प्रस्तावना खंड  

   

सूची खंड  

   
Banners
   

अक्षरानुक्रम (Alphabetical)

   

विभाग पंधरावा: तपून - धमन्या  
         
त्रिकोणमिति— त्रिकोणांतील दिलेल्या विवक्षित अवयवांवरुन राहिलेल्या अवयवांचा निर्णय करणें हेंच त्रिकोणमितीचें कार्य असलें तरी, अवयवांच्या परिणामांची यथातथ्य कल्पना त्यानां मोजण्याच्या कांहीं योजना निश्चित केल्याशिवाय येणें कठिण आहे. यास्तव त्यांचें विवरण प्रारंभींच करुन नंतर मुख्य विषयाकडे वळणें हेंच रास्त होईल.

सरल रेषीय अथवा तल त्रिकोणमिती— त्रिकोणाच्या एकंदर सहा अवयवांपैकीं तीन भुज अगर बाजू सरल रेषात्मक असतात. व त्यांनां मोजण्याचीं विविधमापन साधनाचीं कोष्टकें इतरत्र (अंकगणितामध्यें) दिलीं असल्याकारणानें या ठिकाणीं त्यांची पुनरुक्ति न करतां इतर ३ अवयवांचें म्हणजे कोणांचें मापन कोणकोणत्या पद्धतीनें केलें जातें त्यांचाच येथें गोषवारा देतों. परंतु तत्पूर्वी कोणाची उत्पत्ति कशी होते हेंहि सांगणें गैर होणार नाहीं. समजा ० या एका बिंदूतूं ० य अशी अगदीं सरळ उजव्या बाजूला एक रेषा काढलेली आहे. या बिंदूला आपण प्रस्थानबिंदु असें ह्मणूं व त्या रेषेला प्रस्थानरेषा म्हणु. आतां ० मधूननच जाणारी दुसरी एक रेषा त्याच्या भोंवताली फिरते आहे सें समजू. ही रेषा प्रस्थानरेषा सोडून निघाल्याबरोबर तिला कललेली दिसेल व हा कल अथवा कोण भ्रमण कमी अधिक होईल, त्या मानानें मोठा अगर लहान असणार. पण हें भ्रमण सुद्धं २ भिन्न मार्गांनीं होऊं शकेल व त्यायोगें कोणोत्पत्ति कोणत्या मार्गानें झाली आहे हें ठरविणें संशयित होईल. एतदर्थ घटियंत्रांतील कांट्यांच्या भ्रमण दिशेच्या विरुद्ध दिशेनें ही चलरेषा फिरून त्यायोगें कोण निर्माण झालेला असला तर त्याला धनकोण समजण्याचा परिपाठ अगर संकेत आहे व तोच अन्यतर मार्गभ्रमणानें निर्माण झालेला असल्यास त्याला ॠण समजतात. चलरेषेचें एक पूर्ण भ्रमण होऊन ती पुन्हां प्रस्थान अगर अचल रेषेवर येते तेव्हां तीमुळें उत्पन्न झालेला कोण ४ काटकोणांसमान समजला जातो; व ज्याप्रमाणें हें भ्रमण धन किंवा ॠण दिशेनें होतें त्याप्रमाणें तो कोण + ४ काटकोन अगर— ४ काटकोण होतो. पूर्णभ्रमणांमध्ये रेषाला त्याच त्याच स्थानांतून जावयाचें असल्याकारणानें प्रस्थान रेषेचें व चलरेषेचें एखादें विशिष्ट स्थल यांनीं मर्यादित केलेले अनेक कोण असूं शकतात. उदाहरणार्थ चलरेषा 0 क या स्थानीं जर असले (आकृति नं. १ पहा.) तर 0 क व 0य यांमधील सर्वांत लहान धनकोण आकृतींत ज्यावर खूण केली आहे तेवढाच असले परंतु चलरेषा एक पूर्ण भ्रमण करुन शिवाय दर्शविलेला कोण आक्रमून गेल्यास पुन्हां 0 क याच स्थानीं येणार, म्हणजे सर्वांत लहान कोण श नें दर्शविण्याचें मान्य केल्यास श +- ४ काटकोण याचेहि भुज तेच असतील; इतकेंच काय पण चलरेषेनें कितीहि पूर्ण भ्रमणें केलीं तरी शेवटीं जोंपर्यत ती श हाच कोण आक्रमण करते तोंपर्यंत त्या सर्व कोणांचे मर्यादादर्शक भुज तेच असणार म्हणजे क0य या चिन्हानें केवळ श एवढ्याच कोणाचा बोध होतो असें नाहीं तर श +-४ ग काटकोण (ग = यच्छ, प = पद हे संक्षेप त्यापुढें कोणतेहि पूर्णांक व्यंजक म्हणून योजिले आहेत.) इतक्याच सर्व कोणांचा त्यांमध्यें अंतर्भाव होतो.

कोण कसे निर्माण करतां येतात याचें येथवर विवरण झाल्यावर त्यांची परस्परांशीं तुलना करण्याचा सुलभा जावें म्हणून ज्या तीन प्रकारच्या मापनपद्धतींचा अवलंब केला जातो त्यापैंकी पहिली फार पुरातन कालापासून म्हणजे बाबिलोनियन लोकांच्या सुधारणेच्या कालापासून आजतागायत सारखीच प्रचारांत आहे. हिला षष्ठयंशपद्धति असें म्हणतात. यामध्यें प्रत्येक काटकोणाचे ९० समभाग समजले जातात व त्यांनां अंश ही संज्ञा आहे. याप्रत्येक अंशाचे ६० समभाग कल्पून त्यांनां प्रत्येकीं कला ही संज्ञा आहे; व प्रत्येक कलाहि पण ६० विकलांची झालेली असते. याहीपेक्षां सूक्ष्म कोणमापनाची बहुधा कधींहि आवश्यकता नसते. तथापि जेथें ती भासते तेथें तो कोण बिकलांच्या दशांशरूपानें व्यक्त करण्याचा परिपाठ आहे. या पद्धतीनें मापलेला कोण अंश, कला व विकला यांच्या अंकाच्या उजव्या हाताला डोक्याजवळ अनुक्रमें ० , ', '', या चिन्हांनीं व्यक्त करतात जसें २३ ३४'' १७.२९'' म्हणजे २३ अंश, ३४ कला व १७.२९ विकला असलेला कोण.

शतांश (शतभाग) पद्धति— यापद्धतीप्रमाणें काटकोणाचे १०० समान भाग कल्पिले जातात व त्या प्रत्येकाला क्रम (ग्रेड) ही संज्ञा आहे. या प्रत्येक क्रमाच्या १०० कला असतात; व प्रत्येक कला १०० विकलांची झालेली असते असें समजतात. षष्ठयंशपद्धतीप्रमाणें यांतीलहि निरनिराळ्या मापांचीं दर्शक म्हणून ग, ', '' अशीं चिन्हें योजितात. जसें १३ग २१' ३७'' म्हणजे १३ क्रम, २१ कला व ३० विकला असलेला एक कोण.

वर्तुलमापन अगर चापीयमापनपद्धतींतील विशेष हा आहे कीं कोण लहान असो अगर थोर असो त्याला मोजण्याचें परिणाम अवघें एकच आहे. म्हणून प्रत्येक कोण त्या परिमाणाच्या कितव्या पटीबरोबर अगर अंशाबरोबर आहे एवढेंच या पद्धतीप्रमाणें मोजावयाचें झाल्यास ठरवितां येतें. व हें परिणाम म्हणजे त्रिज्यातुल्यचापानें वर्तुलाच्या मध्यबिंदूशीं किंवा केद्रांशीं केलेला कोण होय. परिणामें नेहमीं अविकारी व स्थिर असावीं लागतात. या नियमाला अनुसरून हेंहि अचल आहे हें खालील दोन सिंद्धंतांवरून सहज लक्ष्यांत येण्यासारखे आहे. (१) वृत्तांचें परिघ अथवा पालि त्यांच्या त्रिज्याशीं समप्रमाणांत असतात. व (२) वृत्ताचे चाप तदभिमुख केंद्रस्थ कोणाशीं समप्रमाणांत असतात. पहिल्या सिद्धंतावरून एवढें कळून चुकलें असेल कीं वृत्तांचा परिघ हा त्याच्या त्रिज्येच्या एका विशिष्ट पटीसमान असतो, व दुसर्‍या सिद्धंताच्या आधारानें उपरिव्याख्यातचाणीय परिणाम हें काटकोणाच्या विशिष्ट अंशांबरोबर आहे अतएव तें अविकारी आहे असें सिद्ध करतां येतें (आकृति नं. २ पहा) जसें— य 0 यंर 0 रं या मध्यबिंदूतून दोन परस्परांना लंब असे व्यास काढल्यास ते परिघाचे किंवा पालीचे चार समखंड करितात हें उघड आहे. तेव्हां पाली त्रिज्येच्या ज्या विशिष्टपटीसमान आहे त्यापटीला p या विशिष्ट दोन चिन्हानें दर्शविण्याचें मान्य केल्यास य क र हा चाप p/२ x त्रिज्या तुल्य होतो म्हणून यक हा चापच त्रिज्यातुल्य घेतल्यावर

अर्वाचीन काळींच या स्थिरपदाची पाहिजे तेवढी सूक्ष्म किंमत न्यूटन, व्हायटावॉलिस, ग्रेगरी वगैरे गणितज्ञांनीं श्रेढीच्या रुपानें काढलेल्या त्याच्या विस्तारावरून शक्य झाली आहे. पुरातनकाळच्या भूमितींतील ३ अत्यंत प्रसिद्धीस आलेल्या सिद्धंतापैकींच तत्वतः हा एक आहे. वृत्ताचें क्षेत्र निश्चित करण्यामध्यें काय किंवा परिघ निश्चित करण्यामध्यें काय त्याच स्थिरपदाची किंमत ठरविणें अपरिहार्य असतें व ही किंमत पृथकरणात्मक त्रिकोणमितीमध्यें बरीच प्रगति होईपर्यंत पाहिजे तेवढी सूक्ष्म काढतां येणेंच अशक्य होतें. याची २० दशांश स्थळांपर्यंत किंमत ३.१४ १५९२६५३५८९७९३२३८४६ इतकी आहे

व त्याचा व्युत्क्रमा  ०.३१८३०९८८६१८३७९०६७१५३ आहे. निरनिराळ्या गणितज्ञांनीं यांच्या अधिकाधिक सूक्ष्म अशा किंमती निश्चित केल्या आहेत व एका आंग्ल प्रोफेसरनें तर यांच्या व त्याच्या बरोबर उच्च गणितामध्यें हरहमेश उपयोगांत येत असतणार्‍या आणखीहि इतर कांहीं विवक्षित स्थिर संख्यांच्या अडीचशेंवर दशांश स्थलांपर्यंत किंमती काढलेल्या आहेत. शेवटच्या प्रकरणांत दिलेल्या ॥ चे अनंत श्रेण्यात्मक विस्तारांवरून त्याची किंमत अनंतदशांश किंवा अपरिच्छेद्य अपूर्णांक असावी हें कोणीहि अनुमान करील. वर निर्दिष्ट केल्याप्रमाणें एका चापीयमापन परिमाणामध्यें १८००/p    म्हणजे, ७५०१७'' ४४.८०६२४७-९६४'' असतात. तेव्हां शचापीय मापन असलेल्या कोणामध्यें १८०/p श अंश असणार हें स्पष्ट आहे एकच परिणाम असल्यामुळें या पद्धतीचा प्रत्यक्ष व्यवहारामध्यें जरी फारसा उपयोग होत नसला तरी पृथक्करणात्मक त्रिकोणमितींत त्याच्या योगें पुष्कळसें काम सुकर झालें आहे. कोणाप्रमाणेंच रेषाहि धन किंवा ॠण समजण्याचा परिपाठ आहे व हा भेद, कोणाप्रमाणेंच ती कशी निर्माण होते यावर अवलंबून आहे म्हणजे य 0 यं ही रेषा दोन तर्‍हेनें निर्माण करतां येते. बिंदु य पासून यं कडे जाण्यानें उत्पन्न होते किंवा यं पासून य कडे जाण्यानेंहि उत्पन्न होतें. आणि या दिशा परस्परविरुद्ध असल्यामुळेंच एका दिशेला धन तर दुसरीला ॠण असें समजण्यांत येतें व साधारणपणें प्रस्थान रेषेची ह्मणजे 0 य ही दिशा व तिला उत्तरलंब अशी 0 र दिशा या दोन्हीं धनदिशा समजल्या जातात व तद्वविरुद्ध दिशा ॠण समजतात.

वृत्तगुणोत्तरांच्या व्याख्या देण्यापूर्वी आणखी एखाद्याचा निर्देश करणें क्रमप्राप्‍त आहे व तो म्हणजे प्रत्यालेखन (प्रोजेक्शन) पद्धतीबद्दल होय. एका बिंदूपासून एखाद्या रेषेला काढलेला लंब तिला ज्या ठिकाणीं छेदतो त्या बिंदूला त्या पूर्वोक्त बिंदूचाप्रत्यालेख म्हणतात. प्रत्यालेखाच्या या व्याख्येच्या साह्यानें रेषाचाहि प्रत्यालेखनिर्णय करतां येण्यासारखा आहे. कारण रेषा ही बिंदूचा आक्रमणमार्ग असल्यानें तिचा प्रत्यालेख म्हणजे बिंदूचाच प्रत्यालेखमार्ग समजला तरी चालेल. याच विचारसरणीच्या साह्यानें रेषा सरळ असोवा वक्र असा ती अखंड असल्यास तिचा प्रत्यालेखहि अखंड किंवा अविच्छिन्न असणार हें अनुमान करणें कठिण नाहीं. तसेंच पुरोगामी परिच्छेदांत ठरविल्याप्रमाणें ही रेषा अमुक एका विशिष्ट दिशेनें आक्रमिला जाईळ (आ.नं. ३ पहा) जसें— क ख ही रेषा क पासून उत्पन्न होऊ ख मध्यें संपलेली असली म्हणजे तिचा प्रत्यालेख क'' पासून उत्पन्न होऊन ख'' मध्यें संपतो व क'' ख'' ही दिशा धन मानली तर मग ख'' क'' ॠण होते. आतां क ख रेषेचा आकार कसाहि असला तरी तिचा प्रत्यालेख अग्रबिंदूंच्या प्रत्यालेखांवरच अवलंबून राहतो. या सिद्धंतावरून एकादी रेषा निरग्र म्हणजे तींतील कोणत्या बिंदूंत उगम पावली आहे असें समजलें तरी पुन्हां तेथेंच संपते अशी असले तर तिचा प्रत्यालेख अर्थात पूज्य असणार. याचा अर्थ असा कीं कोणत्याहि परिवृत बहुभुजांचे यथाक्रम प्रत्यालेख काढल्यास त्यांची बेरीज पूज्य होतें. इतकेंच काय पण कोणत्याहि सर्वतः परिवृत वक्र रेषेचा देखील प्रत्यालेख पूज्यच असतो.

य 0 यं वर 0 रं या दोन अनुक्रमें पूर्वापरगामी व दक्षिणोत्तर म्हणजे एकमेकांनां लंब अशा ० मधून जाणार्‍या २ रेषा काढल्या असतां सर्व पातळीचे त्यायोगें ४ भाग होतात. या तलचतुर्थांनां पाद अशी संज्ञा आहे. व पूर्वोक्त रेषांनां अनुक्रमें कोट्यक्ष व भुजाक्ष या संज्ञा आहेत. पातळींतील कोणत्याहि बिंदूंचीं या दोन अक्षांपासूनचीं अंतरें दिलीं असतां बिंदूंचा स्थलनिर्णय करणें फार सुलभ होतें, हीं अंतरें रेषेच्या कोणत्या बाजूला मोजावयाचीं हा प्रश्न उद्भवतो, परंतु या प्रश्नाचें अंशतः उत्तर मागील एका परिच्छेदांत दिलेलें आहेच. समजूं क हा एक पहिल्या पदांतील बिंदु आहे व कख, कग हे अक्षांनां काढलेले लंब आहेत. आकृतीवरुन (नं. ४ पहा) कख 0 ग हा आयात (रेक्टँगल) असणारा व त्यामुळें कग हा 0 ख बरोबर असतो व त्यामुळें कग, कख देणें काय किंवा 0 ख, खक देणें काय सारखेंच. आतां ० पासून क पाशीं अक्षांनां समांतर रेषांवरुन जावयाचें म्हटलें तर प्रथम 0ख ही रेषा आक्रमण करावी लागेल व नंतर कख या कोट्यक्षाला समांतर रेषेनें जावें लागेल.अशा रितीनें 0 पासून क कडे जातांनां प्रथम आक्रमण करावें लागणारें 0 ख हें अंतर भुजाक्षावर मोजलें असल्याकारणानें त्याला भुजांतर अशी संज्ञा प्राप्‍त झाली आहे. व खक हें दुसर्‍या कोट्यक्षाला समांतर मोजलें असल्यामुळें त्याला कोटयंतर म्हणतात. 0 य ही भुजाक्षाची धन दिशा होय. म्हणजे 0 पासून क पाशीं वर विहित केलेल्या मार्गानें जाताना प्रथम 0 य या दिशेनें जावें लागत असल्यास त्या बिंदूंचें भुजांतर धन समजलें जातें व 0 यं या दिशेनें जावें लागत. असल्यास त्याचें भुजांतर ॠण समजण्याचा प्रघात आहे. थोडक्यांत लिहावयाचें म्हणजे रं 0 र या अक्षाच्या उजव्या हाताला कोठेंहि बिंदु असला म्हणजे त्याचें भुजांतर धन असतें. परंतु तो डाव्या बाजूला असल्यास तें ॠण असतें. तसेंच खक हें अंतर ०रे या दिशेनें आक्रमण झालेलें असल्यास त्याला धन कोटयंतर समजतात. परंतु तेंच ०रं या दिशेनें मोजलें गेलें असेल तर तें ॠण कोटयंतर होतें. म्हणजेय ० यं या रेषेच्या वर कोठेंहि बिंदु असला तरी त्याचें काटयंतर धन असतें व बिंदु खालीं असले तर तें ॠण असतें. या दोन मूलभूत संकेतांवरून बिंदू ० य व ० र या दिशांमध्यें असेल म्हणजे प्रथम पादांत असेल तर त्याचें भुजयुग्म ॠण असतें. यं ० र मध्यें म्हणजे द्वितीय पक्षांत असेल तर भुजांतर ॠण पण कोटयंतर धन असतें. यं ० रं या कोणांत म्हणजे तृतीयपादांत बिंदु असतो तेव्हां त्याचे दोन्हीं भुज ॠण असतात व शेवटच्या पादांत असतां त्याचें भुजांतर धन परंतु कोटयंतर ॠण असतें.

कोणाच्या कोणत्याहि भुजावरील यदृच्छया घेतलेल्या बिंदूपासून दुसर्‍या भुजावर लंब काढून जो त्रिकोण उपलब्ध होतो तो एका विशिष्ट जातीचा असतो म्हणजे त्याचे कोण नेहमीं तेच असतात (आ.नं.५ पहा). प्रथम कख हे बिंदू एकाच भुजावर घेऊं . आतां    ककं ० =   खखं ० =  काटकोण; शिवाय   0  हा दोन्हीं त्रिकोणांना साधारण आहे म्हणून   0 ककं   =० खखं. नंतर क ग हे दोन बिंदु निरनिराळ्या भुजांवर घेऊं. तेव्हांहि  0 हा दोन्हीं त्रिकोणांनां साधारण असतो व 0 कंक =  0  गंग = काटकोण, म्हणून  0 ककं =  0 गगं. यावरुन बिंदुद्वय कोणत्याहि भुजांवर व कोठेंहि घेतलें तरी त्यांपासून वरील निर्माण होणारे त्रिकोण समकोण असतात म्हणजे परस्परांनां सदृश असतात; यास्तव


स्थिर किंवा अविकारी आहे तोंपर्यंत उपरिनिर्दिष्ट त्रिकोणाच्या भुजांची परस्परांशीं गुणोत्तरें अविकारीच असतात. परंतु त्रिकोणाच्या भुजत्रयांपासून ३ निरनिराळीं भुजद्वयें करतां येतात व प्रत्येक भुजद्वयापासून २ गुणोत्तरें प्राप्‍त होतात. तेव्हां एकंदरींत प्रत्येक कोणाशीं अशीं ६ गुणोत्तरें निगडित असतात हें कळून येईल. कोण व त्यांचीं गुणोत्तरें यांच्या या निकटसंबंधामुळें त्रिकोणमितीमध्यें ज्या ज्या ठिकाणीं म्हणून कोणांशीं कांही कर्तव्य असतें त्या त्या ठिकाणीं प्रत्यक्ष त्या कोणाचा संबध अगर समीकरणें न देतां त्यांच्या गुणोत्तरांच्याच रुपानें ते दिले जातात व या योजनेनें कोणपरिमाणनिर्णय व त्यांचे परस्परांशी संबंधहि अधिक सुसाव्य होतात. कोण स्थिर आहे तोंपर्यंत त्याचीं हीं ६ गुणोत्तरें विवक्षित स्थिर राशी असतात. म्हणून १ पासून ९० अंशांपर्यंत सर्व कोणांची एकेक कलांच्या अंतरानें गुणोत्तरें निश्चित करुन तीं एकदां ग्रंथित करुन ठेवलेलीं आहेत.

आतां या भिन्न गुणोत्तरांच्या व्याख्या देतांना त्रिकोणाच्या भुजांनां अनायासानें ओळखतां यावें यास्तव त्यांनां कांहीं संज्ञा देऊं. समजा  य0क हा कोण श आहे. मग  कं वगैरे कोण काटकोण असल्यानें 0क वगैरेनां कर्ण म्हणतां येईल. किंवा श हा कोण ०क च्या भ्रमणानें प्राप्‍त झालेला असल्यामुळें त्याला चलरेषा असेंहि संबोधितात. 0 कं याला कोणनिकटवर्तीभुज, क या बिंदूचें भुजांतर किंवा 0 ककं त्रिकोणाचा पाद समजू. मग राहिलेली बाजू म्हणजे ककं हिला कोणसंमुखभुज अथवा बिंदूचें कोटयंतर किंवा 0 ककं या त्रिकोणाचा लंब म्हणण्याचा परिपाठ आहे. चलरेषा ही कोणत्याहि पादांत असली तरी, चिन्ह निरपेक्ष म्हणजे नेहमींच धन समजलें जातें; परंतु त्रिकोणाचे दुसरे दोन भुज मात्र धन किंवा ॠण असणें हें सर्वस्वीं या चलरेषेच्या स्थानावर म्हणजे अप्रत्यक्षपणें कोणाच्या कमी अधिक प्रमाणावर अवलंबून रहातें. यावरून हीं गुणोत्तरें धन व ॠण दोन्हीं असूं शकतात हें स्पष्ट आहे. आतां (आ.नं. ७ व ८ पहा.)

या मूलभूत गुणोत्तरषटकाशिवाय त्याच्या पासूनच निर्माण केलेल्या अशा आणखी दोन राशींचा केव्हां केव्हां उपयोग होतो म्हणून त्यांनांहि गुणोत्तर हीच संज्ञा प्राप्‍त झाली आहे.  १-कोज्याश = शची उत्क्रमज्या = उज्याश, आणि१-भुज्याश =  शची कोट्युत्क्रमज्या = कोउज्याश. कोणत्याहि दोन भुजांपासून दोन गुणोत्तरें होतात व तीं परस्परांचे व्युत्क्रम असतात. तसेंच कोणत्याहि गुणोत्तरांमध्यें एक तरी भुज सारखा असतो. यावरून या गुणोत्तरांमध्यें परस्परसंबंध असावेत हें अनुमान कोणालाहि काढतां येणें सोपें आहे.

त्रिकोणमितीची सर्व इमारत या गुणोत्तरांच्या पायावर रचलेली असल्याकारणानें प्रत्यालेखाच्या उत्पत्तीच्या आधारानें देतां येत असलेल्या त्यांच्या व्याख्या पुन्हां देऊन नंतर त्यांच्या विशिष्ट लक्षणाकडे वळूं. य0यं वर 0रं हे परस्परांनां लंब असे दोन अक्ष आहेत व 0 क ही चलरेषा धनभ्रमणानें 0 य शीं श हा कोण करते असें समजू. म (आ.नं. १० पहा) ० क च्या य ० यं अक्षावरील प्रत्यालेखाच्या ० क शीं गुणोत्तराला शची कोज्या, कोभुजज्या किंवा कोज्याश अशी संज्ञा आहे. ० क च्या र ० रं अक्षावरील प्रत्यालेखाच्या ० क शीं गुणोत्तराला शची भुजज्या अथवा भुज्याश म्हणतात. य ० यं वरील प्रत्यालेखाच्या र ० रं वरील प्रत्यालेखाशीं गुणोत्तराला शची कोस्पर्शज्या अगर कोस्पज्याश अशी संज्ञा आहे. ० क च्या त्याच्या य ० यं वरील प्रत्यालेखाशीं गुणोत्तराला श ची छेदनज्या अथवा छेज्याश असें समजतात. ० क च्या त्याच्या र ० रं वरील प्रत्यालेखाशीं गुणोत्तराला श ची कोछेदनज्या अगर कोछेज्याश अशी संज्ञा आहे. व शेवटीं र ० रं वरील प्रत्यालेखाच्या य ० यं वरील प्रत्यालेखाशीं असलेल्या गुणोत्तराला शची स्पर्शज्या अगर स्पज्याश अशी संज्ञा आहे.

प्राचीन ग्रीक गणित्यांना  यं ० क या कोणाची (आ.नं. ११ पहा) गुणोत्तरें तर राहूंद्याच. पण ० ककं या त्रिकोणाच्या नुसत्या भुजांचाहि उपयोग करतां येत नसे. ते त्यांऐवजीं कय या चापाच्या दुप्पट चापांची ज्या म्हणजे कख या पूर्णज्येचा उपयोग करीत व टॉलेमीनंतर त्यांचीं अशीं कोष्टकेंहि केलेलीं होतीं. प्राचीन आर्य गणित्यांनां ० कं व कय या दोहोंचीहि उपयुक्तता पूर्णपणें कळून चुकली होती व त्यांनी ३॥। अंशांच्या अंतरानें १ ते ९० अंशांपर्यंतच्या सर्व कोणांच्या (ज्यांच्या) किंमतीहि ग्रथित करुन ठेविल्या आहेत. याच रेषांनां ते अनुक्रमें कोटिज्या व भुजज्या म्हणत असत. त्यांनां उत्क्रमज्या व कोटि-उत्क्रमज्या यांच्याहि उपयुक्ततेची जाणीव होती व भास्कराचार्यांनीं तर कोणार्धाच्या भुजज्येची किंमत उत्क्रमज्येच्या साहाय्यानें किती सुलभतेनें निश्चित करतां येतें हेंहि दर्शविलें आहे. याबद्दलचें विवरण पुढें योग्य स्थळीं येइलच. या पद्धतींत सुद्धां एक गौणत्व आहे व तें हें की गुणोत्तरांप्रमाणें कोण कळला तरी त्याच्या किंमती त्यामुळें पूर्णपणें निश्चित होत नाहींत. कारण कोणाबरोबर ०क  अगर वृत्ताची त्रिज्याहि पण कळावी लागते.

गुणोत्तरांच्या परस्परांमधील संबंधापैकीं कांहींचा उल्लेख वर झालेलाच आहे. तरी पायथॅगोरसच्या विख्यात सिद्धांतावरून आणखी तीन नित्य समीकरणें प्रस्थापित करतां येतात. कोण लघु असो, विशाल असो वा अतिविशाल असो. (आ. ६-७-८-९) यांवरून भुजांतर२ + कोटयंतर२ = चलरेषा२ आतां या सूत्राला प्रत्येक पदानें अनुक्रमें भागलें म्हणजे       

गुणोत्तरांच्या वर दिलेल्या व्याख्यांवरून त्यांच्या परस्परांमधींल संबंधावरुन त्यांचे खालील गुणधर्म सहज पटण्यासारखे आहेत—

(१) कोण लघु असला तर आकृतींत दर्शविल्याप्रमाणें (आ.नं. १२ पहा) प हा बिंदूच प्रथमपादांत असतो व त्याचें भुजयुग्म धनच असतें. अतएव प्रत्येक गुणोत्तर धन असणार हें उघड आहे. शिवाय य ० फ हा कोण य ० प या कोणाहून मोठा कल्पिल्यास फफं पपं परतुं फफं२ + 0 फ२  = ० फं२ = ० प२ = ० पपं २ + ० पं २ यास्तव फफं  पपं असेल तर ० फं ० पं  
म्हणजे कोण जसजसा वाढत जाईल तशी त्याची भुज्या वाढत जाईल तर त्याची कोटिज्या कमी होत जाईल व याच कारणामुळें त्याची स्पर्शज्या वाढत जाईल व शेवटचीं तीन गुणोत्तरें तर याच गुणोत्तरांचें व्युत्क्रम असल्यामुळे कोछेज्या व कोस्पर्शज्या हीं गुणोत्तरें कोणाच्या वाढीबरोबर अनुक्रमें क्षीण पावतात तर छेज्या वृध्दिंगत होत जाते.

(२) कोण विशाल असतो त्यावेळीं भुजांतर ॠण असल्यामुळें ज्या चार गुणोत्तरांमध्यें तें समाविष्ट असतें तीं सर्व ॠण असतात. तसेंच केवळ परिणामाचा विचार करतां कोण वाढत जातो तसतसें त्याचें भुजांतर वाढत जात असल्यानें त्याचें कोटयंतर उत्तरोत्तर क्षीण होत गेलें पाहिजे, म्हणजे परिमाण व चिन्ह या दोन्ही गोष्टी लक्षांत घेतां भुज्या व कोछेज्या दोन्हीं धन असतात व पूर्वोक्त क्षीण होत जाते तर उत्तरोक्त वृध्दिंगत होते. कोज्या व छेदज्या दोन्हीहि ॠण परंतु नुसत्या परिमाणाचाच विचार करितां भुजांतर वाढतें म्हणून कोज्या कमी होत जाते आणि त्याच्या बरोबरच छेदज्या वृध्दिंगत होत जाते व शेवटीं स्पर्शज्या व कोस्पर्शज्या दोन्हीं ॠण परंतु त्यांपैकीं पूर्वोक्त वाढते व उत्तरोक्त क्षीण होत जाते (आ.नं. १३ पहा).

(३) कोण १८० व २७० या अंशांमध्यें असतो त्या वेळीं त्याचीं दोन्हीं अंतरें (भुजांतर व कोटयंतर) ॠण असल्यानें त्या दोघांपासून निर्माण केलेलीं म्हणजे स्पर्शज्या व कोस्पर्शज्या एवढीं दोन गुणोत्तरें धन असतात.

आतां येथें (आ.नं. १४ पहा) परिमाणकृति लक्षांत घेता पफं  पपं म्हणून ० फं  ० पं म्हणजे भुज्या उत्तरोत्तर कमी होत जाते व कोछेदज्या वृध्दिंगत होते. तसेंच कोटिज्या वाढते तर छेदज्या कमी होते व शेवटीं स्पर्शज्या वृध्दिंगत होते व कोस्पर्शज्या क्षीणता पावते. अखेरीस कोण २७० व ३६० या अंशांमध्यें असेल तर भुजांतर ॠण असतें व शिवाय तें परिमाणानेंहि कमी कमी होत जातें (आकृति नं. १५ पहा). म्हणून भुज्या उत्तरोत्तर वृध्दिंगत होते म्हटलें तरी चालेल; कोज्या तर धन असते व तीहि उत्तरोत्तर वाढतच राहते व स्पर्शज्या ॠण असूनहि वाढत जाते. या कोणाचें कोटयंतर ॠण असल्यानें कोटयंतर विरहित म्हणजे फक्त भुज्या व कोछेदज्या गुणोत्तरें धन असणार.

या पद्धतीनें निरनिराळ्या कोणांच्या गुणोत्तरांच्या किंमती निर्णीत करतां येण्यासारख्या असल्या तरी प्रत्येक खेपेला त्याच धोपट मार्गाचें अवलंबन करण्यापासून बराच कालव्यय होणें अपरिहार्य आहे. यास्तव संयुक्त कोणद्वयांच्या गुणोत्तरांच्या परस्पर संबंधावरून केवढ्याहि मोठ्या कोणाच्या गुणोत्तरांच्या किंमती निश्चित करणें तदनुरुप लघुकोणाच्या गुणोत्तरांच्या साह्यानें किती सुलभ होऊं शकतें हें पुढील विवेचनावरुन कळून येईल.

(अ) प्रथम पूरक कोणद्वयांची तुलना करूं (आ.नं. १६ ते १९ पहा).
    य ० फ = ९०—  य०प;  ०प = ० फ व पपं फफ'', ०य या लंब आहेत.

यांपैकीं कोणतीहि आकृति विचारांत घेतली तरी प्रथमतः तींतील त्रिकोण एकरूप आहेत असें तेव्हांच कळून येण्यासारखें आहे. इतकेंच नव्हे तर सजातीय भुजचिन्हसंकेत लक्षांत घेतां हीं एकमेकासमान आहेत हें दिसून येईल म्हणजे—

०प = ०फ,  ०फं = पपं, व फफं = ०पं
अतएव य ० प व य ० फ यांनां श व ष या संज्ञांनीं संबोधिलें तर

 

तसेंच स्पर्शज्याष = कोस्पज्याश. कोछेज्याष = छेज्याश,
छेज्याष =  कोछेज्यास व कोस्पज्याष = स्पज्याश.

(आ) कोणद्रयांमध्यें काटकोणाइतकें अंतर असल्यास म्हणजे  ष = ९० +  श असल्यास पूर्वीप्रमाणेंच आकृति पूर्ण केल्यावरहि ( आकृति नं. २० ते २३ पहा.).

त्रिकोणांची तुलना केली असतां सजातीय भुजपरिमाणाकडेच लक्ष्य दिलें असतां, समान आहेत हें खरें परंतु चिन्हांच्या संकेताचा विचार करितां ० फं व पप हे भुज भिन्नचिन्हयुक्त आहेत असें कळून येईल व

उपरिनिषर्दिष्ट सारणीसमुदायांच्या साह्यानें कोणत्याहि लहान मोठ्या कोणांचीं गुणोत्तरें निश्चित करणें सुरभ होतें हें खरें, परंतु कोण कितीहि मोठा असला तरी जोंपर्यंत त्याची चलरेषा वरील ४ पादांपैकीं कोणत्या तरी एका पादांतच पडणार व त्यांचीं गुणोत्तरें या रेषेच्या स्थानावरच अवलंबून रहाणार तोंपर्यंत कोणामध्यें ४ काटकोणांची कितीहि पट मिलविली किंवा त्यामधून कितीहि पट वजा केली तरी त्यामुळें त्याच्या गुणोत्तरांच्या किंमतीत फरक होण्याचें प्रयोजन नाहीं. यास्तव कोण धन असेल तेव्हां त्यांतून ४ काटकोणाची जेवढी पूर्ण पट वजा केली असतां बाकी धन राहून ४ काटकोणापेक्षां कमी राहील (किंवा ॠण असल्यास जेवढी पट मिळविली असता बेरीज धन होऊन पूर्ववत् ४ काटकोणापेक्षां कमी राहील) तेवढी वजा करुन (किंवा मिळवून) प्राप्‍त झालेल्या कोणाचीं गुणोत्तरें निश्चित करणें हा मार्ग त्याहिपेक्षां सुलभतर आहे. या विशिष्ट धर्मामुळेंच या गुणोत्तरांनां आवर्तमानराशि असें म्हणतात व ४ काटकोण हा त्यांचा आवर्त होय. स्पर्शज्या व कोस्पर्शज्या यांचा आवर्त तर २ काटकोणाएवढाच असतो.

येथवर अन्योन्यसंलग्न कांहीं कोणद्वयांच्या गुणोत्तरमधील परस्परसंबंध प्रस्थापित केल्यानंतर अनेक प्रसंगीं उपयोगांत आणणें आवश्यक असलेल्या अशा कांहीं विशिष्ट लघु कोणांची गुणोत्तरें ठाम करणें हें ओघानेंच आलें. प्रथमतः आपण ० अंश असलेल्या कोणाचा विचार करूं (आ.नं. ३२ पहा.)

अ०प हा अगदीं लहाण कोण आहे असें कल्पूं. मग पपं सुद्धा अत्यल्प असल्यानें ०पं हा जवळ जवळ ०प एवढीच असणार म्हणजे प'' हा बिंदु अ ला अगदीं निकटतर आहे असें समजावयाला प्रत्यवाय नाहीं. आतां ० प ही चलरेषा ॠण दिशेनें म्हणजे जेणेंकरुन अ०प हा कोण अधिकाधिक कमी होईल अशा रीतीनें भोंवती फिरविली तर शेवटीं ०प ही रेषा ०अच्या इतकी निकट जाऊं शकेल कीं, दोहोंमधील अंतर अदृश्य, अपरिमेय, अगोचर आहे अशी कल्पना करणें गैर होणार नाहीं. पण या स्थितींत पपं रेषा सुद्ध इतकी सूक्ष्म असेल कीं ती मापण्याच्या आटोक्याच्या बाहेर असेल; म्हणजे ०पं व ०अ यांमध्यें क्वचितच अंतर राहील. तेव्हां अशा कोणाचीं म्हणजे ० ची गुणोत्तरे खालीलप्रमाणे असणार हें उघड आहे. भुज्या

तसेंच स्पज्या ० = ०, कोछेज्या = µ छेज्या = १, कोस्पज्या µ या गुणोत्तरांवरून ९००, १८००, २७०० वगैरे अंश असलेल्या कोणांचीं गुणोत्तरें तेव्हांच काढतां येतात. कोण ४५० अंशाचा असल्यास (आ.नं. ३३ पहा).

कखग या समभुजत्रिकोणाचा कोणताहि उच्छ्रय काढला असतां (आ.नं. २४) त्यायोगें ज्या शीर्षामधून तो काढला असले त्या शीर्षामधील कोणाचे दोन समविभाग होतात तसेंच त्यायोगें तदभिमुख भुजाचेहि दोन समविभाग होतात म्हणून 

वगैरे काटकोणाचीं गुणोत्तरें स्वतंत्र देता येतात. (आ.नं. ३२ पहा). अ०क हा कोण जवळ जवळ काटकोण आहे असें कल्पूं मग क हा बिंदू इला अगदीं निकट असणारा. तसेंच कं हा ० समीप असणारा म्हणजे ० कं सूक्ष्म असणारा अर्थात् त्यामुळें ककं ची लांबी जवळ जवळ ० क इतकी असणार. आतां हा कोण वाढवीत वाढवीत शेवटीं तो काटकोणाइतका मोठा केला म्हणजे त्याची भुजज्या =


 यावरुन राहिलेल्या गुणोत्तरांच्या किंमती काढतां येतील

कित्येक प्रसंगीं ३६० चीं गुणोत्तरेंहि माहीत असणें अपरिहार्य असतें व तीं भूमितींतील खालील सिद्धांताच्या साहाय्यानें निश्चित करतां येतात. हा सिद्धांत म्हणजे अंत्यमध्यगुणोत्तरांस दिलेल्या रेषेचे दोन खंड करण्याविषयींचा होय. म्हणजे रेषा अशा दोन खंडांत छेदणें कीं, जेणेंकरून एका खंडावरील चौरस, सबंध रेषा व राहिलेला खंड यांचे आयता समान होईल. एका रेषेच्या दोन बिंदूमध्यें (एकदां अंतः व एकदां बाह्य) असे छेद करतां येतात व वरील उल्लेखित खंडांपैकीं पूर्वोक्त खंडाच्या रेषेशीं नेहमीं अनुक्रमें.

     हें गुणोत्तर पडतें. याप्रमाणें अंतश्छेद केलेल्या रेषेवर वर उल्लेख केलेल्या खंडाएवढा पाया असलेला समद्विभुजत्रिकोण काढला असतां त्याचे ३६,७२,७२ असे कोण होतात.

कघ2 =  कख x घख, (आ.नं. १६ पहा) कख = कग व खग = कघ म्हणून खग = घग.
आतां घडकगला लंब काढला असतां


यावरुन इतर गुणोत्तरांची निष्पत्ति करतां येईल.

आतां कोणाचें एखादें गुणोत्तर दिलें असतां कोणार्धाचीं गुणोत्तरें निश्चित करण्याच्या एका रीतीचें विवेचन करूं.

 त्रिकोणमिति आकृत्या व त १९९३ ते २०४

या पांच सूत्रगणांत मिळून प्रस्थापित केलेल्या एकंदर १० सारणींवरच काटकोणत्रिकोनसाधन पूर्णपणें अवलंबून असतें. एतदर्थ त्या निमिषार्धांत जशाच्या तशा प्राप्‍त करतां येणें सुलभ जावें यास्तव घातांकगणनपद्धतीचें विख्यात शोधक जॉन नेपियर यानीं खालील दोन नियम सुचविले आहेत.

दिलेल्या दोन आकृतींची (आ.नं. ६३) तुलना करितां असें दिसून येईल कीं, त्रिकाणाच्या सभोंवतीं क या बुजापासून प्रारंभ करुन फिरावयाला सुरुवास केली असतां ज्या अनुक्रमानें त्रिकोणाचे निरनिराळे अवयव मार्गांत भेटतात त्याच अनुक्रमानें ते सोबतच्या वृत्तांतहि केंद्रासभोंवतीं मांडलेलें आहेत. मात्र ग हा कोणच अजीबात या वृत्तांतून गाळून टाकला आहे. शिवाय क व ख हे भुज जसेच्या तसेच न मांडतां त्याबद्दल ग चे पूरक म्हणून घेतले आहेत. आतां या ५ वृत्तभागांतील निरनिराळ्या राशींपैकीं कोणत्याहि एकाला मध्यभाग असें समजूं व तदनुरोधानें त्याच्या दोन्हीं बाजूला शेजारीं असलेल्या राशीनां समीपवतीभागद्वय व अविशिष्ट दोघांनां अभिमुख अथवा संमुखभागद्वय असें म्हणूं.

पहिला नियम— भुज्या (मध्यभाग)  = समीपवर्तीभागद्वयाच्या स्पर्शज्यांचा घात.
दुसरा नियम— भुज्यामध्यभाग  = संमुख भागांच्या कोज्यांचा घात.

वृत्तभाग ५ असल्यानें व कोणताहि भाग मध्यभाग होऊं शकत असल्याकारणानें प्रत्येक नियमामध्यें ५ सूत्रें समाविष्ट आहेत हें सहज पटण्याजोगें आहे.

हेच नियम ज्यांत गोंवलेले आहेत अशा दोन कविता कै.वे.शा. विनायकशास्त्री खानापूरकर यांनीं ग्रंथित केल्या आहेत. त्या वरील सूत्रनियमांच्या पेक्षांहि स्मरणांत ठेवणें अधिक सोयीचें व सुलभ म्हणून येथें देतों.
''मध्यप्रभागीयभुजज्यकासमा स्पार्शीयरेषाहतिरत्रभागयोः ।
संलग्नयोर्दूरतप्रभागयोः कोभुज्यका संहतिरित्युदरियेत् ॥ कोणेच व कर्णें सति पूरकोणको ग्राह्यः ।''

शेवटच्या चरणाचा अर्थ स्पष्टच आहे; कोण व कर्ण याबद्दल त्यांच्या पूरक राशींची योजना करावयाची (ले.प्रो.एस्.बी. बोंडाळे).

   

खंड १५ : तपून - धमन्या  

 

 

 

  तबारी
  तमकुही
  तमलुक
  तमाल
  तरखन
  तरणतारण
  तरवड
  तरवार
  तरस
  तराई
  तरीकेर, तालुका
  तरोओन
  तरोट
  तर्कशास्त्र
  तर्खडकर, दादोबा पांडुरंग
  तर्खडकर, द्वारकानाथ राघोबा
  तर्मपुरी जमीनदारी
  तलकाड
  तलगंग
  तलैंग
  तवॉय
  तवेफ
  तशकुरघान
  तळेकर, श्रीकृष्णशास्त्री
  तळेगांव दशासर
  तळेगांव दाभाडे
  तळोदे
  तक्षक
  तक्षशिला
  ताई तेलीण
  ताग
  तागा
  ताजमहाल
  ताड
  ताडपत्री, तालुका
  तांडा
  तांडुर
  तातवा अथवा तंति
  ताताचार्य
  तातरखान
  तातार लोक
  तात्या टोपी
  तादुळजा
  तांदुळजाची लढाई
  तानसेन गंधर्व
  तानाजी मालुसरे
  तान्तन
  तान्सासरोवर
  तापीनदी
  तांबट
  तांबें
  तांबोळी
  ताब्रीझ
  तामनगड
  तामिळ
  तामिळ वाड्मय
  ताम्रपणीं
  ताम्रलिप्ति
  तारक-तारकासुर
  तारकेश्वर
  तारा(१)
  तारापूर
  तारापूर चिंचणी
  ताराबाई
  तारायंत्र
  ताल संस्थान
  तालगुंड
  तालचेर
  तालबहत
  तालिकोट
  तालुरंध्ररोग
  ताशकंद
  ताश खुरघन
  तासगांव
  ताहेज अथवा तेज
  ताहीर पहिला
  तिक्कन सोमयाजी
  तिक्कली, तहशील
  तिगळ
  तिगिरिआ संस्थान
  तिग्यैंग
  तिजार
  तिंडिवनम्
  तिड्डिम
  तिथि
  तिनाली
  तिनेवेल्ली
  तिपतूर
  तिमय्यासाती
  तिपिटक
  तिबेट
  तिमोर
  तिमोर लॉट
  तिरखेडी-मालपुरी जमीनदारी
  तिरगुळ
  तिरवा
  तिरहुत
  तिराह
  तिरुक्कलीक्कुनरम्
  तिरुक्कोयिलूर
  तिरुचुली
  चिरुचेंगोडू
  तिरुचेंदूर
  तिरुत्तनी
  तिरुत्तरैप्पुंडी
  तिरुपती
  तिरुप्पत्तुर
  तिरुप्पत्तुर
  तिरुप्पुवनम्
  तिरुमंगइ आळवार
  तिरुमंगलम तालुका
  तिरुमल
  तिरुरंगडी
  तिरुवन्नमलै
  तिरुवल्लम
  तिरुवल्लूर
  तिरुवादी
  तिरुव्वडमरुडूर
  तिरु्व्वलूर
  तिरुव्वादानै
  तिरुव्वुर तहशील
  तिरुज्ञान संबंदर
  तिरोडा
  तिलकवाडा
  तिलिन
  तिल्लिचेरी गांव
  तिल्हर
  तिस्ता नदी
  तीरथगड
  तीर्थेकर
  तीर्थहल्ली
  तीळ
  तुकाराम
  तुकोजी होळकर
  तुक्रेश्वरी
  तुंग
  तुंगतामापक यंत्र
  तुंगभद्रा
  तुंगुसे लोक
  तुघ्रलबेग
  तुघ्लक घराणें
  तुतिकोरीन
  तुतीचें झाड
  तुनी तहशील
  तुंबड्या लावणें (कपिंग)
  तुंबरु
  तुमकूर
  तुमसर
  तुरटी
  तुरय्यूर
  तुरा
  तुरी
  तुरुवन्नूर
  तुरुंबे
  तुरुष्क
  तुर्क लोक
  तुर्कस्तान
  तुळजापूर
  तुळशीदास
  तुळस
  तुळसीबाई
  तुळाजी आंग्रे
  तुळापुर
  तूद
  तूर
  तूलू
  तेओंथर
  तेकरीराज
  तेझपूर
  तेनकासी
  तेनासरीम
  तेनालरामलिंग
  तेरकनांबी
  तेरदाळ
  तेरी तहशील
  तेरुवेल्लवर
  तेल
  तेलंग, काशीनाथ त्र्यंबक
  तेलगू
  तेलगू वाड्मय
  तेली
  तेल्हारा
  तेहरान
  तेहरी संस्थान
  तैकल
  तैक्कियय
  तैत्तिरीय शाखा
  तैमूर
  तैलयंत्र
  तोडभीम
  तोडरमल
  तोंडली
  तोतया भाऊसाहेब
  तोतरें बोलणें
  तोफखाना
  तोबटेकसिंग
  तोबालस्क
  तोमर
  तोरगळ
  तोरणमाळ
  तोरणा
  तोरवी
  तोरु, दत्त
  तोल्लीगंज
  तोंवरघर
  तोहाना सबतहशींल
  तौसनी
  त्यामगोंदल
  त्रांक्किबार
  त्रावणकोर संस्थान
  त्रिकोणमिति
  त्रिंकोमाली
  त्रिचनापल्ली
  त्रिचूर
  त्रिदोष
  त्रिपपूर
  त्रिपुनित्तूर
  त्रिपुर
  त्रिंबकजी डेंगळे
  त्रिंबकराव मामा पेठे
  त्रिवेणी
  त्रिमूर्ति
  त्रिवेंद्रम्
  त्रिशंकु
  त्रिषष्टिशलाकापुरुषचरित्र
  त्र्यंबकराज
  त्र्यंबकेश्वर
  त्रेतायुग
  त्वक्स्फोट अगर शोभ
  त्वग्ररुक्षतारोग
  त्वग्रोग
  त्वंते तालुका
  त्वष्टा
 
  थइ भाषा
  थझी टाउनशिप
  थबीक्यीन
  थबीगन
  थबौंग
  थयेटचउंग
  थयेतम्यो
  थरवड्डी, जिल्हा
  थर व पारकर
  थराड
  थरोच
  थॅर्मापिली
  थल
  थान
  थानेसर
  थॉमसन, जेम्स
  थॉमसन, जोसेफ
  थॉयराइड पिंडवृद्धि रोग
  थॉयराइड-संकोचनरोग
  थॉर्नहिल, सर जेम्स
  थाळनेर
  थास्त्रा
  थिऑसफी
  थिओक्रीटस
  थिओडोरा
  थिओडोलाइट
  थिओफ्रेस्टस
  थिबा
  थिबिस
  थीअर्स
  थुल
  थुसिडाइडीझ
  थूरेट, गस्टेंव्ह अॅडॅल्फे
  थेऊर
  थेओग
  थेगोन
  थेर
  थेरॉइने डी मेरिकू जोसेफी
  थेल्स अथवा थेलीज
  थेस्पी
  थोंग्व
  थोंझ
  थोरात
  थोरी
  थोरो, हेन्री डेव्हिड
  थ्रेस- ईस्टर
 
  दओस
  दखिनपाट
  दखिनशाहाबाझपूर
  दंडक
  दण्डी
  दंतमंजन
  दंतवैद्यक
  दतिया
  दत्तक
  दत्ताजी त्रिमल
  दत्तांजी शिंदे
  दत्तात्रेय
  दत्तापूर धामणगांव
  दधीच
  दनकौर
  दनखर
  दनु
  दनुबियु
  दफ्ला
  दब्राजपूर
  दमखन
  दमण
  दमयंती
  दमरावनराज
  दमा
  दमास्कस
  दमो
  दयानंदसरस्वती
  दयाबहादुर
  दयाराम
  दयाळनाथ
  दरक-दरकदार
  दरकोटी
  दरंग जिल्हा
  दरद
  दरबान
  दरवडा
  दरवेशी
  दरायस
  दरेकसा जमिनदारी
  दर्जी
  दर्दी जानबाई
  दर्भंगा
  दर्भंगाराज
  दर्यांपूर
  दर्यांबाई
  दर्यांबाद
  दर्यांसारंग
  दर्श
  दर्शक
  दर्शनें
  दर्शपूर्णमास
  दर्सिं
  दलमऊ, तहशील
  दलमी
  दलहौसी
  दलाल
  दल्ली जमिनदारी
  दंव
  दवणा
  दवा जमीनदारी
  दश-दहा
  दशपुर
  दशरथ
  दशार्ण
  दशावतार
  दशाहार
  दसक्रोई
  दसपल्ला
  दसरा
  दसार
  दसूय
  दस्क
  दहाइत
  दहीकाला
  दहीहंडा
  दळवनपूरचे गंग राजे
  दळवाई
  दक्ष
  दक्षिण व्युत्पत्ति
  दक्षिण अमेरिका
  दक्षिण आफ्रिका
  दक्षिणध्रुवप्रदेश
  दक्षिणा
  दाऊदखानपन्नी
  दाऊदनगर
  दाऊल मलक
  दाटी, लोकवस्तीची
  दाढी, पांडुरंग केशव
  दांता
  दातागंज
  दाथा
  दादाजी कृष्णाजी लोहोकरे
  दादाभट
  दादाभाई, नवरोजी
  दादू
  दादू-दादूपंथी
  दादोजी कोंडदेव
  दाद्री, तहशील
  दान
  दानव
  दानियल मिर्झा
  दानिष्मंदखान
  दापोली
  दाभ
  दाभाडे
  दाभोळ
  दाम
  दामाजीपंत
  दामोदर
  दामोदर नदी
  दारा शिकोह
  दारु (मद्य)
  दारुगोळा
  दारेसलाम
  दारोड
  दार्जिलिंग
  दालचिनी
  दास
  दास, चित्तरंजन
  दासोपंत
  दाहिडा
  दाहीर
  दिगंबर जैन
  दिति
  दिदवाण
  दिनकर
  दिनाजपूर
  दिनानगर
  दिनापूर
  दिन्डोरी, तालुका
  दिन्डोरी
  दिन्दिगल
  दिपलो
  दिपालपूर
  दिबई
  दिब्रूगढ
  दिमापूर
  दिलपसंत
  दिलावरखान
  दिलीप
  दिलीपसिंग महाराजा
  दिलेरखान
  दिल्ली
  दिल्लीचीं हिंदु राजघराणीं
  दिल्ली मौन्ट
  दिवाकर
  दिवाकर पुरुषोत्तम चोरघोडे
  दिवाणाची इस्टेट
  दिवाळी
  दिविदिवि
  दिवोदास
  दिव्य
  दीपवंश
  दीपाबाई
  दीर
  दीव
  दीक्षित, चिंतामणी
  दीक्षित, शंकर बाळकृष्ण
  दुजान
  दुंदेखान रोहिला
  दुधदुभतें
  दुधपुर
  दुधमळा जमीनदारी
  दुध्रेज
  दुबळे
  दुमाला
  दुर्गादास राठोड
  दुर्गादेवी
  दुर्गाबाई
  दुर्गावंती राणी
  दुर्बिंण
  दुर्योधन
  दुर्लभराज
  दुर्वास
  दुल्हादेव
  दुष्काळ
  दुष्यंत
  दूर्वा
  दूषित रक्तावस्था
  दृष्ट
  दृष्टि
  देऊळगांव राजा
  देऊळघाट
  देगांवे
  देदयी
  देदर्द
  देदान
  देध्रोट
  देपाळपुर
  देबल
  देरडीजान बाइनि
  देरोमोहबत
  देलथ
  देलवाड
  देव
  देवक
  देवकी
  देवगड
  देवगड किल्ला
  देवगांव
  देवगिरी
  देवगिरीकर यादव
  देवगुप्त
  देवटेक
  देवदार
  देवदासी
  देवदुर्ग
  देवदूत
  देवधर
  देवनहळ्ळी, तालुका
  देबनाथ
  देवपाटण
  देवप्रयाग
  देवबंद
  देवभात
  देवमासा
  देवयान
  देवयानी
  देवरकोंडा
  देवराष्ट्र
  देवरिया
  देवरी-किशोरी जमीनदारी
  देवरुख
  देवरुखे
  देवल
  देवल, गोविंद बल्लाळ
  देवलस्मृति
  देवळिया
  देवळी
  देवळें
  देवांग
  देवानंपिय
  देवार
  देवास
  देवी
  देवीकोट
  देवीकोट्टई
  देवीदास
  देवीभागवत
  देवीहोसूर
  देश
  देशपांडे-देशमुख-देसाई
  देशपांडे, रामचंद्र भोजराव
  देशमुख, गोपाळ हरि
  देशाधिकारी
  देहांतशासन
  देहू
  दैत्य
  दैनहाट
  दैववाद
  दैवज्ञ
  दोआब
  दोडका
  दोड-बळ्ळापूर
  दोमरिया गंज
  दोर व दोरखंडें
  दोस्तअल्ली
  दोस्त मुहम्मदखान
  दौंड
  दौर
  दौलतराव शिंदे
  दौलताबाद
  दौलैश्वरम्
  द्रवगुरुत्वमापक
  द्रवीभवन
  द्रव्य
  द्राविड संस्कृति
  द्राक्षें
  द्रुग
  द्रुपद
  द्रोण
  द्रौपदी
  द्वंद्वयुद्ध
  द्वार
  द्वारका
  द्वारनान्ग तिरमेन
  द्वारसमुद्र
  द्वाराहाट
  द्वीषें
  द्वैत उर्फ द्वितत्त्ववाद
  द्वैतवन
  द्वयाश्रय काव्य
 
  धकचा किल्ला
  धक्का
  धडगांव किल्ला
  धडफळे
  धनककट
  धंधुका
  धनगर
  धनपाल
  धनवार
  धनसिरी
  धनाजी जाधव व त्यांचा वंश
  धनुर्मास
  धनुर्वात
  धनुर्वेद
  धन
  धनोरा
  धनोरा जमीनदारी
  धन्वंतरि
  धमणार
  धमतरी, तहशील
  धमन्या

 

 

   

यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान निर्मित महत्वपूर्ण संकेतस्थळे  

   

पुजासॉफ्ट, मुंबई द्वारा निर्मित
कॉपीराइट © २०१२ --- यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान, मुंबई - सर्व हक्क सुरक्षित .