख्या. तेव्हां गुणाकार म्हणजे डबकप ह्याचें क्षेत्रफळ होय. व बक, बड ह्या दोन परिमेयदर्शक (गुण्य व गुणक) रेषा एकमेकीवर लंब असल्या म्हणजे त्यांचा गुणाकार होतो. परंतु गुण्य व गुणक हे अगदीं विसदृश किंवा विजातीय परिमेयें असतात. अर्थांत् विजातीय परिमेयें दोन लंब रेषांनीं दाखविणें सोयीचें आहे. भागाकारामधील दोन्हीं परिमेयें विसदृश असतील किंवा नसतील २४ आंबे/ ६ आंबे ह्याचा अर्थ २४ आंबे ही ६ आंब्यांची कितवी पट होईल ? तसेंच २४ आंबे/६ ह्याचा अर्थ २४ आंबे ह्याचे ६ समान भाग केल्यास प्रत्येक भागांत किती आंबे येतील. ह्यावरून २४रू./३रू. = ८ ही निव्वळ संख्या आहे. तसेंच ३ रू./२ आणे = ३ रू./(१/८)रू. = ३/१ X८/१
=२४ हीहि निव्वळ संख्या आली. अर्थात् ३ रू. हे २ आणे ह्याच्या २४ पट आहेत.

बे री ज व जा बा की चा न वी न दृ ष्टी  नें वि चा र.- दोन रेषांची बेरीज किंवा वजाबाकी होण्यास दोन्ही रेषा एकमेकाशीं जुळून ठेवाव्या लागतात हें वर आलेंच आहे. परंतु त्या भिन्नदिशेनें जात असल्यास त्याची बेरीज कसी करावयाची ? या दोन्ही एकरेषिक असल्या तर ‘अ’ पासून ब पर्यंत जाऊन पुढें ‘ब’ पासून ‘क’ पर्यंत गेल्यास एकंदर ‘अ’ पासून ‘क’  पर्यंत गेल्यासारखें होईल. अर्थात् अ क ही बेरीज झाली. तसेंच येथेंहि केल्यास अ ब अंतर जाऊन मग ब क अंतर चालून गेल्यास एक मनुष्य ‘अ’ पासून निघून ‘ब’ पाशीं मुक्काम करून ‘क’ ह्या स्थानापर्यंत गेला असें होईल. अर्थांत् ‘ब’ येथें मुक्काम न करतां जर तो मनुष्य तडक ‘अ’ पासून ‘क’ पर्यंत सरळ गेला तरी परिणाम तोच. म्हणून अब व बक ह्यास विशिष्ट (ह्यांत अब, बक ह्या रेषाच्या लांबींचाच विचार केला नसून त्यांच्या दिशांचाहि विचार केला आहे. म्हणून त्यांस दिक्परिमेय असें म्हटलें आहे.) दिग्वाचक परिमेयें म्हटल्यास त्यांची बेरीज अक हें दिग्वाचक परिमेय झालें. त्याचप्रमाणें अक ह्या दिक्परिमेयातून अब हे दि. प. वजा केलें तर बक हें दि. प. शिल्लक राहतें. हेंच चतुष्ट्योपपत्ति म्हणून जें प्रकरण पुढें येणार आहे त्यांतील एक तत्त्व होय. बेरीज हें एका अर्थी संवर्धन किंवा महत्करण (संचयन म्हणजे एकाच तर्‍हेच्या परिमेयाची वाढ करणें) होय. बेरजेनें परिमेयाच्या स्वरूपांत कांहीं फरक होत नाहीं. गुणाकारानें मात्र परिमेयाच्या स्वरूपांत फरक होतो (त्यावर कांहीं तरी परिणाम घडतो).

दुसर्‍या शब्दांनीं सांगावयाचें म्हणजे ‘य’ हें कांहीं एक कार्य ‘अ, ब, क,....इ.’ कारणांनीं घडून येत असेल व तेंच कार्य ‘क्ष’ ह्या एकाच कारणानें घडून येत असल्यास ‘क्ष’ ही ‘अ, ब, क’ इ. ची बेरीज म्हणतां येईल. तसेंच ‘क्ष’ कारणापासून ‘य’ हें कार्य घडून आलें. आतां ‘य’ हेंच ‘क्ष’ सारखें एक कारण समजलें तर जें ‘र’ हें कार्य घडून येईल तें क्ष व य ह्यांच्या गुणकारासारखें झालें.

उदा:- १ पासून ५ मोजले व पुन्हा १ पासून ६ मोजले तर ते श्रम (किंवा जो वेळ) लागतात. तेच १ पासून ११ पर्यंत मोजावयास लागतात. म्हणून ५+६=११.

उदा:- १ ची ५ पट घेतली म्हणजे ५ ही संख्या आली. तीच पुन: एकं कल्पिली व तसे ६ एकं मोजले तर १ पासून ३० अंक त्यांत येतील येथें मूळकारण १ ही संख्या तिच्यावर (पांच) पट घेण्याचें कार्य केलें तर कार्य ५ ही संख्या झाली. आतां ५ ही संख्या एकं धरली म्हणजे ती ‘कारण’ म्हणून कल्पून तिच्यावर (सहा) पट घेण्याचें कार्य केलें. म्हणून ५X६=३०.

बेरीज, गुणाकार, घातवृद्धि (इनव्होल्यूशन) ह्या मूळ किंवा अनुलोमक्रिया होत. वजाबाकी, भागाकार, वर्गमूळ, घनमूळ, वगैरे विलोम अतएव जास्त भानगडीच्या प्रक्रिया आहेत.

का र्य क्षे त्र.- मागें सांगितलेंच आहे कीं अंकगणित याला पूर्वी पाटीगणित असें नांव असे. पाटीवर अर्थात लांकडाच्या फळीवर अंकगणिताचे हिशेब करीत असत. यावरून हें नांव त्यास मिळालें असावें. गणितशास्त्राचा आरंभ सर्वांत सोप्या अशा अंकगणितानें अशा तर्‍हेच्या पाटीवर करीत असावेत. या पाटीगणितामध्यें खालीलप्रमाणें विभाग आहेत. ते भास्करार्यांच्या पद्धतीप्रमाणें देत आहोंत.

(१) परिभाषा अथवा कोष्टकें (विविध परिमाणें);
(२) परिकर्माष्टक अथवा आठ तर्‍हेचीं बेरीज, वजाबाकी; गुणाकार, भागाकार, वर्ग, घन, वर्गमूळ, घनमूळ इत्यादि कर्में व याच्या पोटांत पूर्णांकपरिकर्माष्टक, भिन्न किंवा अपूर्णांक परिकर्माष्टक व शून्य परिकर्माष्टक असे तीन पोटविभाग येतात.
(३) व्यस्तविधि, इष्टकर्म, विषमकर्म, वर्गकर्म, गुणकर्म त्रैराशिक-सम व व्यस्त व बहुराशिक इत्यदि ज्यांत आहेत असें एक संकीर्ण प्रकरण.
(४) मिश्रकव्यवहार म्ह. व्याज, हौद नळ्या, क्रयविक्रय, रत्‍नमिश्र, वर्णज्ञान (सोन्याचा कस) छंदश्चिति, शिल्प इ.
(५) श्रेढीव्यवहार, यांत गणितश्रेढी व भूमितिश्रेढी हीं येतात.
(६) क्षेत्रव्यवहार, यांत महत्त्वमापन (क्षत्रफळ) खातव्यवहार (खळगे खणण्यासंबंधीं अर्थात घनफळ) चितिव्यवहार (विटा रचणें), क्रकचव्यवहार (करवतकाम), राशिव्यवहार (धान्याच्या राशीच्या आकारावरून धान्याचें माप काढणें), छायाव्यवहार (दिव्याची उंची व छाया यांचा संबंध काढणें) हीं येतात.
(७) कुट्टक म्ह. अतिशय व्यापक स्वरूपाचा दृढभाजक.
(८) गणितपाश म्हणजे यावच्छक्यभेद संख्या सांगणें (परम्युटेशन अँड काँबिलेशन).

अंकगणितांत हल्लीं ज्या ज्या प्रकरणांचा समावेश होतो तीं सर्व बहुतेक यांत आलीं आहेत. दशांश, कटमिती, विनिमय, ठेव वगैरे भाग वर दिलेल्या प्रकरणांत आलेले नाहींत. तसेंच श्रेढी (प्रोग्रशन), कुट्टक (इंडिटर्मिनेट इक्वेशन्स) व गणितपाश हे भाग हल्लीं बीजगणितांत देतात; अंकगणितांत देत नाहींत. पूर्वीं आचार्यांनीं यांची उपपत्ति बीजगणितांत देऊन त्यांवरून येणारीं सूत्रें (किंवा नियम) गृहीत धरून संख्यागणना कशी करावी हेंच पाटीगणितांत सांगितलें आहे.

का र्य प्र का श क चिन्हें :- (ह्यासंबंधीं ज्ञा. को. प्र. खं. वि ५ प्र १३ पहा) हल्लींची अधिक, उणें वगैरेंचीं चिन्हें भरतखंडामध्यें पूर्वकालीं प्रचारांत नव्हतीं. संख्या निरनिराळ्या ठिकाणीं व निरनिराळ्या क्रमानें मांडणें यापलीकडे कांहीं योजना नव्हती. कांहीं वर्णात्मक चिन्हें विशिष्ट ग्रंथकारांनीं व्यक्तिश: योजलेली आढळतात. परंतु तीं सर्वत्र प्रचारांत नव्हतीं. उदाहरणार्थ इसवी सनाच्या पहिल्या शतकाच्या सुमारास लिहिलेलें एक संस्कृत पुस्तक उपलब्ध झालें आहे. त्यांत युति म्हणजे बेरीज या शब्दांतील आद्याक्षर ‘यु’ हें + चिन्हाच्या ऐवजीं योजलें आहे तसेंच + हें चिन्ह वजाबाकीचें चिन्ह म्हणूनहि योजलें आहे. व फल म्हणजे उत्तर यांतील आद्याक्षर ‘फ’ हें समत्वचिन्ह (हल्लीं हें चिन्ह = असें लिहितात) म्हणून योजले आहे. व्यवहारी अपूर्णांक हल्लीं प्रमाणेंच लिहीत. परंतु इतर ग्रंथकारांनीं यांचा उपयोग केलेला आढळत नाहीं. हल्लीं प्रचारात असलेलीं चिन्हें मूळ यूरोपांत निघालेलीं आहेत. +,-हीं चिन्हें कांहीं शब्दांच्या आद्याक्षरांची भ्रष्ट रूपें होत असें कांहींचें म्हणणें आहे. इतर चिन्हें लाक्षणिक अर्थानें योजलेलीं आहेत. +-हीं चिन्हें नरेंबग (जर्मनी) येथील मायकेल स्टायफेल ह्यानें १५४४ त प्रचालांत आणलीं. X हें चिन्ह विल्यम औटरेड ह्यानें १६८१ मध्यें शोधून काढिलें./ हें चिन्ह जॉन ह्या इंग्रजानें १७ व्या शतकांत प्रथम योजिलें. =  हें रॉबर्ट रेकॉर्डस(१५५७) यानें व कंस ( ) चिन्ह एका डच गृहस्थानें शोधून काढलें.

प रि क र्मा ष्ट क. -यांत आठ कृत्यांचा समावेश होतो. तीं आठ कृत्यें म्हणजे बेरीज वगैरे वर सांगितलींच आहेत. बेरीज, वजाबाकी यांऐवजीं पूर्वकालीं ‘संकलन’ व व्यककन’ हे शब्द योजीत. यांतील पहिलीं तीन (त्याबरोबरच वर्ग व घन हीं दोन) यूरोपियन लोकांनीं प्राचीन काळापासून माहीत होतीं. परंतु भागाकार हा इसवी सन ११ व्या शताकापर्यतहि गणितज्ञानाचें माहेरघर जो इंग्लंड देश तेथेंहि कोणास येत नव्हता. एका पाद्रीसाहेबानें इ. स. १००३ मध्यें अबकसच्या साहाय्यानें भागाकार केला होता. यानें ४०८७ याला ६ नीं भागून दाखविलें आहे.

हल्लीं ते उदाहरण एखादा मराठी चौथींतला मुलगा सुद्धां तोंडानें करूं शकेल. पण त्या साहेबाचा हा भागाकार त्याच्या पुस्तकाच्या एक पानभर झाला आहे. हे साहेब प्रत्येक खेपेस ६ च्या ऐवजीं १० नें भागतात व जास्त संख्येंनें भागल्याबद्दल पुढें दोन तीन ओळींत वजा करतात. कॅजोरी यानें आपल्या गणिताच्या इतिहासांत स्पष्ट म्हटलें आहे कीं, “डायोफँटस व इतर प्राचीन गणिती वगैरे (अर्थात् यूरोपियन)  गणितशास्त्रावर लेख लिहिणार्‍यांनां भागाकाराची मुळींच कल्पना नव्हती हें लक्षांत ठेवण्यासारखें आहे. अर्थात जर भागाकारच येत नव्हता तर वर्गमूळ, घनमूळे यांसारखी अवघड विलोमकृत्यें करण्याची रीती त्यांनां माहीत असण्याची गोष्टच बोलावयास नको व बेरीज, वजाबाकी व गुणाकार हीं तीन तरी आपल्या पूर्वजांनां जशीं येत होतीं तशा सफाईनें व सुटसुटीत रीतीनें त्यांना करितां येत होती कीं नाहीं याची शंकाच आहे.

हा त चे कां ध र ता त.-या प्रश्नाचें उत्तर देणें फार कठिण नाहीं. सामान्यत: असें म्हणतां येईल कीं प्रत्येक कृत्यांत येणारा आंकडा ज्या स्थानचा असेल त्याच स्थानच्या आकड्यांत मिळविला किंवा वजा केला जावा हा हातचे धरण्याचा उद्देश आहे. उदाहरणार्थ:-
१७५६+९८७ ही बेरीज पुढें लिहिल्याप्रमाणें करता येईल.

१७५६
९८७
१३=६+७
१३०=८०+५०
१६००=९०० +७००
१०००= १०००
२७४३

हा क्रम नीचस्ताना (ह्म. एकं) पासून उच्च (म्ह. सहस्त्र) स्थानापर्यंत असा आहे. परंतु उलट क्रमानेंहि आंकडे घेऊन बेरीज करतां येईल.

वजाबाकीचें उदाहरण, १७५६-९८७=७६९. वजाबाकींत थोडी भानगड असते. वरील वजाबाकींत ६ तून ७ वजा जात नाहींत. म्हणून आपण ६ च्या ऐवजीं १६ कल्पून मग त्यांतून ७ वजा करतों; अर्थात् आपण १७५६ मध्यें १० मिळविल्यासारखें झालें म्हणून या दोन संख्येंतील फरक कायम ठेवण्याकरितां दुसर्‍याहि संख्येंत १० मिळविलें पाहिजेत हें उघड आहे. म्हणून आपण ९८७ मध्यें १० मिळवितों. याचप्रमाणें पुढेंहि समाजावे.

१७५०+१६ १७००+१५०
-९९०-७ -१०००-९०
७६०+९  ७००+६०

गुणाकारालाहि हेंच स्पष्टीकरण लागू आहे व गुणनक्रियेला उजवीकडून आरंभ न करतां वाटेल त्या आंकड्यापासून व वाटेल त्या बाजूनें गुणाकार करतां येईल. उदा.:-

३८७
X३५६
_____
१९३५०
२३२२
११६१००
१३७७७२

या उदाहरणांत प्रथम ५ नें, मग ६ नें व मग ३ नें गुणलें आहे. ५ हे दहंस्थानचे असल्यामुळें त्यानें गुणणें म्हणजे ५० नीं गुणणें होय. हेंच स्पष्टीकरण सर्वत्र  लागू पडेल. ३८७x६=२३२२ ह्यांत ६ नीं प्रथम ७ ला मग ८ ला व मग ३ ला असें क्रमानें सामान्यत: आपण गुणितों. पण हा क्रम उलटहि करतां येईल. किंवा आरंभ गुण्यांतील वाटेल त्या आंकड्यापासून करतां यईल.

उदाहरण :-३८७x६ =१८०० अथवा ४८०
                ४८०      १८००
                ४२         ४२
               ____        _____
               २३२२        २३२२

बेरीज, वजाबाकी गुणाकार हीं तिन्ही एकदम करतां येतात त्यांचें एक उदाहरण घेऊं.
६१२३-[३५७x५+४६२] =३८७६.
स्पष्टीकरण:-गुणाकार, बेरीज व वजाबाकी या क्रमानें चाललें असतां निरनिराळ्या क्रियाविभागाचे खालीलप्रमाणें स्पष्टीकरण होईल.

क्रियाविभाग पहिला:- ३५७ मधील ७ ला ५ नीं गुणून त्यांत ४६२ यांतील २ मिळविले म्हणजे ३७ येतात. हे ६१२३ यांतील ३ यांतून उणे जात नाहीत, म्हणून ३ च्या ऐवजीं ४३ कल्पून ४३ तून ३७ उणें केले म्हणजे ६ उरतील; व हातचे ४ धरावे लागतील; कारण आपण ३ च्या ऐवजीं ४३ कल्पिले आहेत.

क्रियाविभाग २ रा.- ३५७ तील ५ ला ५नीं गुणले असतां २५ येतात. त्यांत ४६२ तील ६ मिळवून ३१ येतात व हातचे ४ धरून ३५ येतात. हे ६१२३ पैकीं २ यांतून वजा जात नाहींत म्हणून २ च्या ऐवजीं ४२ कल्पना करून व हातचे ४ धरून :-

(क्रियाविभाग ३) ५x३=१५+४=१९+४=२३.
                      ६१-२३=३८.

हीच क्रिया वरील तिसर्‍या विभागापासून आरंभ करून पहिल्यापर्यंत उलट क्रमानेंहि करतां येईल परंतु यापेक्षां तें थोडें भानगडीचें होईल.

६१२३-(३५७x५+४६२)/७ =५५३ ५/७
रीत पहिली:- ३x५=१५+४=१९
           १६-१९=४२; ४२/७-६

परंतु हे सहाचे ६ च घेतले तर पुढें वजाबाकी करतांना अडचण येईल म्हणून यांतील ५ च घेऊन पुढील ६१२३ यांतील २ च्या ऐवजीं ७२ कल्पणें.

रीत दुसरी:- ५x५=२५+६=३१; ७२-३१=४१, ४१/७=५ व बाकी ६. पुढील ३ वर घेतले असतां ६३ झाले.
रीत तिसरी:- ५x७=३५+२=३७
          ६३-३७=२६; २६/७= ३ ५/७
एकदम गुणण्याची रीत:-

शेवटच्या गुणाकारांत ७५३ ला ९ नीं गुणावें व मग त्या गुणाकाराला २० नीं गुणिलें आहे व शेवटीं त्याच गुणाकारास (६७७७ यास) ३००० नीं गुणिलें आहे.

भागाकार:- ६७८२३/८४ यांत ८४ चे अवयव ३,७,४ हे होत तेव्हां ३ नीं भागून नंतर ७ नीं व मग ४ नीं भागावें म्हणजे उत्तर येईल.

३) ६७८२३
७) २२६०७ बाकी २
४)३२२९ बाकी ४
_______
८०७ बाकी १.

खरी बाकी:- पहिली २ ही बाकी मूळ संख्येंतीलच उरलेली आहे; परंतु दुसरी ४ ही बाकी २२६०७ यांतील आहे. म्हणजे मूळ संख्येच्या १/३ तील होय. तेव्हां ही ४ बाकी मूळची १२ असली पाहिजे. तिसरी १ ही बाकी ३२२९ पैकीं आहे. म्हणजे मूळसंख्येच्या १/२१ तील. म्हणून ही मूळ २१   
बाकी असली पाहिजे. म्हणजे एकंदर:-
  खरी बाकी २१+१२+२= ३५
  भागाकार ८०७ व बाकी ३५

भागाकार म्हणजे तरी आसन्नक्रिये (म्हणजे अंदाजाअंदाजानें उत्तर काढण्याचा प्रकार) चाच एक प्रकार आहे.
उदाहरणार्थ:-
    ८४)६७८२३(८००+७
  ______________
        ६७२००
        ६२३
    _____
        ५८८
          ३५

यामध्यें प्रथमत: दिलेली संख्या ६७८२३ ही ८४ च्या ८०० पट आहे हें पहिलें आसन्नफल म्ह. अंदाज होय. नंतर बाकीवरून हा अंदाज ७ नीं वाढविला पाहिजे हें दिसून आलें. यूरोपांत भागाकार ११ व्या शतकापर्यंत माहीत नव्हता. तेथपर्यंत भागाकार वजाबाकीनें करीत असत. वरील आसन्नक्रियेचें तत्त्व ६७८२३ याला ९९ नीं भागावयाचें असल्यास लागू करतां येईल. ९९ हे जवळ जवळ १०० आहेत म्हणून पहिलें अंदाजी उत्तर ६७० परंतु १०० ची ६७० ही पट ९९ च्या ६७० पटींपेक्षां ६७० नीं अधिक आहे म्हणून ९९ च्या ऐवजीं १०० नीं भागलें तर आपण वजा करावयास पाहिजेत त्यापेक्षां ६७० जास्त वजा केले म्हणून ते मिळविले पाहिजेत. असेच पुढच्या आंकड्या संबंधी करीत गेल्यास भागाकार व बाकी बरोबर येईल व हीच रीत कोणत्याही ९ ह्या आकड्यानें बनलेल्या संख्येनें भागावयाचें असल्यास उपयोगी पडते. उदा. १५७५७९३ ह्यास ९९९ हयांनीं भागूं:-

९९९ | १५७५७९३  |                रीत:--भाजकांत
        १५७६  |    २६०            जितके ९ असतील
         १   |    ११                 (येथें ३) तितके
        १५७७  |    ३७०            भाज्यांतींल आंकडें

(डाव्या हाताकडील) घेऊन (येंथें १५७) ते त्याच्याच पुढील आंकड्यांच्या खालीं लिहावेत. (येंथें डाव्याबाजूकडून) पहिले तीन अंक घेऊन ते ओळीनें त्यांच्या पुढच्या म्ह. ५, ७, ९, ह्यांच्या खालीं अनुक्रमें १, ५, ७, असे लिहिले आहेत. मग ह्या खालच्या वरच्या आकड्यांची बेरीज अनुक्रमे ५+१=६, ७+५=१२, ९+७=१६, हे १,५,७ ह्यांच्यापुढें उजव्या बाजूस लिहिले आहेत. मात्र १२ तील २ हे १५७६ ह्याच्यापुढें लिहून १ हा दशकाचा आंकडा ६ च्या खालीं लिहिला आहे. १६ ही ह्याच पद्धतीनें लिहीले आहेत व मग बेरीज करतां भाज्याच्या उजवीकडे जी उभी रेघ काढली आहे तिच्या डाव्या बाजूस भागाकार १५७७ हा येतो. आाणि उजव्या बाजूस बाकी ३७० ही आली आहे. ही रीत गोखले यांच्या अंकगणितांत दिली आहे ती पहावी. तींतच ५, १५, २५, ७५ ह्यांनी झटदिशीं कसें गुणावें हे सांगितलें आहे.

व री ल री ती ची उ प प त्ति:-भाज्य = भाजक ×  भागाकार+बाकी ह्या समीकरणानें देतां येते. येथें ९९९ हा भाजक आहे म्हणून:-

  भा. = ९९९ × भागा. + बाकी = १००० भागा-भागा + बाकी.

  भा. + भागा. = १००० भागा. + बा.
  भा. + भागा.           बा.
_____________       +  ______
  १०००            = भागा        १०००

हजारानें भागून येणारा भागा. १५७ हा तेव्हांच लिहितां येतो. पुढे तो भाज्यातींल आकड्यांत स्थानानुक्रमानें मिळवून पुढचे आंकडे काढितां येतात. ३३३ नीं भागावयाचें तर आधीं दिलेल्या संख्येस ३ नीं गुणावें व मग ९९९ नीं भागावे. ह्याचप्रमाणें १११ ह्यांनींही भागतां येईल. ह्या रीतीचा खरा फायदा ९९९९९ अशा मोठ्या संख्येनें भागतांना फारच दिसून येतो. वरील उपपत्तीवरून १००१ ह्यांनी भागण्याचीही रीत बसवितां येईल. मात्र बेरजेऐवजीं वजाबाकी करावी लागेल. १००१ ह्यांतील १००० ह्याला तीन शून्यें आहेत. म्हणून १, ५, ७ हे भाज्याचे तीन आंकडे अनुक्रमे ५, ७, ९ ह्यांच्या खालीं लिहिले.

  १००१    | १५७५७९३  |
          __________________
            १५७४ |    २२९
              ______________
              |           
                      | -१० } उत्तर
            १५७४ |    २१९
        भागाकार   | बाकी

मग  ५-१= ४ ह्या उत्तरांतील ४ था आंकडा
    ७-५= २ ''    ''    ५ वा   ''
    ९-७= २ ''    ''    ६ ''    ''   }
  (१)    ३-४= ९ ''    ''    ७ ''    ''
        -१०९ मिळवून १० वजा केले आहेत.

तसेंच ९९८ ह्यानें व अशाच रीतीनें ९९७,९९९६ वगैरे संख्यांनीं भागाकार करिंता येईल. उदा:- पहिले ३ आंकडे वरील प्रमाणें लिहिल्यावर.
  ९९९           | १५७५७९३ |
             ________________
            १५७७  |    ७३९
             १   |    २१
                 ______________________
    
    भागाकार     १५७८      |    ९४९ बाकी

यानंतर ४ था आंकडा = ५ + १ × २ = ७
     ५ वा   ''    = ७ + ५ × २ = १७
     ६ वा      ''    = ९ + ७ × २ = २३

ह्याचप्रमाणें पुढेंहि करावें. येथें १,५,७ वगैरे अंकांची दुप्पट घ्यावी.

४९नीं भागावयाचें झाल्यास भाज्यास २नीं गुणावें व ९८नीं भागावें. ७५ नीं भागणें म्हणजे ४ नी गुणून ३०० नीं भागणें होय.

  ७५    |  १५७५७ |    ९३
    ५२५२६४   |    ६४ १/३
_____________________________
भागा.    २१०१०       |    ५७ १/३
                बाकी = ४३

१०० ह्यांनी १५७५७९३ ह्याला भागावयाचें म्हणजे उजवीकडे ३ च्या आकड्यापाशीं एक रेघ ओढल्यास डावीकडे भागाकार व उजवीकडे बाकी असे वर दाखविल्याप्रमाणें भाग पडतात.

अर्थात १०० नीं भागून भागाकारांत त्याचाच १/४ मिळवावा. ह्यांत ५७ १/३ ही खर्‍या बाकीच्या ३/४ पट आहे. तेव्हां खरी बाकी ह्याच्या ३/४ पट म्हणजे १७२×३/४ = ४३ येईल. अशा अनेक युक्त्या योजून भागाकाराचे श्रम कमी करतां येतील.

आपल्या पूर्वींच्या गणितांत (पूर्ण) परिकर्माष्टक (पूर्णोकांवर करावयाच्या बेरीज, वजाबाकी इ. क्रिया), भिन्नपरिकर्मांकष्ट (व्यवहारी अपूर्णांक ह्यास भिन्न म्हणतात) व शून्यपरिकर्मांकष्ट असे भाग असतात हें वर आलेंच आहे. त्यांत शून्य हें कोणत्याहि संख्येंतून वजा केलें तर त्या संख्या बदलत नाहींत. शून्यानें एखाद्या संख्येस गुणिल्यास गुणाकार शुन्य येतो हें प्रसिद्धच आहे व वर्ग व उच्चघातसमीकरणें सोडविण्याची रीत ह्या तत्वावरच बसविलेली आहे. (०)२ = ० आणि V  ० = ० परंतु शून्याला शून्यानें भागिलें तर भागाकार १ न येतां ०/०  याचें उत्तर अनिश्चित असतें. शुन्याखेरीज कोणत्याहि संख्येनें शुन्याला भागिल्यास भागाकार शून्य येतो. जसें:- ०/७ = ०. यावरून शून्याला कोणत्याहि संख्योनें भाग जातो असें वाटतें. परंतु एका संख्येस दुसरीनें भाग जातो ह्याचा अर्थ भागाकार पूर्णांकीं पाहिजे. परंतु ०/९, ०/७, इ. हे अपूर्णांक आहेत कारण. ही सर्वात लहान संख्या आहे. शून्याखेरीज कोणत्याहि संख्येस शून्यानें भागिलें असतां ' अंनंत ' उत्तर येते. हा राशि अशा चिन्हानें दर्शवितात. म्हणून (कोणतीहि संख्या)/० = ह्या राशीला

भास्कराचार्य 'स्वहर' (शून्य ज्याचा भाजक आहे असा) असेंहि नांव देतात.

शून्य व अनंत ह्या दोन राशीसंबंधानें कांहीं माहिती खालीं देतों.

शून्य हें एका अर्थीं पूर्णांकाच्या जातीचें आहे. शुन्य हें १ ह्या विषम संख्येच्या पूर्वीची संख्या असल्यानें समसंख्या आहे. २, ४, ६, ह्या समसंख्येच्या मालिकेत त्याचा समावेश होतो. शून्य हें घन व ऋणसंख्या ह्यांच्या सीमेवर असल्याने त्याला घनऋणत्व नाहीं. ते धड घन संख्याहि म्हणतां येत नाहीं व ऋणसंख्याहि म्हणतां येत नाहीं. कोणत्याहि संख्येचा शून्यावर घात एक असतो.
उदा . ५ = १.

अनंतामध्यें कोणतीही संख्या मिळविली किंवा त्यातून कोणतीहि संख्या वजा केली तरी ते बदलत नाही. जसे:-

तसेंच एकाच प्रतीच्या दोन अनंतराशी घेतल्यास


म्ह. कोणत्याहि संख्येस (सांत राशींस) अनंतानें गुणल्यास गुणाकार अनंत येतो.

कोणत्याहि संख्येस अनंतानें भागल्यास भागाकार शून्य येतो.

 

गणितस्कंधाच्या उच्चशाखांतून शून्य व अनंत ह्यांच्या ह्या गुणधर्मांचा विचार व उपयोग पदोपदीं केला जातो. ५ ह्याला ० नें गुणणें म्हणजे ५ ची कांहीहि पट न घेण्यासारखे आहे अर्थात् गुणाकार ' कांही नाहीं ' अर्थात् शून्य झाला. ५/० ह्याचा अर्थ '' ५ हा ० च्या किती पट आहे'' असा प्रश्नरूप झाला; व उत्तर 'अनंत' पट आहे असें आलें हें ठीकच झालें. पण ५/० =  ह्या समीकरणवरून (५ = ० ×  ); ० ×  = ५ असें एक समीकरण येते. अर्थात् शून्य व अनंत ह्यांचा गुणाकार ५ येतो असें दिसतें, पण ७/० =  , ह्यावरून ० × = ७ होतात. अर्थात ० × हा   ह्याप्रमाणेंच अनिश्चित स्वरूपाचा आहे. तसेंच / हाही अनिश्चित स्वरूपाचा आहे. ह्याशिवाय (१ + १/प) प ह्यांत प जर 'अनंत' किंमतीचा असला तर (१ + १/प)प = २ ७१८२८ अशी किंमत येते. सकृद्दर्शनी ह्याची किंमत 'एक' येईल असें वाटतें.

हल्ली सूक्ष्म राशींच्या व अनंतराशीच्या प्रती लेखिलेल्या आहेत. म्हणजे ब हा जर एक सूक्ष्मराशीं असला तर ब, ब, ब हे एकाहून एक उच्चतर प्रतीचे सूक्ष्म राशीं होत. दुसर्‍या प्रतीच्या सूक्ष्म राशींस (ब,) यास पहिल्या प्रतीच्या सूक्ष्म राशींने (बनें) भागिल्यास उत्तर शून्य येतें. असेंच अनंत राशीसंबंधानें समजावे. अशा ठिकाणीं सूक्ष्म राशी व महत्तमराशी ह्या चलराशी समजल्या जातात. व शून्य व अनंत ह्या त्यांच्या परमावधी (लिमिट) होत.

व र्ग क र ण्या ची सो पी री त :- ही भास्कराचार्यांनीं आपल्या लीलावतीत दिली आहे.

- ब = (अ + ब) (अ - ब). येथें अ आणि ब या दोन संख्या आहेत. यावरून दोन सांख्यांच्या वर्गाचें अंतर हें त्या संख्यांची बेरीज व वजाबाकी यांच्या गुणाकाराबरोबर असतें. हेंच जर दुसर्‍या तर्‍हेनें मांडलें तर:- अ + (अ + ब) (अ - ब) + ब२ . पूर्वीप्रमाणेंच अ, ब या कोणत्याहि दोन संख्या आहेत. समजा की ३९६ याचा वर्ग करणें आहे तर ३९६२ = (३९६ + ब)(३९६ - ब)+ब२ . आतां 'ब' ला आपल्याला वाटेल ती सोयीची किंमत देता येईल; तर आपण 'ब' ची किंमत ४ घेऊ;

    ३९६    = (३९६ + ४)(३९६ - ४) + ४
               = ४०० × ३९२ + १६
               = १५६८१६.

 ब = ४ घेण्यांत फायदा येवढाच की त्यानें ३९६ + ४ = ४०० हे गुणावयास सोईस्कर आहेत. थोड्या संवयीनें या रीतींनें वर्ग फार लवकर करतां येईल.

सर्वच आंकड्यांचा या रीतीनें वर्ग करणें सोपें जाणार नाहीं हें खरें. तरी पण बर्‍याच ठिकाणी हा नियम फार उपयोगी पडेल. दुसरी एक रीत (अ + ब)२ =अ२ + २ अ + ब२ या सारणीवर बासविलेली आहे. उदाहरणार्थ ६७ चा. वर्ग करूं.

अशाच संक्षिप्त रीतींने ६७२ हें काढितां येईल. याप्रमाणें केवढीही संख्या असली तरी तिचा वर्ग लिहितां येईल.

वरील सूत्रानें:-

  ४३×३७=(४० + ३) (४० - ३)= १६००-९
     =१५९१.

अशा तर्‍हेचे गुणाकार करतां येतील.

११७×१२३=(१२० - ३) (१२० + ३)= १४४००-९
= १४३९१.

काटकोन त्रिकोण :- याचा अत्यंत महत्त्वाचा गुणधर्म हा की कर्णाचा वर्ग हा इतर दोन भुजांच्या वर्गांच्या बेरजेबरोबर असतो. हा गुणधर्म पायथॅगोरास ह्या ग्रीक तत्त्ववेत्त्यानें शोधून काढला असा यूरोपियन लोकांत समज आहे. पण ह्या तत्त्ववेत्त्याच्या जन्माच्या पूर्वीं २ किंवा ३ शतकें झालेल्या शुल्बसूत्र नामक सूत्रांत ह्याचा उल्लेख आहे व पायथॅगोरस व इराटॉस्थेनीझ इत्यादि ग्रीक तत्त्ववेत्ते व बॅकस ही ग्रीक कामदेवता ह्यांनीं गणित,तत्त्वज्ञान वगैरें विषयांचें ज्ञान पूर्वेकडून व विशेषत: हिंदुस्थानांतून आणिलें अशी ग्रीक लोकांतच दंतकथा आहे. ईजिप्शियन सुधारणाहि अशीच अबिसीनिया येथील प्राचीन कालच्या हिंदी वसाहतीपासून जन्मली असें तेथील शब्दसाद्दश्यावरून व नाइल नदीच्या उगमाची हकीकत पुराणांत सांपडते तीवरून सिद्ध होते. ह्या व इतर अनेक पुराव्यांवरून ईजिप्शियन सुधारणेचा उगमहि आपल्या भरतखंडांतील प्राचीन सुधारणेमध्येंच सांपडतो. ह्यावरून ह्या सिद्धांताचा उगम भरतखंडात झाला असून नंतर येथूनच तो ग्रीस देशांत गेला असण्याचा बराच संभव आहे.

वर सांगितलेल्या शुल्बसूत्रांत (ज्ञा. को. प्रस्तावनाखंड, भाग ५ प्रकरण १३ पहा) वरील सिद्धांतावरून सुचलेलीं खालील प्रकाराचीं संख्यात्रिकूटें दिलेलीं आहेत.
  ३ + ४=९+१६=२५=५.  .  . ३+४ =५

अर्थात ३,४ ह्या काटकोनत्रिकोणच्या दोन बाजू असतील तर ५ हा त्या त्रिकोणचा कर्ण झाला. ह्यावरून असा प्रश्न सुचतो कीं, दोन संख्यांच्या (अर्थात पूर्णांक संख्या घ्यावयाच्या) वर्गाची बेरीज तिसर्‍या एका संख्येच्या वर्गाच्या बेरजेइतकी होईल असें संख्यात्रिकूट कसें काढावयाचें ? अशीं बरीचशीं संख्यात्रिकूटे शुल्बसूत्रांत दिलेलीं आहेत. उदाहरणर्थ ५, १२, १३,; ८, १५, १७,; ७, २४, २५ इत्यादि.

प्रत्येक त्रिकूटापासून त्यांतील संख्यांनां इष्ट संख्येनें गुणून वाटेल तितकीं त्रिकूटें काढितां येतात. उ.(३,४,५) हयांपासून (६, ८, १०), (१५, २०, २५) वगैरे. प्रत्येक स्वतंत्र किंवा परस्पर अविभाज्य संख्यांचें त्रिकूट (३, ४, ५; ५, १२, १३; ८, १५ १७; वगैरे) ह्यांतील तिन्ही संख्यांच्या गुणाकारास ६० नीं भाग जातो. उदा:-८× १५ × १७= २०४० ह्याला ६० नीं भागिलें असतां ३४ भागाकार येतो. आणखीहि मजेदार गुणधर्म इंडियन मॅथेमॅटिकल जर्नल ह्यांत दिलेले आहेत. परंतु विस्तारभयास्तव येथें दिले नाहींत.

उपपत्ति:- अशीं संख्यात्रिकूटें ज्या सूत्रावरून काढितां येतात तें सूत्र असें:- (अ+ ब )=( अ- ब) +(२ अब). हें युक्लीडनें दिलेलें आहे असें म्हणतात. त्यांत अ व ब ह्या कोणत्याहि दोन (पूर्णांक) संख्या घेतल्या असतां त्यांच्यापासून एक त्रिकूट निघतें. उदा. अ=४ व ब=१ ह्या किंमती घेतल्या तर अ+ ब=१७, अ- ब =१५ आणि २ अब=८ म्हणून १७, १५, ८ हें त्रिकूट निघालें.

अपूर्णांक :- आतापर्यंत पूर्णांकी संख्यांवर करावयाच्या प्रक्रिया सांगितल्या. परंतु जगांत पूर्ण वस्तूंचाच केवळ विचार करावयाचा नसून वस्तूच्या (भिद=फोडणें,भेद करणें, ह्या' भिन्न' (फोडलेला) भाग असा अर्थ झाला म्हणून संस्कृतांत हा शब्द अपूर्णांकार्थी योजलेला आहे) भागांचाहि विचार करावयाचा असतो. एका वस्तचे ३ भाग करून त्यांतील एक घेतला तर तो १/३ असा लिहितात. ह्या व्यवहारी अपूर्णांकांतील छेद (अर्थांत रेघेखालचा अंक ३) हा त्या वस्तचे किती (समान) भाग केले आहेत ते दाखवितो. विभाजक व आडव्या रेषेच्या वरचा आंकडा १ ह्याला अंश म्हणतात. व हा अंक (छेदानें दर्शविलेल्या समान भागांपैकीं) किती भाग घेतले आहेत तें दाखवितो. उदा. ५/१७ ह्याचा अर्थ एका वस्तूचे १७ समान भाग करून त्यांतील ५ भाग घेतले आहेत असा होतो.

व्यवहारी अपूर्णांकावर करावयाच्या सर्व प्रक्रिया आपल्या पूर्वजांस पूर्ण अवगत होत्या. ख्रि. श. पूर्वीं सुमारें ३००० वर्षे अहमस ह्या मिसरी गणितज्ञास कोणत्याहि अपूर्णांक कांही एकांशीं (ज्यांचा अंश १ आहे असे) अपूर्णांकांच्या बेरजेबरोबर कसा असतो हें माहीत होतें.


व्यवहारी अपूर्णांकांसंबंधानें सामान्य माहिती कोणत्याहि अंकगणितांत दिलेली असते. म्हणून ती येथें दिली नाहीं.

१/३ व १/७ ह्यांचा विचार केला असतां पहिला अपूर्णांक हा एकाचा तिसरा हिस्सा व दुसरा हा सातवा हिस्सा आहे. २/३ ह्यांत दोन तिसरे हिस्से आहेत. ३/७ ह्यांत तीन सातवे हिस्से आहेत. म्हणजे १/३ व २/३ ह्यांत तिसरा हिस्सा हें माप आहे व २/७,३/७,५/७ ह्यांत सातवा हिस्सा हें माप झालें. हीं मापें वेगवेगळीं झाल्यानें २/३ आणि ५/७ ह्यांची बेरीज,वजाबाकी करतां येत नाहीं. ती करतां येण्यास दोन्ही अपूर्णांक एका मापानें म्ह. १/२१ ह्या मापानें मापिले पाहिजेत. १/३ ह्यांत १/२१ ची ७ पट आहे;२/३ ह्यांत १४ पट आहे;तसेच ५/७ ही १/२१ ची १५ वी पट आहे.
म्हणून

ह्यावरून २/३,५/७ अशीं रूपें असण्यापेक्षां हेच अपूर्णांक १४/२१,१५/२१ अशा समच्छेद (दोहोंचाहि च्छेद २१ हा एकच आहे. म्हणून ह्यास समच्छेद रूप म्हणतात.) रूपानें दिलेले, बेरीज वजाबाकीच्या द्दष्टींने जास्त साईस्कर होत. अशा रीतीनें सर्व अपूर्णांकांचा एकच ठराविक छेद असणें बरें हें सिद्ध झालें.

रोमन लोकांत १२ हा सर्व अपूर्णांकाचा छेद असे. बाबिलोनियन लोकांत ६० हा छेद असे पण तो अध्याहृत ठेवीत, प्रत्यक्ष लिहीत नसत. असा एकच छेद असणें इष्ट आहे हें ठरल्यावर तो छेद १० असणें गणितद्दष्ट्या फार सोईचें आहे. [आपल्या देशांतील शतानंद नांवाच्या (अकराव्या शतकांतील) ज्योतिषानें प्रत्येंक अपूर्णांक १०० हा छेद ठरवून सांगितलेला आहे] व परार्ध, मध्य, अंत्य... ... कोटि, लक्ष अशा उलट क्रमानें स्थानें घेतलीं असतां 'एकं' येथें थांबावें लागत होतें तें आतां थांबण्याचें कारण नाहीं. कोटींच्या मागचें स्थन दशलक्ष हें कोटीला १० नीं भागून येते. तसेंच एकंच्या मागचें स्थान एकंला १० नीं भागून आलें पाहिजे. अर्थात १/१० अथवा दशांश स्थान हें एकंच्या मागचें स्थान झालें. ह्याचप्रमाणें शतांश, सहस्त्रांश अशीं अनेक स्थानें उत्पन्न झालीं. तेव्हां 'एकं' स्थानच्या पुढचीं (डाव्या बाजूचीं) दहं, शतं इत्यादि स्थानें जशीं तयार झालेलीं आहेत तशींच एकं स्थानच्या उजव्या बाजूला (मागची) दशांश, शतांश, सहस्त्रांश इ. अपूर्णांकदर्शक स्थानें झालीं.

ह्या दोन्ही स्थानमालिकांच्या मध्यें दशांशचिन्ह म्हणून टिंब खुणेकरितां लिहितात हें सर्वांस माहीत आहेच. तेव्हां ४३२.५३०८९
 ह्यांतील पहिल्या तीन आंकड्यांची, स्थानिक महत्त्व लक्षांत घेतां, किंमत काय हें मागें सांगितलेंच आहे. त्याच अनुरोधानें दशाशचिन्हाच्या उजव्या बाजूच्या ५ ह्या आंकड्यांची खरी किंमत (तो दशांश स्थलीं असल्यामुळें) ५/१० होय. असेंच पुढच्या आंकड्यांसंबंधीं समजावें.

हे दशांश अपूर्णांक आपल्या भरतखंडस्थ प्राचीन गणितज्ञांस ख्रि. शकाच्या ६ व्या शतकाच्या सुमारास माहीत होते.

अपूर्णांक म्ह. भागाकार पूर्णपणें मांडण्याचाच एक प्रकार होय. ३० ह्या संख्येस ५ ह्यानें भागिलें असतां भाग बरोबर तुटतो व भागाकार ६ असें आपण उत्तर लिहितों. पण ३२ ह्या संख्येस ५ नीं भागिलें असतां भाग बरोबर जात नाहीं; व उत्तर 'भागाकार ६ येतो व बाकी २ उरते' असें द्यावें लागतें. पूर्ण भागाकार काय येतो ह्याचें उत्तर पुढीलप्रमाणें विचार केल्यावर देतां येईल. ३० ला ५ नीं भागणें ('भागणें' ह्याचा विचार मूळचा अर्थ 'भाग करणें') म्हणजे ३० चे बरोबर ५ भाग करावयाचे असा घेतला तर ३२ ला ५ नीं भागणें म्ह. ३२ चे ५ भाग करणें व ह्यांचे उत्तर ३२/५ अशा रीतीनें लिहितां येईल. अर्थात् अशा प्रत्येक भागांत जितके एकं येतील तो भागाकार. म्हणून ३०/५=६ परंतु; ३२/५ ह्यामध्यें ६ पूर्ण एकं झाल्यावर. वर २ राहतात. त्याचेहि ५ भाग केल्यास प्रत्येक भाग २/५ इतक्या एकंच्या भागाबरोबर होईल. अर्थात् ३२/५ ह्याचा अर्थ ६ २/५ म्हणजे ३२ ला ५ नीं भागिल्यास पूर्ण उत्तर ६ २/५ असें झालें. त्याचप्रमाणें ३ ला ५ नीं भागून जो भागाकार येईल तो पूर्ण नसला तरी ह्या पद्धतींनें ३/५ असा लिहितां येईल. असेंच इतरत्र समजावें.

आ स न्न वि धि:- हल्लीं शास्त्रज्ञ लोकांची जिकडेतिकडे चिकित्सक बुद्धीनें प्रत्येक परिमेयाचें सूक्ष्म मान काढण्याकडे प्रवृत्ति फार आहे. व या कार्याकरितां साधनेंहि शोधून काढण्यांत आलीं आहेत. उदा. दुर्बिण, सूक्ष्मदर्शक यंत्र वगैरे. हिशेब करण्याच्या रीतीहि चांगल्या आहेत. या सर्वांच्या सहाय्यानें निरनिराळ्या परिमेयांचीं सूक्ष्म मापें निश्चित केलीं आहेत. कालमापनांत ९ सेकंदाची किंवा त्याच्या सहस्त्रांशाचीहि चूक शास्त्रज्ञांनां खपत नाहीं. अंतरें मापतांना अति सूक्ष्मकीटकांची व अणूंची लांबी सांगण्याचा प्रसंग येतो. त्यावेळीं इंचांचा लक्षांश, कोट्यंश, किंवा त्याहूनहि सूक्ष्म अंशानें ती लांबी सांगण्याचा प्रसंग येतो. अशीं मानें सांगतांना असें आढळून येतें कीं, जगांत बरींच परिमेयें लांबलचक अपूर्णांक रूपानें सांगावीं लागतात. पूर्णांक अशी फार थोडीं. उदा. १ वर्ष= ३६५.२५६३७४४ इतके दिवस. प्राणवायू(ऑक्सिजन)च्या परमाणूचें वजन=१५.९६ हैड्रोजन पर.व.वगैरे.अर्थात् हीं मानें घेऊन हिशेबं करणें फार त्रासाचें होतें. व बरेच वेळां ७। ८ दशांश स्थळांपर्यंत उत्तर नको असतें. २। ३ स्थळांपर्यंत किंवा पूर्णांकापर्यंतच अंदाजी उत्तर बरोबर असलें म्हणजे पुरें होतें. याकरितां अशीं सूक्ष्म मानें दिलीं असतां त्यांच्या संबंधीं हिशेब करतांना इष्ट स्थळांपर्यंत अंदाजी उत्तर कसें काढतां येईल हें ज्यांत सांगितलें आहे त्यास आसन्नविधि (अप्रॉक्झिमेशन) म्हणतात. शिवाय त्याच्या योगानें एखादा हिशेब बरोबर आहे कीं नाहीं याचा थोडक्यांत पडताळा पाहतां येतो. या आसन्नविधिप्रमाणें बेरीज वजाबाकी करणें अगदीं सोपें असतें. गुणाकार, भागाकार यांच्या संक्षिप्त रीती (तसेंच वर्गमूळ, घनमूळ, वर्ग, घन, यांच्या संक्षिप्त रीती कोणत्याहि बीजगणितांत उदा. हॉल अ‍ॅन्ड नाइट या पुस्तकांत दिलेल्या आहेत.) गोखल्यांच्या अंगणितांत दिलेल्या आहेत. पुष्कळ समीकरणें, सोडविणें कठिण जातें. पण या आसन्नविधिच्या असकृतविधि (सक्पेसिव्ह अप्रॉक्झिमेशन) नावांच्या रीतीनें कोणत्याहि समीकरणाचें आसन्नमूळ काढतां येतें. उदा. क्ष३+१०० क्ष-१=० प्रथम क्ष फार अल्पमूल्य अपूर्णांक आल्यानें क्ष३ हा त्या मानानें फारच लहान राशि झाला म्हणून तो सोडून देतात.

    

अशी 'क्ष' ची अंदाजी. किंमत झाली. (जास्त माहितीकरितां बुरूसाइड अ‍ॅण्ड पँटन्स थिअरी ऑफ इक्केशन्स पहा.)

या पद्धतीप्रमाणें ९ म्हणजे अजमासें १० समजतात. तत्त्व-१७ हे १० व २० या दोहोंच्यामध्यें आहेत. पण २०च्या जास्त जवळ आहेत. म्हणून २० ही अंदाजी किंमत झाली.

ज्या प्रतीची आसन्नता इष्ट असेल त्याप्रमाणें अंदाजी उत्तरें निरनिराळीं येतील.

  ९२७५६३ हे ९३००००, ९२८०००, ९२७६०० इ. तर्‍हेनें आपल्याला दशसहस्त्र, सहस्त्र, शंत किंवा ज्या स्थानीं थांबायचें असेल त्याप्रमाणें लिहितां येतील.

अंकगणिताचा मुख्य उद्देश म्हणजे आंकडेमोडीचें गणित, अर्थात् व्यक्तराश्यात्मक गणित फार थोड्या आयासानें आपणास करतां यावें हा आहे. म्हणून महत्त्वमापनांत आपण करतों त्याप्रमाणें इतर शास्त्रांतील तत्त्वें घेऊन त्यांवर संख्यात्मक उदाहरणें अंकगिताचा भाग म्हणून द्यावींत असें आमचें मत आहे. म्हणून दिलेल्या समीकरणाचें आसन्नमूल्य काढण्याची रीत अखंड अपूर्णांक, आसन्नमूल्यखंडें [कान्व्हर्जेट्स] काढण्याची रीत वगैरे क्रिया अंकगणिताचा भाग समजला जावा. तसेंच बीजगणितांतील 'थिअरी ऑफ नंबर्स' यांत दिलेल्या काहीं ठळक सिद्धांतांची संख्यात्मक उदाहरणें अंकगणितांत देणें इष्ट आहे.
उदाहरणार्थ:-

(१) कोणत्याहि दोन विषम संख्यांच्या वर्गांच्या अंतरास ८ नीं भाग जातो. (२) कोणत्याहि इष्ट अनुक्रमांकाच्या गुणाकारास १ पासून तितकेच अनुक्रमांक घेऊन त्याचा गुणाकार केल्यास त्या गुणाकारानें भाग जातो.



(३) कोणताहि वर्ग हा पांचाची पट असतो. किंवा त्या पटींहून १ नें अधिक किंवा कमी असतो. उ. २५=५×५; ३६=५×७+१; ४९=५×१०-१. (४) ७ च्या कोणत्याहि घातांत २ मिळविल्यास बेरजेस ३ नें भाग जातो. ७+२=३×३; ४९+२=५१= १७×३; (५) कोणत्याहि लागोपाठच्या ४ आंकड्यांच्या गुणाकारांत १ मिळविला असतां बेरीज पूर्ण वर्ग असते. जसें:-
२×३×४×५+१ = १२०+१= १२१ = (११)२.

अशीं आणखींहि उदाहरणें देतां येतील. येथें अल्पसें दिग्दर्शन केलें आहे एवढेंच.

व र्ग मू ळा ची उ प प त्ति:- भागाकाराच्या वेळीं म्हटलेंच आहे कीं भागाकार व वर्गमूळ हीं दोन आसन्नक्रिया म्हणून जो गणिताचा भाग आहे त्याचीं विशिष्ट रूपें आहेत. प्रथम अत्यंत उच्च स्थानाचा अंक निश्चित करावयाचा मग त्याच्या सहाय्यानें त्याच्या पुढचा अंक ठरवायाचा व असें करीत उत्तर काढावयाचें स्पष्टीकरण (अ+ब+क+ड+फ)

या योजनेंत रकमा अशा मांडल्या आहेत कीं अ च्या खालीं त्याचा वर्ग सांपडेल व अ, ब या दोहोंच्या खालीं (अ+ब) ह्यांच्या वर्गांतील तीन्ही रकमा अगर पदें सांपडतील. अ,ब,क यांच्याखालीं (अ+ब+क) या पदत्रयींच्या वर्गांतील ६ पदें सांपडतील. यावरून असें दिसतें कीं, अ चा वर्ग अ२ आहे. प्एा 'अ' मध्यें जर ब मिळविला तर अ२ मध्यें वर्ग येण्याकरिता ब२+२ अब मिळवावे लागतात. याच्या उलट वर्गमूळ काढतांना समजा कीं अ+ब+क इतका भाग काढून झाला आहे, तर पुढचा ड हा काढतांना वर्गमूळ काढून राहिलेल्या बाकींतून ड२ व पूर्वींच्या पदांच्या (म्ह. अ, ब, क, दुपटीचा व ‘ड’ चा गुणाकार इतकीं पदें (म्ह. २ अड+२ बड+ २कड) वजा केलीं पाहिजेत. आतां वर्गमूळांतील नवीन पद काढावयांचें तें आधी अज्ञात असतें. परंतु आपल्यास हें माहित आहे कीं, त्या बाकींतून २(अ+ब+क)+ड ही रक्कम वजा गेली पाहिजे. अर्थात् ती बाकी जवळजवळ या रकमेइतकी आहे असें म्हणता येईल म्हणून त्या बाकीला २ (अ+ब+क) यांनीं भागिलें असतां उत्तर ड हें येते. या उपपत्तीवरून वर्गमूळाची रीत बसविली आहे.
     

या उदाहरणांत पहिला भाग पांचाचा आहे. तेव्हां दुसरा १ चा भाग लावण्यापूर्वीं ५ ची दुप्पट केली आहे, व मग १ वर घेतला आहे.

ह्यांत प्रथम उपन्यासांत [स्टेप] २५००००००, इतके वजा केले जातात; व असेंच इतर उपन्यासांत समजावें.

वर्गमूळ काढतांना एकं स्थानापासून एक आंकडा सोडून खूण कां करावयाची ?

वरच्या उदाहरणांत आपलें उत्तर खरोखरी ५०००+१००+३०+७ आहे. अर्थात एकं स्थानचा आंकडा (९) ह्याशिवाय करून बाकी तीन आंकड्यांवर [ उ. ७,८,६] चिन्ह आहे. १ ते १० आंकड्यांचा वर्ग १ ते १०० आहे. म्हणजे, दोन अंकी संख्या. आणि १० ते १०० आंकड्याचा वर्ग १०० ते १०००० म्हणजे. चालू अंकी संख्या आहे इत्यादि संख्येंत एक आंकडा असला कीं त्याच्या वर्गांत दोन असतात. म्हणून एक सोडून एक अशा आंकड्यावर खूण करावयाची.

घनमूळाची उपपत्तीहि ह्याप्रमाणेंच समजावी. (अ+इ)=अ + ३ अ इ + ३ अइ + इ३= अ + इ (३अ२ + ३ अइ + इ२) ह्या सुत्रावरून 'अ' हा घनमूळाचा भाग काढून झाला असल्यास ३ अ२ आणि ३अ ह्या रकमा तयार करून ठेवावयाच्या व जर दिलेल्या संख्येंतून ज्याचा घन वजा जाईल अशी सर्वांत मोठी संख्या 'अ' असेल तर घनमूळाचा उरलेला भाग 'इ' हा 'अ' च्या मानानें फार लहान असला पाहिजे म्हणून  ३ अ +३अइ+ इ=३अ+३अ (स्वल्पान्तरानें) अर्थात आकी इ. [३ अ +३अइ+ इ ह्याला ३अ + ३ अ ह्यानें भागिलें असतां 'इ' हा अजमासें भागाकार येईल.]

   

ह्या रीतींत १ जो वजा केला आहे तो खरोखरी १०० चा घन १०००००० हा वजा केला आहे. २०० चा घन ८०००००० हा दिलेल्या संख्येहून मोठा असल्यामुळें १ शतंचा घन हाच (त्या संख्येतून वजा जाणारा) सर्वांत मोठा आहे. आतां येथें 'अ' म्हणजे १०० झाला. त्या मानानें 'इ' म्ह. ७० हा लहान आहे. ३०० म्हणजे ३अ२ (संक्षिप्त रीत व्हावी म्हणून ३०००० ह्याच्या ऐवजीं ३०० च लिहिण्याचा परिपाठ आहे.) ३० हे ३ अच्या ऐवजीं आहेत. ह्याप्रमाणें सर्व उपपत्ति संगतवार लिहितां येईल. विस्तारभ्यास्तव येथें दिग्दर्शन मात्र केलें आहे. पंचमूळ कसें काढावें हें गोखल्यांच्या अंकगणितांत दाखविलें आहे. सप्तममूळ किंवा कोणतेंहि मूळ काढण्याची रीती बीज गणितांतील द्विपदविस्तार ह्याच्या साहाय्यानें बसवितां येईल. परंतू मोठी अडचण ही आहे कीं उच्च प्रतीचें मूळ काढितांना पुढें कशाचा भाग लागतो हें ठरविणें अत्यंत कठिण होतें. घनमूळ काढतांनाच ही अडचण भासूं लागते. उदा. वरच्या उदाहरणांत ४७३२ ह्याला ३०० हा जो [अंदाजी] भाजक यानें भागिलें असतां भाग १५ चा लागतो असें वाटतें पण खरोखरी भाग ७ चा लागतो. याचें कारण अंदाजी भाजक ३०० हा पक्का भाजक जो ५५९ याच्या सुमारें निम्मा आहे. लागर्थमचा उपयोग करून काहीं स्थानापर्यंत कोणतेंहि मूळ बरोबर काढिंता येतें. उच्चघात काढणें हेंहि मूळ काढण्याच्या खालोखाल कठिण आहे. १७ च्या ५० व्या घातांत किती आंकडे असतील व त्यांची अंदाजी किंमत काय हें सामान्य माणसास चटदिशीं काढणें फार मुष्किलीचें आहे; पण लागर्थम्च्या उपयोगानें हें फार झटदिशीं काढितां येतें. परंतु अजमासें घात खालींल रीतीनें काढितां येतील:-

आसन्नविधीच्या साहाय्यानें वर्गमूळ व घनमूळ काढण्याच्या रीती प्रथम आपल्याच पूर्वजांनीं शोधून काढिल्या असें दिसतें भागाकाराची रीत त्यांच्याच परिश्रमाचें फल होय. ब्रम्हगुप्तानें क्ष२+२ क्षय ह्यांचे (य हा फार लहान राशि असल्यास) आसन्नमूळ क्ष+य होतें असें सांगितलें आहे. ह्यावरून आपल्याच पूर्वजांनीं वर्गमूळ व घनमूळ ह्यांच्या रीती शोधून काढल्या असें वाटतें. यूरोपांत शून्य (०) ही संज्ञा आरब लोकांनीं प्रथम नेली. १५ व्या शतकांत खुद्द इंग्लंडमध्यें भागाकाराची रीत माहीत नव्हती हें वर आलेंच आहे मग वर्गमूळ घनमूळ यांचें नांवच घ्यावयास नको.

बाकीचा नियम:- भागाकारांत 'बाकी' ही भाजकापेक्षां कमी असते. वर्गमूळांत जेवढें वर्गमूळ काढून झालें असेल त्याच्या २पटीपेक्षां बाकी जास्त नसली पाहिजे. घनमूळांत 'क्ष' हें घनमूळ काढून झालें असल्यास बाकी ३ क्ष + ३ क्ष ह्याहून जास्त असत नाहीं.

वर्गमूळ हा एक तर्‍हेचा भागाकारच होय. साध्या भागाकारांत भाजक कायम असतो. वर्गमूळांत भाजक हा प्रक्रियेच्या प्रत्येक विभागांत वेगळा असतो. उदा. समासांतील वर्गमूळाच्या उदाहरणांत प्रथमउपन्यासांत भाजक ३ व भागाकारहि ३ च आहे. द्वितीय उपन्यासांत भाजक ६५ असून भागाकाराच्या ह्या उपांगांतील आंकडा ५ आहे. शिवाय दुसरा फरक म्हणजे साध्या भागाकारांत भाजक व भागाकारांश (अर्थात प्रत्येक उपांगापुरता येणरा भागाकार) ह्यांच्यांत कांहींहि संबंध नसतो. पण वर्गमूळांत असा संबंध असतो. उदाहरणार्थ द्वितीय उपन्यासांतील पूर्ण भाजक ६५ आहे. परंतु ५ हा भाग लागावयाच्या पूर्वी ३+३=६ हा आंकडा आपल्याला तयार करावा लागला व त्याच्या सहाय्यानें पुढचा भाग ५ चा लागतो हें कळलें, व हा ५ चा आंकडा ६ वर लिहिल्यावर ह्या उपन्यासांतील पूर्ण भाजक ६५ हा तयार झाला. पण हा ६ चा आंकडा आपण पहिला भागाकारांक जो ३ त्याची दुप्पट करून काढिला. तसेंच तृतीय उपन्यासांतील भाजकांश (भाजकाचें उपांग) जो ७०.[ ६५ त ५ मिळवून आला आहे] तो भागाकारांश ३५ ह्याची बरोबर दुप्पट आहे म्हणून वर्गमूळांतील प्रत्येक उपन्यासांतील भाजकाचे पहिले आंकडे त्या उपन्यासापर्यंत आलेल्या उत्तराच्या दुप्पट असतात.

इतर प्रतीची मूळें हीं अशाच विचारसरणीनें पाहूं गेलें तर ती चलभाजक विशिष्ट भागाकार होत असें दिसून येईल. ह्याच तत्त्वाचा विकास होऊन हल्लींच्या समीकरणमीसांसाग्रंथांत .[ थिअरी ऑफ इक्केशन्स] कोणत्याहि समीकरणाचें मूळ (मूळ म्ह. अज्ञात वर्णाची किंमत) एका जातीच्या भागाकारपद्धतीनें काढून दाखविलेलें आहे. वर्गमूळ व घनमूळ काढणें हे त्या सामान्य पद्धतीचे विशिष्ट पण सुलभ प्रकार होत.

ही उच्च प्रतींचीं मूळें म्हणजे चतुर्थमूळ, पंचमूळ, षष्ठमूळ वगैरे होत. चतुर्थ, पंचम, षष्ठ म्हणजे चवथी, पांचवी, सहावी ह्या त्या मूळांच्या प्रती होत. द्विपद विस्ताराच्या सहाय्यानें हीं मूळें अजमासें काढितां येतील. जसें:- २/३ ह्यांचे १५ वें मूळ म्ह. १/१५ वा घात:-

    

द्द ढ भा ज क (महत्तम साधारण अपवर्तक):-प्रत्येक परिमेयाला (मॅग्निट्युड) त्याला अनुरूप असें (एक किंवा अनेक) परिमाण असतेंच. सजातीय दोन परिमेयांनां ज्या एकाच परिमाणानें नि:शेष (द्दढ) मापतां येईल अशीं परिमाणें बरीच असूं शकतील. उदा. ४ फूट व ६ फूट लांबी ही १ फूट, २फूट, ४ इंच इत्यादीपैकीं कोणतेंहि माप (परिमाण) घेऊन त्यानें नि:शेष मापितां येतील. अशा परिमाणापैकीं सर्वांत मोठें तें दिलेल्या परिमेयांचा द्दढभाजक होय. आतां अ व ब ह्या दोन संख्यांचा द्दढभाजक (अर्थांत त्यांच्या साधारण अवयवांतील सर्वांत मोठा अवयव तो) काढावयाचा असल्यास, 'फ' हा द्दढभाजक कल्पूं. अर्था्त 'फ' नें 'अ' ला व 'ब' ला भाग जाईल. भागाकार अनुक्रमें 'म' व 'न' आहेत असें समजलें (फ×म= अ, फन= ब) तर 'अ' च्या कोणत्याहि 'ल' ह्या पटींतून 'ब' ची कोणतीहि 'क' ही पट वजा केली असतां किंवा पहिलीत दुसरी पट मिळविली असतां ह्या बेरजेमध्यें अथवा वजाबाकींत 'फ' हा अवयव असतो जसे:- (ल×अ+क×ब= ल×फ×म+क×फ×न=फ (ल×म+क×न) ह्या तत्त्वावर द्दढभाजकाची रीत बसविलेली आहे आतां निराळ्या पण सोप्या भाषेंत असें म्हणतां येईल कीं
२७)९०(३    बाकी ९ हिनें भाजक २७ ह्यास भाग जात असल्यास
    ८१        त्याच बाकीनें भाज्य ९० ह्यालाहि भाग जातो. बाकी व
    ९        भाजक ह्यांचा सामान्य अवयव (किंवा द्द. भा.)हा भाज्याचाहि अवयव असतो. हेंच तत्त्व खालच्या उदाहरणांत खालून वर लागू करीत जावें म्ह. सर्व उपपत्ति लागते. आतां उदाहरणार्थ. ३२४ व २०७ ह्यांचा द्दढभाजक काढूं.
२०७)३२४(१
   २०७
   ११७)२०७(१
    ११७
       ९०)११७(१
        ९०
        २७)९०(३
           ८१
            ९)२७(३
            २७
            ००

३२४ व २०७ ह्यांचा जो द्द.भा. तोच ११७ [म्ह.३२४.२०७ व] २०७ ह्यांचाहि द्द. भा. होय. तोच ११७ व ९० ह्यांचा ९०, २७ व ९, २७ ह्यांचाहि द्द. भा. होय. परंतु ९,२७ ह्यांचा ['द्दढ' ह्याचा अर्थ नि:शेष अर्थात 'द्दढभाजक' ह्याचा अर्थ जिनें भागिलें असतां बाकी शून्य राहील अशी संख्या] द्दढभाजक ९ होय. म्हणून ३२४ व २०७ ह्याच्या मध्यें हाच द्द. भा. होय.

दुसरी रीत :- दिलेल्या संख्यांचे अविभाज्य गुणक काढावेत. व आपआपल्या नीचतम घातांनीं युक्त अशा सामान्य [दोहोंनां साधारण] गुणकांचा गुणकार तोच द्द. भा. होय. जसे:-
  ५०४ = २×३×७: ५२९२= २×३×७

यांत साधारण गुणक २,३,७ ह्यांचे नीचतम घात २२,३२,७ ह्यांचा गुणाकार २×३×७=२५२ हा त्यांचा द्द. भा. झाला.

२०७ व ३२४ ह्यांचा द्दढभाजक ९ आहे हें वर दाखविलेंच आहे. अर्थात ९ नीं २०७ व ३२४ ह्यांस नि:शेष भाग जातो. परंतु वरील दोन संख्यांस नि:शेष भागणार्‍या इतर संख्या ३,१,१/२,१/३,१/७ इत्यादि आहेतच. अशा संख्या अनेक आहेत. परंतू त्या ९ ह्यापेक्षां कमी आहेत. अर्थांत अशा संख्यांना उत्तरपरिच्छेद किंवा वरची मर्यादा ९ ही आहे पण अधम परिच्छेद नाहीं. म्हणून ९ ह्याला महत्तम अपवर्तक असें साधें नांव देण्यांत येतें. आतां २०७ व ३२४ ह्यांचा लघुत्तम सा. भाज्य ७४५२ हा होय. ह्याचा अर्थ २०७ व ३२४ ह्या संख्यांनीं ७४५२ हिला भाग जातो व तसाच तो ७४५२ च्या कोणत्याहि पटीला गेला पाहिजे, अर्थात पूर्वोक्त २ संख्यांनीं भाग जाणर्‍या सर्व संख्यांत ७४५२ ही सर्वांत लहान संख्या आहे. म्हणूनच हिला लघुत्तम सा. भा. असें म्हणतात. दोन किंवा अधिक संख्यांच्या साधारण भाज्यांनां अधमपरिच्छेद (अपरलिमिट) असतो व साधारण भाजकांना उत्तमपरिच्छेद (लोअरलिमिट) मात्र असतो.

ल घु त्त म सा धा र ण भा ज्य:- यांत (द्द. भा. च्या उलट) दोन किंवा अधिक परिमाणें दिली असतांना त्यांनीं मापलें जाणारें जें एकच परिमेय असतें ते काढणें हा प्रश्न आहे. या परिमेयाच्या कोणत्याहि पटीला दिलेल्या निरनिराळ्या परिमाणांनीं मापतां येईलच. अर्थात सर्वांत लहान परिमेये काढतां येतील. थोडक्यांत अनेक संख्यांनीं ज्या एका संख्येस भाग जातो अशी एक सर्वांत लहान संख्या काढावयाची व तिलाच ल. सा. भा. म्हणतात.

रीत:-प्रत्येक संख्येचे अवयव पाडून त्यांमधील सामान्य अवयवांचे उच्चतम घात घेऊन त्यांचा व बाकी राहिलेल्या सर्व अवयवांचा गुणाकार हा. ल. सा. भा. होय.

उदाहरण पहिलें:- ज्या संख्येला १३,१७,१९ यांनीं भागिलें असतां अनुक्रमें ९,१३,१५ अशा बाक्या उरतात अशी सर्वांत लहान संख्या काढा. अर्थात बाकी-४ आहे; म्हणून १३×१७×१९-४ (म्ह.४१९५)ही संख्या झाली.

उ. दुस :- एका संख्येला १५ व १७ नीं भागिल्यास अनुक्रमें ८ व ११ अशा बाक्या रहातात. अशी सर्वांत लहान संख्या काढा. उत्तरांत जीं संख्या येईल तिच्यांतून ८ वजा केले तर ती १५ ची पट होईल;पण तिलाच १७ नीं भागून बाकी ३ पाहिजे आहे. आतां १५×२=३० असे दुप्पट घेण्याचें कारण १७ पेक्षां मोठी असणारी जवळची १५ वी पट हीच आहे. ३० ला १७ नीं भागिलें तर बाकी १३ येते. बाकी ३ पाहिजे म्हणजे ही १० नीं कमी केली पाहिजे. १५ नीं भाग जाण्याकरतां म्हणून ३० त १५ ची पट मिळवीत जाऊं. परंतु दर खेपेस बाकी २ नीं कमी होईल;कारण १५ हे १७ पेक्षां २ नीं कमी आहेत. अर्थात १३ पैकीं १० कमी करावयाचे असल्यास, १० ही २ ची ५ पट आहे म्हणून ३० मध्यें १५ ची पाचपट मिळविली पाहिजे. म्हणजे ३०+७५=१०५+८=११३. अर्थात १५×१७ ची कोणतीहि पट यांत मिळविल्यास त्यांहि रकमा अशाच येतील. उदा. ११३+२५५=३६८, ११३+५१०=६२३. इत्यादि.

अविभाज्य संख्या:- दोन संख्यांचा द्दढभाजक जेव्हां एक येतो तेव्हां अर्थात एकाशिवाय या दोहोंत सामान्य अवयव नसतो, अशा संख्यांनां परस्पराविभाज्य संख्या म्हणतात. उदाहरणर्थ २११३२ परंतु २१ व ३२ यांना त्यांचे विशेष अवयव आहेत. पण सामान्य मुळींच नाहींत. आतां कांहीं संख्या अशा आहेत कीं त्यांनां अवयव मुळींच नाहींत. उदा:- ३१,३७,२९,४७ वगैरे. कोणत्याहि संख्येस एकानें व स्वत: त्या संख्येने भाग गेलाच पाहिजे. म्हणून हे दोन अवयव आपण लक्षांत न घेतल्यास यांनां आपण निरवयव, गुणरहित, किंवा अविभाज्य म्हणूं.

कोणत्याहिं संख्येचें गुण पाडण्यास अथवा ती अविभाज्य आहे हें ठरविण्यास प्रयोग करीत बसण्याशिवाय दुसरा मार्ग नाहीं. परंतु हे प्रयोग जितके कमी करतां येतील तेवढे पहावयाचे. उदा. ३३७ ही संख्या घेऊं. यास ३,७,११,१३,२९ वगैरेनीं भागून पहातां कोणत्याहि संख्येनें भाग जात नाहीं. व पुढेंहि असेंच आणखी काहीं संख्येनीं भागून पाहिलें पाहिजे. परंतु एवढ्यानें ती निरवयव किंवा अविभाज्य आहे असें म्हणतां येणार नाहीं, असें सकृतदर्शनी वाटेल. परंतु ह्या सर्व आकड्यांनी भागून पहाण्याची जरूरी नाहीं. १६ पर्यंतच भागून पाहिलें म्हणजे झालें. कारण ३३७ वर्ग नसल्यानें त्याचे अवयव शक्य असल्यास ते असमान असले पाहिजेत म्हणून त्यांतील एक अवयव ३३७ च्या वर्गमूळांपेक्षां म्हणजे १८ पेक्षां केव्हांहि कमी असलाच पाहिजे. अवयव केव्हांहि पूर्णांकच असतात. म्हणून १७ च्या पुढें पहाण्याची जरूरी नाहीं.

अपरिच्छेद्य (इन् कॉमेन्सुरेबल) संख्या:- कोणत्याहि संख्येस दुसर्‍या संख्येने भागिलें असतां भागाकार पूर्णांक. अपूर्णांक किंवा ह्या दोहोंची सरमिसळ ज्यांत झाली आहे अशा तर्‍हेचा असतो. अपूर्णांक दशांश जातीचा असल्यास साधा किंवा आवर्त असूं शकेल. परंतु दोन ह्या संख्येचे वर्गमूळ असें आहे कीं त्यांतील दशांश अपूर्णांकांत आवर्त येत नाहींत व तो संपतहि नाहीं. तसेंच
V३ ३V¯५
इत्यादि संख्यांचें समजावें. अशा संख्यांस 'अपरिच्छेद्य' संख्या म्हणतात. निरनिराळ्या प्रतीचीं मूळें काढतानाच ह्या संख्या आढळतात असें नाहीं तर इतरहि बर्‍याच ह्या जातीच्या संख्या आढळून आल्या आहेत. उदा. वर्तुळाच्या व्यासाचें परिघीशीं प्रमाण हें ह्याच जातींचे आहे. त्याची किंमत =३.१४१५९ अशी आहे. एक ह्या सेख्येने सर्व संख्यांनां भाग जातो पणा १ व अपरिच्छेद्य संख्या ह्यांनां एकाच मापानें मापितां येईल असें माप (अर्थात १ व अपरिच्छेद्य संख्या ह्यांचा द्दढभाजक) काढतां येत नाहीं.

पडताळे :- तीन या संख्येनें भाग जातो कीं नाहीं हें पाहण्यासंबंधीं उपपत्ति:-१० ला तीननीं भागिलें असतां बाकी एक रहाते. तसेंच दहाच्या कोंणत्याहि घातास तीननीं भागलें असतां बाकी एकच रहाते. आतां २० ला तीननें भागिलें असतां बाकी १× २ = २ राहील. २००,२००० इत्यादि संख्यांनां भागल्यास बाकी २ राहील. ' अ ' नें ' ब ' ला भागल्यास बाकी जर 'क' राहील तर अनें 'ब' च्या कोणत्याहि पूर्ण पटीला भागल्यास बाकीहि पूर्वींच्या बाकीच्या तितकीच पट राहील.

याचप्रमाणेंच ४,४०,४०० या संख्यांनां तीननीं भागीलें तर बाकी ४ × १ = ४ म्हणजे ४ किंवा एक राहील. म्हणून ४२५ ला जर 'तीन' नीं भागिलें तर ४००=४ × १००: बाकी ४. २०=२×१० म्हणून बाकी २. तेव्हां एकंदर बाकी ४ + २ + ५ म्हणजे ११ याला भागिलें असतां जितकी बाकी राहील तितकींच. म्हणून संख्येतील अंकाच्या बेरजेस 'तीहींनीं' नीं भागून जितकी बाकी उरलें तितकीच बाकी सर्व संख्येस ३ नीं भागून उरेल हें उघड आहे. हीं सर्व तत्त्वें ९ लाहि लागू होतात.

९ नीं पडताळा पाहण्याची रीत:- ही ९ च्या ह्याच गुणधर्मावर बसविलेली आहे. उदा:-१७× ११ =१८७; येथें १७ ला व ११ ला ९ नीं भागिल्यास बाक्या ८ व २ उरतात. ह्यांचा गुणाकार १६; ह्यांस ९ नें भागिल्यास बाकी ७ येते. इतकीच बाकी गु. १८७ ह्याच्या आंकड्यांच्या बेरजेस ९ नीं भागिल्यास येते. तीननेंहि असाच पडताळा पाहतां येईल.

४ चा आडाखा:- ४ या संख्येनें १०० ला भाग जातो. तेव्हां कोणत्याहि संख्येंतील १०० पेक्षां कमी भागास [म्हणजे उजवीकडील शेवटच्या दोन आंकड्यांनीं बनलेल्या संख्येस] ४ नीं जर भाग गेला तर सर्व संख्येस जाईल. उ.दा.-३२८ याला ४ नें भाग जाईल. कारण २८ ला चारांनीं भाग जातो. पण १५२६ यास जाणार नाही. ११ या संख्येनें भाग जातो कीं नाहीं याची उपपत्ति अशी. -१,१०,१००,१००० यांनां जर ११ नीं भागलें तर बाक्या अनुक्रमें१,१०,१,१०अशा येत जातात. म्हणजे या बाक्या १,-,१,१,-१,अशा येतात. कारण ११ नीं भागून १० बाकी उरणें म्हणजे [१०-११=-१]-१ बाकी उरण्यासारखेंच आहे. यावरून समस्थानच्या अंकांची बेरीज विषमस्थानच्या [अर्थात पहिल्या, तिसर्‍या इ.] आंकड्याची बेरीज करून त्यांचे अंतर शून्य किंवा ११ ची पट असल्यास त्या संख्येला ११ नें भाग जाईल.

७,११,१३ या संख्यांनीं भाग जातो कीं नाहीं तें पाहणें व त्याची उपपत्ति:- तीन आंकड्यांपेक्षा जास्त आंकडे असलेल्या संख्येंतून शेवटच्या म्हणजे उजवीकडच्या तीन आंकड्यांनीं बनलेली संख्या वजा टाकल्यावर जर बाकीला ७,११,१३ या संख्यांनीं भाग गेला तर त्या सर्व संख्येला ७,११,१३ यांनीं भाग जातो. उदाहरणार्थ-३२७८९, येथें ७८९-३२=७५७ याला जर ७,११ अगर १३ यानीं भागलें तर बाक्या १,९,३ उरतात. म्हणून मूळ संख्येला भागलें असतां याच बाक्या उरतील. कारण १००० या संख्येला ७,११,१३ या संख्यांनीं भागलें असतां बाकी -१ उरते. म्हणून जितके हजार असतील तितके उणे करणें. दुसर्‍या तर्‍हेंनें उपपत्ति अशी:-

म्हणून एंकस्थानचा आंकडा+३×,दशंस्थान आंकडा+२×,शंतस्थानचा आंकडा-,३×दशसहस्त्र स्थानचा आंकडा-२×,लक्ष स्थनाचा आंकडा हे जर 'क्ष' असले तर याला ७ नीं भागून जी बाकी राहते तीच मूळ संख्येला ७ नीं भागून राहील.

१७,१९. इत्यादि संख्येचेहि आडाखे बसवितां येतील. परंतु त्यापेक्षां प्रत्यक्ष भागणें जास्त सोपें होईल.

दोन निरवयव सारण्यांचा द्दढभाजक काढण्याचा प्रयत्‍न केला असता त्यांपासून अपूर्णांकशृंखला व अनिर्णित मूल्य समीकरण वगैरे देखील तयार करतां येतें जसें:-
       ही अपूर्णांकशृंखला किंवा अखंड अपूर्णांक होय.
     

हा सर्व विषय बीजगणितांतच रूढ असल्यामुळें तेथें तो येईल म्हणून येथें लिहिण्याची जरूरी नाहीं यांतील


यांनां प्रथम द्वितीय इत्यादि आसन्नमूल्यें (अर्थात १३८/७५ यांच्या अंदाजी किंमती म्हणतात.)

कुट्टक-अशी रक्कम कोणती कीं, जिनें २२१ ला गुणून त्या गुणाकारांत ६५ मिळवून जी बेरीज येईल तिला १९५ नीं पूर्ण भाग जातो. हें उदाहरण ज्या रीतीनें खालीं सोडविलें आहे त्या रीतीला पूर्वाचार्य कुट्टक असें म्हणत. २२१ याला भाज्य म्हणतात; १९५ हा भाजक किंवा हार झाला; व ६५ याला क्षेप म्हणतात (या तर्‍हेचें उदाहरण वर सोडविलेंच आहे. त्याच रीतीनें हेंहि सोडवितां येईल). या भाज्य, हर, क्षेप, यांमध्यें १३हा साधारण अवयव आहे. तेव्हां संक्षेप देतां भाज्य १७, हार १५, क्षेप ५ असें झालें. नंतर द्दढभाजकांतल्या प्रमाणें १७ ला १५ नीं १ बाकी उरेपर्यंत भागीत जावें व भागाकार एकाखालीं एक एक क्रमानें मांडून त्या सर्वांखालीं क्षेप व शून्य हें मांडावे. म्हणजे खालीलप्रमाणें १ वल्ली तयार होते.

प्र. वल्ली द्वि. वल्ली तृ. वल्ली 
४०
३५ ३५

प्रथम वल्लींतील उपांतिम अंक जो ५ यानें वरच्या ७ स गुणून नंतर ५ खालचा अंक ० हा त्यांत मिळवावा व तो ७ चे ठिकाणीं मांडून दुसरी वल्ली तयार करावी. तशीच दुसरी पासून तिसरी. शेवटीं २ आंकडे येईपर्यंत असें करीत जावें. मग लब्धीची (भागाकार म्हणजेच लब्धि) संख्या सम असल्यास (या उदाहरणांत १, ७ अशा २ लब्धी आहेत म्हणजे त्यांची संख्या सम आहे) या दोन आंकड्यांतील खालचा आंकडा हा भाज्याचा गुणक होतो व वरचा आंकडा हें भागून आलेलें उत्तर होय. या उदाहरणांत १७×३५+५=५९५+५=६०० व याला १५ नीं भागलें म्हणजे ४० हें उत्तर आलें. या दोन आंकड्यास भाज्य व हार यांच्या कोणात्याहि समान पटी वजा करून किंवा मिळवून आणखी गुणलब्धी काढतां येतात. सर्वात लहान गुणलब्धी ६ व ५ होत. ४०-१७×२= ६ व ३५-५×२= ५. याच्याविषयीं विशेष माहिती 'बीजगणित' या प्रकरणांत येईलच.

वरील उदाहरण हें अनिर्णीत एकघात समीकरणाचें (इनडिटरमिनेट इक्केशन्स ऑफ दि फर्स्ट डिग्रीज) आहे. (१९५य-२२१ क्ष= ६५ किंवा १५य-१७ क्ष = ५ असें हें समीकरण झालें. ह्यांत क्ष व य ह्यांच्या किमती पूर्णांकच यावयाच्या अशी शर्त असते. क्ष व य ह्यांच्या प्रत्येकीं एकच निश्चित किंमत न येतां असंख्य किंमती येतात; म्हणून अशा समीकरणांस 'अनिर्णीत' म्हणतात. हीं समीकरणें सोडविण्याची हल्लींचीं रीत म्हणजे एक अपूर्णांकशृंखला तयार करावयाची व त्या शृंखलेच्या आसन्नमूल्यांवरून य व क्ष ह्यांच्या किमती निघतात. ती रीत वरील कुट्टकाची रीत ह्या दोन्हीहीं सारख्याच आहेंत. ह्याच कुट्टकाच्या रीतींनें अनिर्णीत वर्गसमीकरणेंहीं सोडवितां येतात. ह्यासंबंधीत भास्कराचार्यांची बीजलीलावती पहा.

कुट्टक म्हणून जी एक प्रक्रिया सांगितली आहे तिचा अविभाज्य संख्यां (प्राइम नंबर्स) शीं फार जवळचा संबंध आहे. ह्या अविभाज्य संख्या म्हणजे ३,५,७,१३,१९ वगैरे. व (ती संख्या खेरीज करून) ज्यांना कोणात्याही संख्येनें भाग जात नाहीं अशा संख्या होत. हें वर सांगितलेंच आहे. ह्या संख्यासंबंधीं लागलेले कांही मुख्य शोध खालीं दिले आहेत.

अविभाज्य संख्या या अनंत आहेत, (ज्याप्रमाणें न हा कोणताहि पूर्णांक समजलें तर २ न म्हणजे कोणतीहि समसंख्या होते व २ न + १ किंवा २ न-१ ही कोणतीहि विषमसंख्या होते त्याप्रमांणें) ह्या संख्या कोणत्याहि रीतीनें बीजगणितांतर्गत अज्ञात राशींच्या सहाय्यानें सामान्य स्वरूपांत दर्शवितां येत नाहींत. 'प' ही अविभाज्य संख्या असल्यास, व अ, ब हे कोणतेहि दोन पूर्णांक असतील तर (अ + ब)प-अप- बप ह्याला 'प' नें भाग जातो. उदा. (२ + ५) चाघन - २ चाघन – ५ चाघन = ३४३८. - १२५ = २१० ह्या संख्येस ३ नीं भाग जातो.

फरमॅट याचा सिद्धांत :- 'प' ही एक अविभाज्य संख्या व 'न' ही 'प' संबंधानें अविभाज्य असल्यास नप-१-१ह्याला 'प' नें भाग जातो. उदा. प= ५ आणि न= ६ घेतल्यास नप-१-१= ६-१= १२९६-१ = १२९५, ह्या संख्येस ५ नीं भाग जातो.

विल्सन याचा सिद्धांत:- 'प' ही कोणतीहि अविभाज्य संख्या असल्यास १ +  ׀ प-१ ह्यास 'प' नें भाग जातो. ׀ ३ =३×२×१=६;׀ ५ = ५×४×३×२×१=१२०. तसेंच ׀ ६=७२०.

तेव्हां ह्यावरून ׀ हें चिन्ह गुणकमालादर्शक आहे. आतां वरील सूत्राचें उदाहरण:-५=७ घेतल्यास १+ ׀ प-१=१ + ׀ ७-१=१+ ׀ ६ =१+७२० =७२१=७×१०३.

अर्थात् ७ ह्या संख्येनें १+ ׀७-१ ह्यास भाग जातो.

सं ख्यां चे प्र का र : -

वर सांगितलेल्या संख्यांच्या प्रकाराशिवाय बीजगणिताच्या द्दष्टीनें आणखी चार प्रकार द्दष्टीस पडतात. ते धन, ऋण, काल्पनिक आणि संयुक्त (खर्‍या व काल्पनिक ह्यांचे मिश्र). ह्यांतील काल्पनिक संख्यां म्हणजे ज्यांत V¯-१ हा एक अवयव (फॅक्टर) असतो त्या होत. धन किंवा ऋण संख्यांचा वर्ग नेहमी धन (+चिन्ह ज्याला आहे असा) असतो; वर्ग हा ऋण कधींच नसतो. अर्थात्-१ ह्या ऋण संख्येला वास्तविक वर्गमूळच नाहीं. परंतु तिला एक तर्‍हेचें काल्पनिक वर्गमूळ आहे असें समजल्यानें पुष्कळशीं बीजगत (अलजिब्राइक) उदाहरणें सोडविण्यात मदत होतें म्हणून V¯-१ हिला अस्तित्व आहे असें कल्पिलें आहे. ही एक काल्पनिक संख्या म्हणून मानतात. अशा तर्‍हेच्या काल्पनिक संख्या अनेक आहेत उदाहरणसाठी:-

V¯१=१;-१ म्हणजे १ ह्यांची (किंवा कोणत्याहि संख्येची) वर्गमूळें २ आहेत तशी घनमूळें ३ आहेत; चतुर्थमूळें ४, पंचमुळें ५, साधरणत: 'प' प्रतीचीं मूळें 'प' असतात. ह्यातील एक मूळ १ हें नेहमीचें असतें व बाकीची काल्पनिक असतात. ह्याचें सविस्तर विवेचन बीजगणितांत येईल. येथें थोडेसें दिग्दर्शन मात्र केलें आहे. उदा. ३V¯१=१, -१+V¯-३;४V¯१= + १,] V¯-१ हीं सर्व मुळें क्ष३=१, (क्ष-१)( क्ष२+क्ष+१)=० अर्थात पहिल्या अवयवावरून क्ष=१ ही किंमत आली व दुसरा अवयव म्हणजे वर्गसमीकरण आहे. त्यावरून क्ष = -१+V१-४  =   -१+V-३ अशा किंमती झाल्या.
                                २         २
तसेंच क्ष४= १ ह्यापासून क्षच्या चार किंमती येतात. क्ष५= १ ह्यापासून ५ किंमती येतील. असेंच इतरत्र समजावें.

श्रे ढी व्य व हा र:- हा हल्लीं बीजगणितात देतात. भरतखंडांतील प्राचीन गणित्यांनीं गणितश्रेढी व भूमितिश्रेढी ह्या दोन प्रकारच्या श्रेढींचें गणित केलेलें आहे व ते व्यक्तसंख्यापुरतें अंकगणितांत व सूत्ररूपानें बीजगणितांतहि येतें.

गणितश्रेढींचे उदाहरण:-
५ + ७ + ९ + ११ +..... + २७ =६ (१०+११×२)
               = १९२

५ + ७ +... + २७ ही गणितश्रेढी झाली. श्रेढी म्हणजे (अंकांची) मालिका अर्थात विशिष्ट नियमानें बनविलेली. ह्या उदाहरणांत हा विशिष्ट नियम म्हणजे ह्या मालिकेंतील कोणतीहि संख्या (उदा.११) ही मागच्या (९ ह्या) संख्येहून २ नीं अधिक आहे. ह्या मालिकेंत एकंदर १२ रकमा आहेत. त्यांची बेरीज काढणें, शेवटची रक्कम काढणें इत्यादीकरितां सूत्रें (विशिष्ट नियम) आहेत. पहिली रक्कम हिला आदि, वदन, मुख असें म्हणतात. अंतर नें २ ह्याला चय म्हणतात. शेवटच्या रकमेस अंत्यराशि किंवा अंत्यधन म्हणतात. एकंदर पदांची (रकमांची) संख्या हिला गच्छ किंवा पद (पदसंख्या) म्हणतात. आणि सर्व पदांच्या बेरजेस सर्वधन, श्रेढीफळ, संकलितं इ. नावें आहेत.

भूमिति श्रेढी गुण श्रेढी:- ह्या श्रेढीत कोणतीहि रक्कम मागच्या पदाच्या कांहीं ठराविक पटीइतकी असते.

उदा. ५ + १५ +४५+ १३५+४०५+१२१५+३६४५

ह्या श्रेढींत प्रत्येक रक्कम मागच्या पदाच्या तिप्पट आहे. येथें चय ३ हा गुणचय आहे असें म्हणतात.

इत्यादि सूत्रें आपल्या पूर्वजांस माहित होतीं. पण गान किंवा व्युत्कम श्रेढी (हर्मानिक प्रोग्रेशन) म्हणजे १ +१/२+१/3 +...+१न हिचा विचार त्यांनी केलेला नाहीं. तसेंच १र + २ र + ३र + ... ... ...+नर ह्या सामान्य श्रेढीची बेरीज बर्नूली ह्या यूरोपस्थ गृहस्थानें शोधून काढिली ती अशी:-

ह्यांतील 'न' च्या निरनिराळ्या घातांच्या गुणकांतील १/६,१/३०,१/४२ वगैरे अपूर्णांक इतर अनेक श्रेढींतून आढळून येतात म्हणून ते फार महत्त्वाचे आहेत. ते बर्नूलीनें शोधिले म्हणून ते त्याच्या नांवांतील आद्याक्षरानें दर्शविले जातात.

भद्रगणित :- (मांत्रिक चौरस अथवा कोष्टकें अथवा समयुति कोष्टकें.) एका चौरसाच्या चौकटीपासून लांबी व रूंदीकाढून सारखे भाग पाडावयाचे; व त्यांत एकापासून (किंवा वाटेल त्या इष्ट संख्येपासून) आरंभ करून क्रमानें असे विभागावयाचे की, कोणत्याहि आडव्या व उभ्या ओळींतील अंकांची बेरीज सारखीच यावी. कोणत्याहि अंकाची पुनरूक्ती होंऊ द्यावयाची नाहीं.

सधीं तत्वें :- ज्या वेळेस स्पष्ट सांगितलें नसेल त्या वेळेस एकापासून सेख्या घ्यावयाच्या. समासांतील कोष्टकांत एका ओळींत घरें ५ आहेत. त्यामुळें एकंदर घरें २५ असून १ पासून २५ अंकांपर्यंतची बेरीज २५ (१ + २५) = ३२५ ही सर्व चौकटींतींल अंकांची बेरीज झाली.

१९ २५ १३
२४ १२ १८
१० ११ १७ २३
१५ १६ २२
१४ २० २१



     
   
   
   

 
व ती पांच ओळींत (आडव्या किंवा उभ्या ओळींचाच विचार केल्यास) विभागलेली आहे. म्हणून प्रत्येक ओळींतील आंकड्यांची बेरीज ६५ असली पाहिजे. एकापासून आंकडे न भरतां ३ पासून भरले तर प्रत्येक आंकडा दोहोंनी वाढलेला असेल. अशी वाढ ओळींतील पांचहि घरांत होईल म्हणून अशा वेळीं प्रत्येक ओळींतील पांचही घरांत होईल म्हणून अशा वेळी प्रत्येक ओळींतील अंकांची बेरीज ७५ होईल हें उघड आहे. वरीलप्रमाणेंच कोष्टकांतील ओळींत कितीहि घरें असलीं तरी एका ओळींतील अंकांची बेरीज काढिंता येईल श्रेढीगणित हा अंकगणिताचा एक भाग पुर्वीपासून समजला जात असून आतांच तो त्यांतून का वगळला आहे हें समजत नाही. श्रेढी गणिताशीं ह्या विषयाचा बराच संबंध आहे हें उघड आहे.

कोष्टकें भरण्याची रीत:- मूळचा आंकडा एक किंवा काय असेल तो कोठेंहि भरला तरी चालेल. नंतर त्या घरापासून कर्णरेषेनें म्हणजे बुद्धिबळांतील उटाच्या गतीप्रमाणें उजव्या हाताकडे घरें सारखीं भरीत जावीं. ओळ संपली की दुसरा आंकडा दुसर्या ओळींतील कडेच्या घरांत भरावयाचा हें दिलेल्या कोष्टकावरून स्पष्ट होईलच.

विषमसंख्याकोष्टकें अशा रीतींनें भरतां येतात. पण समसंख्याकोष्टकें येत नाहींत; खालीं कोष्टकें दिली आहेत त्यांवरून सर्व दिसून येईलच.

अंकगणिताच्या ह्या भागावर अद्याप बरेच परिश्रम करण्यासारखे आहेत.

उपपत्ति - कोणत्याही एका घरांत एक हा आंकडा पाहिजेच. बाकीच्या घरांत क, ख हे अज्ञातवर्ण समजूं. तर क+ख+ग = १५=त+थ+१=प+फ+ब=क+त+प=खा+फ+१=ग+थ+ब अशीं सहा समीकरणें झालीं. परंतु अज्ञातवर्ण आठ आहेत. म्हणून आठ समीकरणें पाहिजेत. ती दोन जास्त अटी घातल्या म्हणजे मिळतील. ती अट म्हणजे कर्णरेषेंतल्या घरांची बेरीज ही १५ च आली पाहिजे. अशा तर्हेनें हीं समीकरणें सोडविलीं पाहिजेत. पण एका ओळींत चार घरें असलीं तर सर्व घरें १६ येणारच. म्हणजे अज्ञात वर्ण १६-१= १५ राहणार. परंतु समीकरणें ४+४+२=१०च येणार. म्हणून आणखी पांच अटी पाहिजेत. आपल्यास हव्या तशा या अटी घेतां येतील. उदाहरणार्थ खालीं समयुति चौरस दिला आहे.

१२ १९
१६ १५
१८ १३
१४ १७

यांतील प्रत्येक ओळींतील अंकांची बेरीज ४० येते. उभ्या रकान्यांतील कर्णरेषेंतील व कोणत्याहि जवळच्या चार घरांतील चौरसांतील अंकांची बेरीजहि ४० होते.

एका यूरोपियनानें ह्या विषयावर १ ग्रंथ लिहिला आाहे. आपल्या पूर्वजांचेहि इकडे लक्ष वेधालें होतें. नवग्रह कोष्टकासंबंधीं खालील श्लोक ऐकिवांत आहेत व पुढील दोन श्लोकांत चार घरांचीं इष्ट युदि देणारीं कोष्टकें कशीं करावीं हें सांगितलें आहें.

अष्टैकषटच, त्रिपंचसप्तच ।
चतुर्नवद्वी, युतिस्तु पंचदश ॥१॥
अष्टैकशून्यं दशरूद्रशून्यं ।
चत्वारिपंचद्वयसप्तरन्घ्रै :।
शून्यं च शून्यं रविषट्कवहनि: ॥२॥
वांछाकृतार्थे कृतमेकहनिं द्विकेग्रहे षोड
शतप्तनागे । तिथौदिशायां प्रथमे द्विसप्तशष्ट
त्रयेष्टौ च कु वेद बाणा: ॥३॥

१५ १० हा समयुति चौरस ग्वाल्हेरच्या किल्ल्यावर खोदलेला आहे. ह्यांत आडव्या
१६ उभ्या ओळीं २ कर्ण रेषा, कोणतीहि जवळचीं चार घरें घेऊन झालेले पोट
१४ ११ चौरस ह्यांतील अंकांची बेरीज सारखी आहे येवढेंच नव्हे तर ६+४+११+१३,
१३ १२ ३×९×८ १४; अशा विशिष्ट क्रमानें घेतलेल्या अंकांची युतीहि ३४ भरते.

बुद्धिबळांतील घोड्याच्या गतीनें आंकडे भरून काहीं समयुतिकोष्टकें तयार करतां येतात.

ह्या विषयासंबंधीं भरपूर माहिती एनसायल्कोपीडिया ब्रिटानिका ह्यांत मॅजिक स्क्वेअर्स ह्या प्रकरणांत दिली आहे.
    आ व र्त द शां श च म त्का र
    १/३= १४२८५७
    २/७= २८५७१४
    ४/७= ४२८५७१
    ४/७= ५७१४२८
    ४/७= ७१४२८५ इ.

वरील संख्येत आंकडे तेच तेच पुन्हां आले आहेत व त्यांचा अनुक्रमहि तोच आहे. परंतु संख्येच्या आरंभींचा आंकडा मात्र बदलला आहे.

    १/२७= ०३७; १/३७= ०२७ इ.

१/७ वैगेर अपूर्णांकांचीं जीं आवर्तदशांशांत रूपें येतात त्यांतील आंकड्यांत खालीं दिल्याप्रमाणें चमत्कार द्दष्टीस पडतो. [१/७ ह्याच्या किंमतींत] पहिला अंक १+चवथा ८ = ५+४=२+७=९ व तेंच तेंच आंकडे पुन: पुन: येतात.

घा त प्र क र ण- ( ११ )= १२१, ११= १३३१, ११= १४६४१, १११= १२३२१, (१११११११११)२= १२३४५६७८९८७६५४३२१ तसेंच

    १, ४, ९, १६, २५, ३६, ४९, ६४, ८१, १००
    ०  १  ४  ९  १६  २५  ३६  ४९  ६४ ८१
-------------------------------------------------------

प्र.अंतरें १, ३, ५, ७, ९, ११, १३, १५, १७, १९
द्वि.अंतरें ० १ ३ ५ ७ ९ ११ ... ... ... ...
--------------------------------------------------------
तृ.अंतरें १ २, २, २, २, २, २ ... ... ... ...
असेंच एक आदी अंकांचे घन घेऊन अंतरें काडलीं तर चतुर्थ अंतरें ६ =२×३= ३. तसेंच चतुर्घात घेऊन त्यांचीं अंतरें काढल्यास पंचम अंतरें ४. म्हणजे ४×३×२×१= २४ अशीं येतात.

एकादी अंकांच्या वर्गाच्या शेवटीं १,४,९,६,५,६,९,४,१, हे आंकडे क्रमानें येंतात. आतां पहिल्या अंकमालेंत (प+ति = दु+च) १+९=४+६=५×(२)=१०. तसेंच दुसर्या अंकमालिकेंत पहिला १+शेवटचा ९=१०=दुस. ८+९. वा २ =ति ७+७ वा ३ = इ.

चतुर्थघाताच्या शेवटीं ५, ६ किंवा १ हे अंक येतात.
= १; २ = १६; ३ = ८१; ४ = २५६.

कोणत्याहि संख्येच्या पंचघाताचा शेवटचा अंक त्या संख्येच्या शेवटच्या अंकाइतकाच असतो. उदाहरण- २५  = ३२, ३ = २४३, ४ = १०२४, ५ = ३१२५ वगैरे.

५ व ६ यांचा कोणताहि घात केला तरी त्याच्या शेवटीं अनुक्रमें ५ व ६ हे अंक असतात.

द्विपदविस्ताराचे गुणक घेऊन कांहीं चमत्कार करून पाहूं.

  ३-३.२ + ३.१ = २७-२४+३= ६
-४.३ + ६.२-४.१ = २५६-३२४+९६
    -४= ३५२-३२८=२४=४.
-३.३ + ३.२-१= ६४-८१+२४-१
    =६ = ३
-४.३ + ६.२-४.१३ = ६४-१०८+४८-४
     =०= ३-३.२+३.१

अंकचमत्कार:-

  (१) ३७×३ = १११;३७×६ = २२२ इत्यादि.
  (२) ७३×१ =  ७३;७३×२ = १४६.

यांत गुणाकारांतील आंकडयांची बेरीज ही गुणक अधिक ९ बरोबर असते जसें. ७+३ = १+९; १+४+६= २+९ गुणाकारांत ४ आंकडे आले तर हा नियम लागू पडत नाहीं.

  (३) १२३४५६७८९×९ = ११११११११०१
      १२३४५६७८९×१८ = २२२२२२२२०२ इत्यादि.
  (४) ९८७६५४३२१×२७ = २६६६६६६६६६७
      ९८७६५४३२१×७२ = ७१११११११११२
      ९८७६५४३२१×४५ = ४४४४४४४४४४५ इत्यादि.

यांत खुबी ही कीं गुणाकारांतील व गुणकांतील पहिला व शेवटचा आंकडा हे सारखेच असून गुणाकारांतले मधले ९ आंकडे तेच तेच असून ते असे आहेत कीं पहिल्या आंकड्यांची व त्यांच्यापैकीं एकाची बेरीज ८ येते.

   (५) १४२८५७×२ = २८५७१४
   १४२८५७×३ = ४२८५७१ इत्यादि.

यांत तेच आंकडे त्याच क्रमानें येतात.

(६) ७६९२३×३ =२३०७६९
      ७६९२३X४ =३०७६९२इ.  तेच आंकडे त्याच क्रमानें येतात.

पण १२ पटींपासून नियम बदलतो.

  (७) २७१×४१ = १११११ इत्यादि.
  (८) ५४२×४१ = २२२२२ इत्यादि.
  (९) ३५/७० + १४८/२९६= १ यांतील खुबी म्हणजे या दोन अपूर्णांकांत १ पासून ९ पर्यंत सर्व आंकडे कोठें तरी आले आहेत.

  (१०) खालच्या उदाहरणांत १ पासून ९ पर्यंत आंकडे घेऊन १०० बेरीज केली आहे.

    ९×८+७+६+५+४+३+२+१= १००
    १५+३६+४७+२= १००
    १ ३/६+९८ २७/५४= १००
    ७०+२४ २/१८+५ ३/६= १००

(११) दोन आंकड्यांच्या दोन संख्या असून जर त्यांच्या शेवटच्या आकड्यांची बेरीज १० असेल व पहिले आंकडे तेच असतील तर गुणाकार चटकन येतो.

उदाहरणार्थ ७२×७८=५६१६
येथें मांडण्याची तर्हा म्हणजे ८×२=१६ व
  ७×(७+१)= ५६
  ९२×९८= ९०१६ इत्यादि

(१२) ३६ या अंकाचा चमत्कार:-
  ३ व ६ या अंकांमध्यें ५ हा आंकडा व या दोन आंकड्याच्या मागे ४ हा आंकडा सारखे वेळ लिहिला तर बनणारी संख्या वर्ग असते. जितके वेळ ५ आंकडा घेतला असेल त्याच्यापेक्षां एक वेळ अधिक ६ आंकडा पुन: पुन: घेऊन बनलेल्या संख्येचा तो वर्ग असतो.

  उदाहरणार्थ-४३५६= ६६; ४४३५५६= ६६६.

(१३) ६३ यातील ६ व ३ या आंकड्यामध्यें जितके वेळ २ तितकेच वेळ मागें ७ लिहिले तर बनणारी संख्या जितके २ घेतले असतील त्याच्यापेक्षां एक वेळ, अधिक ७ व ९ हे आंकडे घेऊन बनणार्या निरनिराळ्या संख्यांचा गुणाकार असतो.
    ७६२३= ७७×९९
        ७७६२२३= ७७७×९९९

(१४) कोणात्याहि समानांक पंक्तीचा वर्ग:- पुनरूक्त अंकाचा वर्ग घेऊन त्याची एकपट, दुप्पट ....... जितके अंक असतील तितक्या पटीपर्यंत घेऊन याच पटी उलट क्रमानें घेऊन लिहाव्या व बेरीज करावी उदाहरणार्थ
४४४२ = १९७१३६ कारण ४ = १६
   १६
    ३२
     ४८
      ३२
       १६
-------------
  १९७१३६
४४४ ह्या संख्येंत ३ आंकडे असल्यानें १६, ३२, ४८ अशा ३ पटी घेतल्या आहेत.
    १२३४५६७९×९ = ११११११११११

तसेंच १२३४५६७९ ह्याला ९ च्या पटीनें गुणल्यास गुणाकारांत सर्व आंकडे सारखे येतात याच प्रकारें अनेक शोध करीत गेल्यास अनंत चमत्कार द्दष्टीस पडतील. पहावयास वेळ व समजावयास बुद्धि मात्र पाहीजे.

आतांपर्यंत अंकांचे गुणधर्म व त्यांच्यावर करतां येण्यासारख्या निरनिराळ्या क्रिया यांची माहिती सांगितली. व्यवहारांतलीं निरनिराळीं उदाहरणें घेऊन त्यांनां हीं तत्त्वें लागू केलीं असतां, सरळ व्याज, चक्रवाढव्याज, कसर, ठेव वगैरे विषयांवरचे प्रश्न सोडवितां येतात. ह्यासंबंधी माहिती गणितपुस्तकांत सांपडेल म्हणून येथें ती देत नाहीं.

उ दा ह र णें सो ड वि ण्या च्या री ती :- (१) इष्टकर्म: जेथें दोन किंवा अधिक वस्तूंच्या मधील गुणोत्तर प्रमाण दिलें असेल तेथें त्या वस्तूंची मानें वाटेल तीं घेतां येतात. व मग सर्व क्रिया करून शेवटीं द्दष्ट राशीवरून अनुपातानें [त्रैराशिक, बहुराशिकानें] त्या वस्तूंचीं मानें काढितां येतात.

सोपेसें उदा :- दोन सेख्या २:३ ह्या प्रमाणांत आहेत. व ७ हें दोहोंमधील अंतर आहे तर त्या संख्या कोणत्या.

यांत एक संख्या ४ धरली तर दुसरी ६ झाली. अंतर २ झालें. हें कल्पितमानावरून पण द्दष्ट म्ह. दिलेले अंतर ७ आहे. अर्थात संख्या १४,२१ ह्या झाल्या.

(२) विलोमविधि - दृष्ट [किंवा दिलेली संख्यां] संख्येपासून उलट सर्व क्रिया उदाहरणांत सांगितल्याप्रमाणें करीत येणें. उदा:- एका मनुष्यानें आपल्या खिशांतील अर्धे पैसे व २ अधीक इतके एका भिकार्‍यास दिले. उरलेल्या पैशाचा १/३ व ३ पैसे दुसर्‍यास देऊन बाकी पैशांचा तिसरा हिस्सा व ३ इमके तिसर्‍यास दिल्यावर त्याच्याजवळ ३ पैसे राहिले तर त्याजजवळ मूळ पैसे किती?

येथे शेवटकडून क्रिया उलटी करित जावें. म्हणजे उत्तर येते जसें:- ३+३ = ६
१/१ - १/३ = २/३; २/३; : १  :: ६ = ९
  ९ + ३ = १२; ३/४ : १ :: १२ = १६
      १६ + २ = १८; १८×२ = ३६ उत्तर

(३) मिश्रव्यवहार :- एक बैलास ६ रू व एक घोड्यास ८ रू अशीं १०० जनावरे ७८० रूपयांस घेतलीं. तर किती बैल खरेदी केले? ह्यांत प्रमाण दिले नसल्यानें इष्ट विधि उपयोगी पडत नाहीं. पण इष्ट प्रमाण वाटेल तें घ्यावें व मागाहून किंमतींत फरक पपडेल त्यावरून तें प्रमाण तें प्रमाण कमी जास्त करावें. उदाहरणार्थ ३० बैल व ७० घोडे खरेदी केले अशा कल्पना केल्यास किंमत ३०×६+७०×८= १८०+५६०=७४० हें द्दष्ट ७८० रू. यापेक्षा ४० नीं कमी आहेत. अर्थात काही बैल कमी करून तितकेच घोडे घेतले पाहिजेत. एका बैलाऐवजीं एक घोडा घेतला तर एकंदर रक्कम २ नीं वाढते म्ह. २० बैल कमी करून तितकेच घोडे खरेदी केले असतां १० बैल व ९० घोडे हें उत्तर आलें.

अवघड उदाहरणें ह्याच जातींचीं विशेषत: असतात. हीं उदा. सोडविणें म्ह द्विवर्ण समीकरण युगल सोडविणें होय. वर्ग, घनसमीकरणें (अथवा ह्याहि पेक्षां उच्च घाताचीं) ज्या उदाहरणांवरून येतात अशीं उदाहरणें अंकगणितानें सोडवितां येत नाहींत. भूमितीमध्यें वर्गसमीकरण एकपृष्टभूमितींत (प्लेन) व घनसमीकरण त्रिपृष्ठ किंवा घन (सॉलिड) भूमितीनें सोडवितां येतात. बीजगणितांतील समीकरण मीमांसा प्रकरणांत पंचघात समीकरणापर्यंत समीकरण सोपतीक रीतीनें सोडविलीं आहेत. ह्याप्रमाणें बीजगणित जरी अंकगणित व भूमिति ह्यांपेक्षां श्रेष्ठ दर्जाचें ठरतें. तरी समीकरण हें यंत्रासारखें असल्यानें तें सोडविण्यांत बुद्धीला चालन मिळत नाहीं. ते अंकगणितांत व भूमितींत मिळतें व केव्हां केव्हां अंकगणित व भूमिति ह्यांच्या रीती संक्षिप्त व आल्हादकारक असतात. अंकगणितांतील उदाहरणें (बुद्धीला चालन मिळण्याच्या द्दष्टीनें) अंकगणिताच्या रीतीनेंच सोडविणें जास्त इष्ट आहे.

ह्याप्रमाणें अंकगणित विषयाची माहिती संक्षेपत: अनेक बाजूंनीं विचार करून दिलेली आहे. विस्तारभयास्तव यापेक्षां सविस्तर देता येत नाहीं. परंतु हल्लीं कोणत्या दिशेनें ह्या विषयांत प्रगति चालू आहे व भद्रगणित, अखंडपूर्णांक, अविभाज्य संख्या व सामान्यत: संख्यांचे गुणधर्म, वर्गघनादि उच्च प्रतीचीं समीकरणविषयक उदाहरणें अंकगणिताच्या रीतीनें सोडविणें इ. शाखांवर अद्याप बरेच शोध लावितां येण्यासारखे आहेत.(ले-एस.के.आठल्ये,एम ए.)

   

खंड ९ : ई ते अशुमान  

 

  ईजिप्त

  ईजियन समुद्र

  ईजियन संस्कृति
  ईटन-इंग्लंड
  ईडनिंबू
  ईथर
  ईदर
  ईदिग
  ईव्हशाम
  ईशोपनिषद
  ईश्वरकृष्ण
  ईश्वरीपूर
  ईश्वरसिंग
  ईसॉप
  ईस्ट इंडिया कंपनी
  ईस्ट इंडीज
  ईस्टर
  ईस्टर बेट
  ईस्टविक्, एडवर्ड बॅक् हाऊस
  ईक्षणयंत्र
 
  उकाँग
  उकुंद
  उखाणे
  उखामंडळ
  उग्रसेन
  उचकी (हिक्का )
  उचले व भामटे
  उचाड
  उच्च-पंजाब
  उच्च शहर
  उच्च
  उच्छर
  उंज
  उज्जनी
  उज्जयन्ताद्रि
  उझानी
  उंट
  उटकटारी
  उटकमंड
  उंड
  उंडवलें
  उंडविन
  उडियासांझिया
  उडीद
  उडुपी
  उड्र
  उतथ्य
  उत्तंक
  उत्तनगरै
  उत्तमपालेयम
  उत्तर
  उत्तर अमेरिका
  उत्तरध्रुवप्रदेश
  उत्तरपाडा
  उत्तर मेरूर
  उत्तर सरकार
  उत्तरा
  उत्तरापथ
  उत्तानपाद
  उत्पल
  उत्पादन
  उत्रौला
  उदमलपेट
  उदयगिरी
  उदयन
  उदयनाचार्य
  उदयपूर
  उदयप्रभसूरि
  उदयभानु
  उदयसिंह
  उदर
  उदलगुरी
  उदाजी पवार
  उदासी
  उंदिरखेड
  उंदीर
  उदेपुरी बेगम
  उदेपूर संस्थान
  उदेपूर गांव
  उदेपूर शहर
  उदेपूर
  उदेय्यार पालेयम्
  उंदेरी
  उद्गाता
  उद्गीर
  उद्गीरची लढाई
  उद्दंड
  उद्दंडपुर
  उद्दालक
  उद्धव
  उद्धव गोसावी
  उद्धवचिद्घन
  उद्धव नाला
  उद्धव योगदेव
  उद्बोधनाथ
  उद्वेग रोग
  उन
  उन-देलवाडा
  उनबदेव
  उना
  उनियार
  उनी
  उन्कल
  उन्नाव
  उन्माद
  उन्सरी
  उपकन्चा
  उपकेशगच्छ
  उपनयन
  उपनिधि
  उपनिषदें
  उपनेत्र
  उपप्लव्य
  उपमन्यु
  उपरवार
  उपरि
  उपरिचर
  उपवेद
  उपशून्य
  उपसाला
  उपांशु
  उपेनंगडी
  उपेन्द्र परमार
  उप्पर
  उप्माक
  उप्रई
  उप्लेटा
  उंबर
  उम्बेक
  उबेरो
  उंब्रज
  उमत्तूर
  उमरकोट
  उमर खय्याम
  उमरखान
  उमरखेड
  उमरबिन खत्तब
  उमरावती
  उमरी
  उमरेठ
  उमरेड
  उमा
  उमाजी नाईक
  उमापति
  उमापति शिवाचार्य
  उमाबाई दाभाडे 
  उमीचंद
  उमेटा
  उमेदवारी
  उमेरिया
  उर
  उरगप्पा दंडनाथ
  उरण
  उरल पर्वत
  उरलि
  उरवकोंड
  उरिया, उडिया
  उरी
  उरुळी
  उरोगामी
  उर्दुबेगी
  उर्फी, मौलाना
  उर्मिया सरोवर
  उर्मिया, शहर
  उर्वशी
  उलघबेग मिरझा
  उलूक
  उलूपी
  उलेमा
  उल्का
  उल्बारिया
  उल्म
  उल्लतन
  उल्लाळ 
  उवा
  उशना, वैदिक
  उशीनर
  उकूर
  उषा
  उष्टारखाना
  उष्णता
  उष्णताजन्य विद्युत
  उष्णतामापन
  उष्णता-रसायनशास्त्र
  उष्णतावहन
  उष्णमानमापक यंत्र
  उस्का
  उस्तरण
  उस्मान
  उस्मान नगर
  उस्मानाबाद
  उळवी
 
  ऊदाइन (बेंझाईन)  
  ऊदाम्ल
  ऊदिदिन
  ऊदिन
  ऊदिल अल्कहल
  ऊदिल प्रायोज्जिद
  ऊदिल भानन
  ऊधमबाई
  ऊरूस्तंभ
  ऊर्ध्वपातनक्रिया
  ऊस
 
  ऋग्वेद
  ऋचीक
  ऋणमोचन
  ऋतु
  ऋतुपर्ण
  ऋत्विज
  ऋभु वैदिक
  ऋषभ
  ऋषि
  ऋषिऋण
  ऋषिक
  ऋषिपंचमी
  ऋषियज्ञ
  ऋषिवरण
  ऋष्यमूक
  ऋष्यवान
  ऋष्यशृंग
  ऋक्षरजा
 
  एओलिस
  एकचक्रा
  एकत
  एकतत्त्ववाद
  एकदंत भट्ट
  एकनाथ
  एकबटाना
  एकर
  एकरुक
  एकलव्य
  एकलिंगजी
  एकादशरुद्र
  एकादशी
  एकिल्
  एक्झीटर
  एक्रान
  एक्स
  एक्स-ला-चॅपेल
  एगमाँट लॅमोरल कौंट ऑफ
  एगिनकूर
  एचर्ड
  एंजिन
  एट्ना
  एट्रूरिया
  एडगर
  एडन
  एडन कालवा
  एडप्पल्ली
  एन्डर
  एडवर्ड
  एडवर्डसाबाद
  एडिंबरो
  एडेन जॉर्ज - लॉर्ड ऑकलंड
  एडेसा
  एडोम
  एड्रियन
  एदलाबाद
  एनमे
  एनॅमल
  एन्नोर
  एपिक्टेटस
  एपिक्यूरस
  एपिनस, फ्रान्झ उलरिच थिओडार
  एपीडॉरस
  एंपीडोक्लिस
  एफेसस
  एबनी (अबनूस)
  एबल सर फ्रेडरिक
  एंब्रान
  एमडेन
  एमॅन्युअल व्हिक्टर
  एमिनाबाद
  एमीन्स
  एमेअस
  एमेरी
  एम्मेट रॉबर्ट
  एरंडी
  एरंडोल
  एरन
  एरनाड
  एरवल्लर
  एरिडु
  एरिथ्री
  एरिनपुर
  एरियन
  एरिलिगारू
  एरोड
  एर्नाकुलम
  एलगंडल
  एलाम
  एलाय
  एलिआकॅपिटोलिना
  एलिचपूर
  एलिझाबेथ
  एलिस
  एलेनबरो
  एलेफन्टा
  एल्जिन
  एल्जिन लॉर्ड
  एल्फिन्स्टन मौंट स्टुअर्ट
  एल्ब
  एल्बा
  एल्युथेरापीलीस
  एल्युसिस
  एल्सिनोर
  एसर हजन
  एसेक्स परगणा
  एस्किमो
 
  ऐतरेय आरण्यक
  ऐतरेय उपनिषद्
  ऐतरेयब्राह्मण
  ऐन
  ऐनापुर
  ऐनी-अकबरी
  ऐनुद्दीन
  ऐनू
  ऐमक
  ऐयनर
  ऐरणी
  ऐरावत
  ऐहिकवाद
  ऐहोळ
 
  ओक
  ओक वामन दाजी
  ओकटिवन
  ओकपो
  ओकलंड शहर
  ओकहॅम
  ओकुमा, कौंट
  ओकू
  ओकेन, लॉरेन्झ
  ओकोनेल डॅनियल
  ओक्लाहामा
  ओच्चन
  ओजिब्वा
  ओझर
  ओझा
  ओट
  ओटावा
  ओट्टो
  ओडर नदी
  ओडेसा
  ओडोनेल हेनरी जोसेफ
  ओतारी
  ओतुर
  ओध
  ओनला
  ओनेगा
  ओन्गोले
  ओपोर्टो
  ओफीर
  ओब्रायन वुइल्यम स्मिथ
  ॐ ( ओम् )
  ओमान
  ओम्स्क
  ओयामा
  ओरई
  ओरॅंग ऊटंग
  ओरकझई
  ओरछा
  ओरावन
  ओरिसा 
  ओरिसा कालवे
  ओरिसांतील मांडलिक संस्थानें
  ओर्मेरॉड एलिअनॉर
  ओलपाड
  ओल्डहॅम
  ओल्डहॅम थॉमस
  ओल्डेनबर्ग
  ओवसा
  ओवा
  ओवेन, रॉबट
  ओवेन सर रिचर्ड
  ओव्हिड
  ओशीमा
  ओषण
  ओसवाल
  ओसाका अथका ओझावा
  ओस्कार
  ओस्टीयाक
  ओहम्, जार्ज सायमान
  ओहममापक
  ओहिओ
  ओहिंद
  ओळंबा
 
  औक अथवा अवुक जमीनदार
  औट्रम
  औतें
  औदीच्य ब्राह्मण
  औद्देहिक
  औद्योगिक परिषद
  औंध
  औंधपट्टा
  औधेलिया
  औनियाति
  औरंगझेब अलमगीर
  औरंगाबाद
  औरंगाबाद सय्यद शहर
  और्व
  औशनस
  औसले सर विल्यम
  अं
  अंक
  अंकगणित
  अंकचक्र
  अंकलगी
  अंकलेश्वर
  अंकाई टंकाई
  अंकिसा
  अंकेवालिया
  अॅंकोना
  अॅंकोबार
  अंकोर
  अंकोला
  अंग
  अंगठी
  अंगडशाहा
  अंगडि
  अंगडिपूरम
  अंगद
  अंगदशिष्टाई
  अंगदिया
  अंगरखा
  अंगापूरकर (हरि)
  अंगारा
  अंगुत्तर निकाय
  अंगुर शेफ
  अंगुळ
  अंगोरा शहर
  अॅंगोला
  अॅंग्विल्ला
  अंघड
  अंचलगच्छ
  अंज-(अॅंटिमनी)
  अंजनगांव
  अंजनगांव बारी
  अंजनगांव सुर्जी
  अंजनवेल
  अंजनी
  अंजनेरी
  अंजार
  अंजिदिव
  अंजी
  अंजीर
  अंजू
  अंजेंगो
  अॅंजलिको फ्रा
  अॅंटनान-रिव्हो
  अॅंटवर्प
  अंटिओक
  अॅंटिग्वा
  अॅंटियम
  अॅंटिलीस
  अॅन्टिव्हरी
  अन्टीगोनस गोनाटस
  अॅन्टीगोनस सायक्लॉप्स
  अॅन्टीपेटर
  अॅन्टीलिया
  अॅंटोनिनस पायस
  अॅंटोनियस ( मार्कस )
  अंडवृध्दि
  अण्डाशयछेदनक्रिया
  अॅंडीज
  अंडें
  अंडोरा
  अंडोल
  अंडोला
  अॅंड्रासी ज्युलियस
  अॅंड्रिया डेल सार्टो
  अॅंड्रोमेडा
  अॅंड्रयूज थॉमस
  अंतगड
  अंतधुरा
  अंतर इब्नशद्दाद
  अंतराल
  अंतर्गळ
  अंतर्वेदी
  अंतर्ज्ञान
  अंताजी ( उर्फ बाबुराव ) मल्हारराव बर्वे
  अंताजी माणकेश्वर
  अंताजी रघुनाथ
  अंतालिमा
  अंतुर्ली
  अंतूर
  अंतोबा गोसावी
  अंत्रपुच्छदाह
( अपेंडिसाइटीज )
  अंत्रावरणदाह
( पेरिटोनिटिस )
  अॅंथनी सुसान ब्रौनेल
  अंदमान आणि निकोबार बेटें
  अंदमान बेटें
  अंदाळ
  अंदोरी
  अंध किंवा आंध
  अंधक
  अंधत्व
  अंधरगांव
  अंधळगांव
  अंधारी नदी
  अंब
  अंबत्तन
  अंबर ( धातु )
  अंबर
  अंबर उदी
  अंबरखाना
  अंबरनाथ अथव अमरनाथ
  अंबरनाथ
  अंबरपेठ
  अंबराम्ल
  अंबरीष
  अंबलक्कारन्
  अंबलपुलई
  अंबलवासि
  अंबष्ठ
  अंबहटा
  अंबा
  अंबा, (तालुका)
  अंबागड
  अंबागडचौकी
  अंबाजी इंगळे
  अंबाजी दुर्ग
  अंबाजी पुरंधरे
  अंबाडी
  अंबा भवानी
  अंबाला
  अंबालिका
  अंबाली
  अंबासमुद्रम
  अंबिका
  अंबिका दत्त व्यास
  अंबिकापूर
  अंबुशी
  अंबूर
  अंबेर
  अंबेला
  अंबेहळद
  अंबोयना
  अंबोली
  अंभोरा
  अंशुमान
   

यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान निर्मित महत्वपूर्ण संकेतस्थळे  

   

पुजासॉफ्ट, मुंबई द्वारा निर्मित
कॉपीराइट © २०१२ --- यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान, मुंबई - सर्व हक्क सुरक्षित .