प्रस्तावना खंड  

   

सूची खंड  

   
Banners
   

अक्षरानुक्रम (Alphabetical)

   

विभाग आठरावा : बडोदें ते मूर

बीजगणित - ह्या शास्त्राचा उगम केव्हां व कोणत्या राष्ट्रांत झाला हें सांगणें कठिण आहे. कारण बीजगणिताच्या जन्मास योग्य भूमिका म्हणजे निरनिराळया काळीं निरनिराळया राष्ट्रांत उत्पन्न होणारे गणनाचे प्रश्न व्यक्तिश: सोडविण्यापेक्षां 'तशा त-हेचे प्रश्न' सोडविण्याची एखादी 'रीत' शोधण्याकडे मानवी वृत्तीचा कल, अथवा 'सामान्य रीत्या' विचार करण्याची स्फूर्ति हीच होय. अर्थात इतिहासांत ज्या ज्या राष्ट्रांनां थोडीबहुत 'संस्कृति' होती असें नमूद केलें आहे त्या सर्वांच्या लेखांत बीजगणितासंबंधी थोडीबहुत माहिती उपलब्ध होते.

बीजगणित हें इतर शास्त्राप्रमाणें जिवंत व झपाटयानें वाढणारें शास्त्र असल्यानें त्याचा हल्लीचा विस्तार लक्षांत घेतां, 'बीजगणित' या शब्दाची व्याख्या सांगणें फार मुष्किलीचें झालें आहे. निरनिराळया त-हेची बीजगणितें हल्ली अस्तित्वांत असलेली लक्षांत घेतां, ''तर्कशास्त्राचे नियम गणन कार्यात आणून झालेली निष्पत्ति'' अशी बीजगणिताची व्याख्या देतां येईल. भास्कराचार्य (शके १०३६) देखील जवळजवळ अशीच व्याख्या देतात. ''बीजं मतिर्विविधवर्णसहायिनीहि'' (विविध वर्णांच्या साहाय्यानें केलेला विचार हेंच 'बीज').

निरनिराळया काळांत निरनिराळया राष्ट्रांच्या भावनेप्रमाणें निरनिराळया व्याख्या सांपडतात. अरब लोकांत इसवीसनाच्या ९ व्या शतकाच्या सुमारास ''अल जेब्र वल मुकाबला'' (समीकरणांतील पदांचें स्थलांतर) हा ग्रंथ लिहिला गेला. आपल्या वेदांगज्योतिषांत 'बीजगणित' या संज्ञेस योग्य इतके सामान्य नियम दिले नाहींत, तरी पण ''त्या काळीं पूर्णांक परिकर्मचतुष्टय (बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार व भागाकार) आणि त्रैराशिक यांची माहिती होती इतकेंच नाही तर भिन्न परिकर्मचतुष्टय (व्यवहारी अपूर्णाकांची बेरीज इत्यादि) याचें चांगलें ज्ञान होतें असें ऋकपाठ श्लोक ७, १७, २२ तसेंच १४, १६, १८, आणि यजुःपाठ श्लोक ३७ हे पाहिले असतां दिसून येईल. तसेंच अपवर्त (संक्षेप) करणें इत्यादि ज्या युक्त्या योजिल्या आहेत त्यांवरून अंकगणितावर चांगले परिश्रम झालेले दिसतात.'' (दीक्षितकृत ज्योतिःशास्त्राचा इतिहास पान ९६). त्यानंतर म्हणजे इसवी सनापूर्वी १७०० वर्षाच्या सुमाराचें ''-हाइंड पापीरस'' यांत बीजगणितांतील एकवर्णसमीकरणरीतीचा उल्लेख आला आहे. ''राशि (हौ) व त्याचा सप्तमांश मिळून १९'' हें उदाहरण वरील ग्रंथाचा कर्ता 'अहमीस' सदर रीतीनें सोडवितो वरील ग्रंथांत रीतीचा थोडाबहुत फेर आहे. ह्या ईजिप्ती ग्रंथकाराचें बीजगणिताच्या संकलनशक्तीकडे लक्ष आहे. पण ईजिप्त राष्ट्राच्या विशेष व्यवहारप्रवणवृत्तीमुळें सामान्य सिध्दांत ईजिप्तच्या ग्रंथांमध्यें क्वचित आढळतात. यानंतर बीजगणिताचा उल्लेख ग्रीक ग्रंथांतून सांपडतो. विशेषतः डायोफंटाइन (कुट्टक प्रश्नाच्या जातीचे) प्रश्न प्रसिध्द आहेत. भारतीयांनी (ग्रंथदृष्टया) बीजगणित ग्रीक लोकांपासून घेतलें असें मानण्याची एकेकाळीं पध्दति होती पण आतां नाही.


आर्य संस्कृतींत बीजगणिताचा उल्लेख पाटणा-वासी आर्यभटाच्या प्रथम (शके ३९८) 'आर्यभटीयम' या ग्रंथाच्या तिस-या भागांत सांपडतो असें इंग्रजी ज्ञानकोशांत म्हटलें आहे, पण या बाबतींत कोशकारांचा घोटाळा झालेला दिसतो. त्यांनी दिलेली माहिती द्वितीय आर्यभटासंबंधी खरी आहे. कै. वा. शंकर बाळकृष्ण दीक्षित यांच्या मतें ब्रह्मगुप्तापूर्वीचे (गुजराथ-श ५२०) बीजगणिताचा उल्लेख असलेले ग्रंथ उपलब्ध नाहींत सबब पहिला बीजगणितकार ब्रह्मगुप्त होय (पृ. २२७ ज्योतिशास्त्राचा इतिहास). यानंतरच्या बीजगणितकारांच्या नांवांचा उल्लेख भास्कराचार्यांच्या बीजगणितांत खालील श्लोकांत सांपडतो.

''ब्रह्माव्हय-श्रीधर-पद्मनाभ-बीजानि यस्मादति विस्तृतानि ।
आदाय तत्सारमकारि नूनं सद्युक्ति युक्तं लघु शिष्यतुष्टयै॥''

श्रीधराचा 'गणितसार' म्हणून ग्रंथ कोलब्रुकला मिळाला होता, त्यावरून पद्मनाभ श्रीधरापूर्वी झाला असें कोलब्रुकचें म्हणणें आहे. त्यावरून दोघेहि शके ७७५ हून अर्वाचीन दिसत नाहींत. श्रीधराचार्याचा वर्गसमीकरणावरील श्लोक प्रसिध्द आहे, तो असा -

चतुराहतवर्गसमै रूपैः पक्षद्वयं गुणयेत ।
अव्यक्तवर्गरूपौर्युक्तौ पक्षौ ततो मूलं ॥

हल्लीच्या बीजपध्दतींतील अक्ष२ + बक्ष = क हें समीकरण घेतल्यास वरील श्लोकाचा अर्थ असा - वर्गाच्या (अव्यक्त) रूपांच्या (गुणकाच्या चौपटीनें दोन्ही पक्षांस गुणावें. पुढें अव्यक्ताच्या रूपांचा वर्ग दोन्ही पक्षांत मिळवून वर्गमूळ काढावें. बीजपरिभाषेनें -
अक्ष + बक्ष = क मूळसमीकरण
 ४ अ क्ष + ४ अ ब क्ष = ४ अक प्रथम संस्कार
४ अ क्ष + ४ अब क्ष + ब = ४ अक + ब द्वितीय संस्कार
वर्गमूळ काढूनः २ अक्ष + ब =-+ ४ अक + ब २

हें एकवर्ण (साधें)समीकरण झालें.हें सोडविण्याची रीत आमच्या बीजगणितकारांनीं दिली आहे. मूळ चिन्हांच्या पूर्वी आम्ही  हीं दोन चिन्हें घातलीं आहेत ती अर्वाचीन पध्दतीस अनुसरून असतील असें कित्येकांस वाटेल पण तसें नाही. भास्कराचार्यानी मध्यमाहरण प्रकरणांत (वर्गसमीकरणाच्या) स्पष्ट सांगितलें आहे कीं,
अव्यक्तमूर्लणगुरूपतोऽल्पं व्यक्तस्य पक्षस्य पदं यदिस्यात।
ॠणं धनं तच्च विधाय साध्य-मव्यक्तमानं द्विविधं क्वचित्स्यात ॥

''अव्यक्त पक्षांतील ॠण रूपांपेक्षां व्यक्तपक्षाचे वर्गमूळ लहान असेल तर वर्गमूळ धनर्ण करून अव्यक्तमान साधावें. अशा रीतीनें अव्यक्तमानें कोठें कोठें दोन येतील.'' नेहमी दोन येतीलच असें दिलें नाही. वरील श्लोकांत ॠण रूपांचा उल्लेख व वर्गमूळ सदररूपांपेक्षां लहान या दोन अटींवरून अव्यक्तमान ॠण तसेंच कल्पनामय असतांना (गणित, अगर पदार्थविज्ञान दृष्टया) अर्थ असूं शकेल ही कल्पना भास्कराचार्यानां आली नव्हतीसें दिसतें.

अर्वाचीन बीजगणितापैकीं लाग्रथमें, समीकरणसिध्दांत (थिअरी ऑफ इक्वेशन) वगैरे अर्वाचीन परिणति सोडली तर बाकीचा बराचसा महत्त्वाचा भाग भास्कराचार्यकृत सिध्दांतशिरोमणीच्या पहिल्या दोन अध्यायांत येऊन गेला आहे. आमच्या बीजगणिताचा विशेष म्हणजे द्विवर्ण (प्रथम घात) समीकरणें-कुट्टक सोडवून पूर्णांक उत्तरें काढण्याचा यशस्वी प्रयत्न व अधिक श्लाघ्यतर म्हणजे द्विवर्णसमीकरणें (यांत पेलियन समीकरणांचा समावेश होतो) सोडवून अकरणीगत उत्तरें काढण्याच्या रीती, वर्गप्रकृति, चक्रवाल, अनेक वर्णमध्यमाहरण व भावित या प्रकरणांतून दिलेल्या होत. गेल्या शतकापूर्वी यूरोपस्थ गणितज्ञांनां सदर प्रश्न सोडवितां येत नसत. गेल्या शतकांत लांग्राज या फ्रेंच गणकाने ह्या रीती स्वतंत्र रीत्या उपयोगांत आणिल्या. यावरून हिंदुस्थानांतील ब्राह्मणवर्गाने परप्रकाशित होऊन शास्त्रपरंपरा चालविली की काय ह्या प्रश्नावर चांगला उजेड पडतो. वरील द्विवर्णसमीकरणे म्हणजे निरनिराळया शंकुवक्राची समीकरणे होतात. हे गणितकोविदांच्या सहज ध्यानी येणार आहे.
ह्या रीतींवर बुध्दिवर्चस्व खर्चण्यास आमच्या गणकभास्करास काय कारण झाले असावे याचा विचार करता ग्रहाच्या स्पष्ट स्थिती वर्तविण्यासाठी कदाचित असेल असे वाटते. कारण प्रथम प्रश्न उत्पन्न होतो व मागून रीती शोधिल्या जातात.

टोबिट बिन कोरा (८३६-९०१) ह्या अरब विद्वानाच्या ग्रंथात वर्गसमीकरणे व क्ष२न + अक्ष न + ब = ० असली समीकरणे सोडवून दाखविली आहेत. एकंदरीत ग्रंथावर छाया ग्रीक संस्कृतीची दिसते. ''दिलेले गुणोत्तर असणारे गोलाचे सरळ पातळीने दोन भाग करण्याचा '' आर्किर्मिडीजचा प्रश्न अलमहानीने घनसमीकरणाच्या स्वरूपांत मांडला व अबू गफर अल् हझीनने प्रथम सोडविला. अबूलगुडने वर्तृळाच्या आंत किंवा बाहेर काढलेल्या सप्तकोनाची बाजू समीकरणाच्या साहाय्याने शोधून काढिली.

अबुल बेफाने (स.९४०-९९८) क्ष = अ, क्ष + अक्ष = ब ही समीकरणे सोडविली. भास्कराचार्यांनी
१२ क्ष + क्ष = ६क्ष + ३५ आणि क्ष – २ (२०० क्ष क्ष) = १००००-१ ही समीरकणे आपल्या बीजांत दिली आहेत. इटालियन गणिती टार्टाग्लिया याने १५३५ साली घनसमीकरण सोडविण्याची सामान्य रीत काढली व त्याचा शिष्य कार्डन याने ती १५४५ साली आपल्या 'आर्समॅग्ना' या ग्रंथांत प्रसिध्द केली. ही 'कार्डनची रीत' या नावाने सांप्रत प्रसिध्द आहे. स्टायफेलने जर्मनी (+), (-), ही चिन्हे सुरू केली. आपल्या बीजगणितात
३ + ४ = ७ हे रु ३ रू ४ योगे जातं रू ७ असे लिहीत.
४ - ३ = १ हे रु ३ रू ४ योगे जातं रू १ असे लिहीत.
२या२ - ३या + ३ हे या व २ या ३ रू ३ '' ''
५ # ४ = २० हे गुण्य रू ५ । गुणकः रू ४ ।
गुणनाज्जांत रू २० । '' ''
हे क२१ असे लिहित. भिन्न अव्यक्ताच्या गुणाकारास भावित म्हणतात. या # का हे याकाभा असे लिहीत. या४ हे या बव (वर्ग वर्ग) असे लिहित.
एकंदरीत आपल्या चिन्हपध्दतीपेक्षा अर्वाचीन पध्दति बरीच सोयीची दिसते.

१५५२साली = हे चिन्ह प्रचारांत आले. १५८५ साली अव्यक्त वर्तुळ चिन्हाने दाखवूं लागले. आपल्याकडे अव्यक्ताबद्दल खालील प्रकार धरीत असत.
यावत्तावत् कालको नीलकोऽन्यो वर्णः पीतोलोहितश्वैतदाद्या॥
अव्यक्तनां कल्पिता मानसंज्ञा तत्संख्यानं कर्तुमाचार्यवर्यैः॥

यामुळेच अव्यक्त व व्यक्त या दोन शब्दांशी समानार्थ म्हणून 'वर्ग' व 'रुप' हे दोन शब्द आपल्या बीजगणितातून वापरले जातात. १६३१ सालच्या सुमारास अधिकतर > व लघुतर < ही चिन्हे प्रचांरात आली.

एतावत्कालपावेतो भूमिती आणि बीज यांची वाढ निजमार्गांनी चालू होती. पण १६३७ साली डेकार्ट या तत्त्ववेत्त्याने गणितवृक्षाच्या या दोन्ही स्कंधाची अपूर्व सांगड घालून दिली. त्यायोगे बीजभूमिती अस्तित्वांत येऊन भूमितीच्या कित्येक डोकेफोड प्रश्नावर लख्ख प्रकाश पडला. व बीजराशीचे सातत्य ज्ञात झाले. प्राचीन काळचे तीन प्रश्न फत्तच् कंपास व पट्टी यांनी करता येथे अशक्य आहे हे सिध्द झाले, हे तीन प्रश्न असेः (१) दिलेला कोन तिभागणे, (२) दिलेल्या घनाच्या दुप्पटीएवढा घन तयार करणे व (३) दिलेल्या वर्तुळाएवढया क्षेत्राचा वर्तुळ चौरस तयार करणे.

अर्वाचीन कालांत गणितकोविदांनी भिन्न नियमांवर बीजगणिते रचिली आहेत. ह्या दिशेने जार्ज पीकॉकपासून अभ्यास सुरू झाला. डी.एफ. ग्रेगरी, मार्टिन ओहम (जर्मनी-१८२२) व आगस्टम डी मार्गन यांनी तर्कचक्राचा गणितशास्त्रात उपयोग करून फारच उत्तम कामगिरी केली आहे.

काल्पनिक राशीचा भूमितीदृष्टया अर्थ झाल्याने वर्णसाहाय्यभूत बीजाच्या परिणतीस फार मदत झाली. या बाबतीत कुन्ह (सन १७५०-१७५१). आर्गंड, गॉस्, हॅमिल्टन, हर्मन, ग्रासमन, बेंजामिन पिअर्स व त्याचा मुलगा चार्लस पिअर्स या मंडळीचे प्रयत्न नमूद करण्यासारखे आहेत. इंग्लंडमध्ये कॅले व सिल्व्हेस्टर यांनी व्यूहसिध्दांताचे (थिअरी ऑफ मेट्रिसेस) विशदीकरण केले.

भास्कराचार्यानंतर आपल्याकडेहि दैदीप्यमान गणक परंपरा झाली. सदर परंपरेत गणेश दैवज्ञ, पंडित बापूदेव शास्त्री, सुधाकर द्विवेदी, कै.केरोपंतनाना छत्रे, मुखोपाध्यास, डॉक्टर गणेश प्रसाद, नामदार सीनिअर रँग्लर परांजपे, लो.टिळक, प्रो. आर.एन्. आपटे, प्रो.झिय्याउद्दीन यांची नावे उल्लेखिणे अस्थानी होणार नाही. नुकताच मद्रासचा तेजस्वी तारा श्रीनिवास रामानुजम् हा गणितशास्त्राच्या क्षितिजावर झळकत होता. डॉक्टर गणेशप्रसादाच्या मार्गदर्शित्वाखाली तरुण पिढीच्या हातून बरेच नवीन शोध गणितशास्त्रांत होत आहेत.

बी ज ग णि तां ती ल मू ल भू त क ल्प ना. - ह्या सामन्यत्वेकरून अशा मांडता येतीलः -(१) अंकगणित हा पाया धरून बीजाचे स्वरूप, (२) धनसंख्यात्मक बीज, (३) ॠणसंख्याविचारासह बीज, (४) आलेख उर्फ चित्रित बीजाचे स्वरूप (४) बीजराशीचे सातत्य.
(१) चिन्हांनी दाखविलेल्या क्रियांचा क्रम - हा सामान्यतः डावीकडून उजवीकडे असतो. कारण वाक्यांचा पसारा कमी करण्यासाठी चिन्हे असतात व वाक्ये डावीकडून लिहिली जातात. ह्याला अपवाद # गुणनचिन्ह जसे ५ # २ गज ह्याचा अर्थ २ गजांची ५ पट. ५ पासून क्रियेला आरंभ केल्यास २ गज ह्या वस्तूंनी कसे गुणता येणार? म्हणून वरील अर्थ करणे भाग आहे. आता वरील प्रश्नाचे उत्तर १० गज हे आहे आणि वरील प्रश्न ५ # २ # १ गज असा मांडून ५ पासून क्रियेस सुरवात करूनहि उत्तर १० गजच येते. फले समान आहेत म्हणून रीती व त्यांचे आधार म्हणजे उदाहरणाचे अर्थ एकच आहेत हे म्हणणे तर्कास धरून नाही. सबब गुणनचिन्हाचा वरील अर्थ ध्यानांत ठेवणे महत्त्वाचे आहे.
चिन्हांनी भिन्न क्रिया सांगावयाच्या असतां कंसांचा उपयोग करावा. कंसगत राशी एकच समजून त्या क्रिया अगोदर केल्या जातात. योग्य ठिकाणी कंसांचा उपयोग न करता ''अगोदर गुणन-भाजन चिन्हांच्या क्रिया व मग इतर क्रिया'' असले कामचलाऊ नियम वापरणे भाग पडावे हा वडील पिढीचा दुराग्रह आहे '' '' चे ७+५ याचा अर्थ +५ असाच का घ्यावा व ४ ½+३ २/३ चे (७ + ५) असा कां घेऊ नये हे सकारण कसे सांगता येईल? कंसांचा उपयोग हल्लीपेक्षा अधिक प्रमाणावर होईल तर समजूत अधिक सुलभ आणि स्पष्ट होईल.

अस्पष्ट समीकरणे – समीकरणाच्या स्पष्ट स्वरूपांत न दाखवितां कित्येक वेऴा समीकरण असू शकते. या सदराखाली येणा-या म्हणजे अंकगणितांतील विपरीत क्रिया उर्फ ''दिलेले उत्तर येण्यास दिलेल्या क्रिया कशावर करावी? अगर दिलेले उत्तर दिलेल्या राशीपासून येण्यास सांगितलेल्या जातीची कोणती क्रिया करावी?'' हे प्रश्न होत असे. किती चोक २०? किंवा ५ च्या कितीपट २०? ही समीकरणे होत.

कारण 'किती' चार वेळ = २० किती = वरील दोन्ही प्रश्नांची उत्तरे एकाच रीतीने म्हणजे भागाकाराने देता येतात, पण नेहमीच असे होईल असा नियम नाही, जसे १२५ कशाचा घन ? ५५ हा ५ चा कितवा घात? पहिल्या प्रश्नाचे उत्तर घनमूळाने निघते व दुस-याचे लाग्रथमाने (घातांकगणिताने) येते. ५५ = ५क्ष क्ष = घा ५५.

यांत हे लक्षांत ठेवण्याजोगे आहे की, उत्तर उर्फ अव्यक्त मान काढतांना विशिष्ट कृति करून समीकरणाचे स्वरूप बदलावे लागत नाही.

बीजाचे आधारभूत सिध्दांतः - ''कोणत्याहि क्रमाने दिलेल्या रकमांची बेरीज करा'' हा नियम अंकगणितांत बेरजेचा अगर गुणाकाराचा ताळा पाहण्याकरिता दिला आहे. वास्तविक हा एक बीजविचारांतील आधारभूत सिध्दांत आहे. याचे नाव परिवर्तनसिध्दांत आणखी असेच दोन आाधारभूतक्रियासिध्दांत आहेत. त्यांची नावे संयोग सिध्दांत व विभागसिध्दांत.

संयोगसिध्दांतः - बेरीज किंवा गुणाकार करतांना वाटेल त्या क्रमाने राशीचा संयोग करून क्रिया केल्यास उत्तर एकच येते.
जसे -
+३ रु + ५ रु - ४ रु = + (३ रु + ५ रु) – ४ रु = ४ रु
अथवा + ३रु + ५रु - ४ रु = ३रु + (५रु. + ४रु) = ४ रु
अथवा ३रु + ५रु ४रु = ३रु - ४रु + ५रु (परिवर्त)
= + (३रु.४रु) ५रु
= -१रु + ५रु = ४रु = +५रु - १रु
ह्या शेवटच्या संयोगासारखे आणखी कांही संयोग घेऊन प्रमेय काढता येईल की,'' दोन विषम क्रियांच्या संगमाचा परिणाम ॠण (व्यस्त) क्रिया'' व इतर उदाहरणांवरून दाखविता येईल की, ''दोन समक्रियांच्या संगमाचा परिणाम धन (प्रकारची) क्रिया'' हीच प्रमेये गुणाकार-भागाकाराच्या बाबतीत खालील स्वरूपांत दिसून येतात.
# २४ # १ = #(२४ # १) (३ ४) = ८
अथवा # २४ # १ = #२४ # (१ ३) ( ४)
= २४ # ( ३) # ४ = ८ = २४ ३ # ४
वगैरे,

विभागसिध्दांत - गुण्यांतील अथवा भाज्यांतील प्रत्येक पदास गुणकाने अगर भाजकाने वेगळी क्रिया करून पुढे सोडविल्यास उत्तर एकच येते. उदा. -

संख्यालेखनः - अंकगणितांतील संख्यालेखनपध्दतीत स्थान उर्फ एकं, दहं इत्यादी सामान्य कल्पना वापरल्या आहेत जसेः ५अ + ४ व अंकगणितांत ५ दहं + ४ एक

पुढे या सामान्य कल्पना १० ह्या गुणोत्तराचे निगडित करून लेखनपध्दतीत फार सौकर्य आणिले आहे ते इतके की, त्याचे बीजपध्दतीवर परावर्तन होऊन जेथे निरनिराऴया वर्णांतील परस्पर संबंध स्पष्ट कळण्याजोगा असतो तेथे अव्यक्ताक्षरे न लिहिता फक्त त्यांच्या गुणकाच्या साहाय्याने गणना करतात याला गुणाधारकलन असे म्हणतात.
जसें -
क्ष४ + ३क्ष२ + २ हे असे सोडवितात १+ ० + ३ + ० + २
# (क्ष + १) १ + १
१ + ० + ३ + ० + २
१ + ० + ३ + ० + २
१ + १ + ३ + ३ + २ + २
क्ष५ + क्ष४ + ३क्ष३ + ३क्ष२ + २क्ष + २ हे उत्तर.

अंकगणितांत ए, द, श, इत्यादि अक्षरे अंकस्थानी घालण्याचा परिपाठ ठेवला तर गुणाकार करतांना पोटगुणाकार एक स्थळ सोडून डावीकडे कां मांडावे लागतात हे सहज समजणार आहे. विभाज्य व अविभाज्य संख्या या संबंधी बहुतेक सर्व खुलासा व दृढभाजकाच्या मूलभूत सिध्दंतांचे विवेचन बीजग्रंथांतून आहेच (ओक-बीज पाने. १९१-१९३ पहा) येथे एक दोन सिध्दांतांचे दिग्दर्शक फक्त आम्ही करणार आहो.

सिध्दांत १ ला - दोन अ आणि ब या धन पूर्णांकाचा दृढभाजक काढतांना प्रत्येक भागाकाराच्या वेळी उरणारी बाकी (म अन ब) या स्वरूपांत दाखविता येते. येथे 'म' व 'न' या व्यक्तराशी आहेत. वरचे चिन्ह १ली, ३री ५वी वगैरे विषम क्रमाच्या वाक्यासंबंधी योजावे व खालचें समक्रमाच्या वाक्यासंबंधी वापरावे.
पहिली बाकी क = + (अ – पब)
दुसरी बाकी ख ­= ब-रक
=ब-र(अ-पब) पहिल्या बाकीबद्दल तिची किंमत घालून
­= रअ + (रप + १) ब =-(रअ – (रप + १) ब)
तिसरी बाकी ग ­= क - लख
­ = अ.पब + ल (रअ. (रप + १) ब)
­ = (लर + १) अ-(पर + १ – प) ब, इ
हे उघड आहे की, हा सिध्दंeत कोणत्याहि लागोपाठ अशा दोन वाक्यासंबंधी खरा असेल तर पुढील वाक्यासंबंधीहि खरा असेल. वरील विवेचनावरून तो पहिल्या तीन वाक्यांसंबंधी खरा आहे असे दिसून येईल. तो पुढेहि खरा आहे. पुढे सतत भिन्न प्रकरणी 'म' व 'न' यांच्या भिन्न किंमती काढण्याची सोपी रीत मिळेल . भास्कराचार्यांनींहि वल्लीची रीत दिली.

प्रमेय १ लेः – ज्याअर्थी दृ.भा. ही शेवटचींच्या आधीची (उपांत्य) बाकी होय त्या अर्थी.

द.भा. = + (मअ – नब) हे स्वरूप मांडता येईल.
प्रमेय २ रे – अ आणि ब ह्या संख्या विगुण असल्यास दृ.भा. = १.
म्हणजे यावेळी 'म' व 'न' यांच्या अशा किंमती काढणे शक्य आहे की, म अ – न ब = १, + अशा वेळी म व न हेहि विगुण असतील, एरवी त्याचा साधारण विभाजक हा उजव्या हातच्या एकाचा अवयव व्हावा लागेल.
अविभाज्य संख्या- अविभाज्य संख्या शोधतांना खालील नियमांचा बराच उपयोग होईल.
(1) अविभाज्य संख्या विषम पाहिजे कारण समसंख्येस दोहोंनी भाग जातो.
(2) विषम संख्यांपैकी एकं स्थानी ५ असणा-या संख्येस ५ नी भाग जातो.
(3) तीन, अकरा वगैरे भाजकांनी भाग जातो की नाही हे पाहण्यास नियम दिले आहेत. असे क्रमाने अविभाज्य भाजक पडताळून पहावे.
(4) पडताळण्यासाठी घेतलेला महत्तम भाजक परीक्ष्य संख्येच्या वर्णमूळांपेक्षा मोठा नसावा. कारण परीक्ष्य संख्येचे अवयव खालील त-हांनी पाडता येतील-
परीक्ष्य संख्या = वर्गमूळ # वर्गमूळ पहिल्या त-हेत दोन्ही
व इतर त-हा अवयव सारखे आहेत.
इतर कोणत्याहि त-हेंत एक अवयव लहान व एक अवयव मोठा (वर्गमूळापेक्षा) असणार. लहान अवयव पडताळून झाले म्हणजे मोठे पडताळण्याची जरूर उरणार नाही. अविभाज्य संख्या व संख्याविषयक आणखी मनोरंजक सिध्दांत यांचा उल्लेख 'अंकसिध्दांता'च्या विवेचनांत येईल.

आवर्तदशांश - ह्याला आवर्तरुप दिले तर ७७७७... असे होते, म्हणून आपण = लिहितो. पण अमळ विचार केला तर असे लिहिण्यांतील वैगुण्य ध्यानांत येईल. समत्व चिन्हाच्या डाव्या बाजूस जी कल्पना आहे ती व्यक्तान्त आहे व उजव्या हातची कल्पना निरन्त आहे. या दोहोंत एकान्तिक साम्य (= हे चिन्ह एकान्तिक साम्याचे आहे) नाही, तेव्हा सदर गणितवाक्य ७७७७... असे लिहिणे बरे (७ ची मर्यादा असे वाचावे). मात्र हे ध्यानात ठेविले पाहिजे की, दोन्ही कल्पनांत फेर आहे, पण तो अत्यंत (कल्पनातीत) सूक्ष्म आहे. म्हणजे जवळ जवळ शून्य आहे. हा भाव भूमितीशास्त्रात 'बिंदु' शब्दाने व्यक्त होतो. तोच शब्द आपण येथे अत्यंत सूक्ष्म (इन्फिनिटोसिमल) ह्या अर्थी वापरूं. कोणी कोणी शून्य शब्दहि वापरतात.

शून्य - ह्यावरून शून्य शब्दाने दोन भाव व्यक्त होतात. एक अत्यंतभाव शून्य व बिंदूरूप शून्य. शून्य षड्विधांत जेव्हा आपण ० ने गुणणे अगर भागणे याविषयी बोलतो तेव्हा शून्याची कल्पना बिंदुरूप असते कारण अभावाने भागणे शक्य नाही. बेरीज-वजाबाकीच्या वेळीहि वाटल्यास बिंदुरूप कल्पना धरावी. बिंदुरूप कल्पनेची अत्यंत सूक्ष्म संख्या एकच निश्चित नसल्याने याची किंमत सांगता येत नाही, कारण अंशच्छेदाच्या किंमती निश्चित नाहीत. एरवी = २५ पण † = २५ असे म्हणता यावयाचे नाही हेच नारायणबीजांत एका सुदंर दृष्टांताने सांगितले आहे.
''शून्याभासवशात् खतामुपगतो राशि पुनः खोध्दृतोऽ।
प्यावृत्ति पुनरवे तन्मयतया न प्राक्तनी गच्छति ॥
योगाभ्यासवशादनन्यममलं चिद्रूपमानंददं।
प्राध्य ब्रह्मपदं न संसृतिपंथ योगी गरीयानिव ॥
(ओक-बीज पान, ५१)
पण वरील उदाहरणांत गुणक बिंदु व भाजक बिंदु हे एकच सूक्ष्म संख्या दाखवितात असे अन्य प्रमाणांनी निश्चित असेल तर
= २५
असे होईल. बिंदूरूप शून्य वाटल्यास व ह्या चिन्हाने (बिंदु शब्दांतील ब चे पो ब् होय) लिहित जावे. व अभावशून्य ० असे लिहावे. भास्कराचार्यांनी 'खहर' राशीसंबंधी दिलेला दृष्टांतहि (''अस्मिन्विकारः खहरे न राशावपि प्रविष्टेष्वपि निसृतंषु। बहुष्वपिस्यालयसृष्टिकाले ऽ नन्तेऽच्युते भूतगणेषु यद्वत ॥'' (ओक-बीज पान १३४)) फार मनोहर आहे.

प्रमाणबध्द विकृतिः- विकृति म्हणजे एक वर्ण अगर वर्णविस्तार दुस-या स्वतंत्र चलनशील वर्णावर (इंडिपेडंट व्हेरिएबल = चालक) अवलंबून असून चालकाच्या फेरफाराबरोबर कांही नियमानुसार फिरणे.

ह्या विकृतीच्या जातीपैकी अत्यंत साधी म्हणजे प्रमाणबध्द विकृति होय. हीत चलवर्णाचे फेर चालक वर्णाच्या फेरांशी प्रमाणात असतात म्हणजे
चल वर्णाच्या दोन (विकृत) स्थितीचे गुणोत्तर = चालक वर्णाच्या तज्जनक स्थितीचे गुणोत्तर.
(कारण प्रमाण म्हणजे ः – द्वय गुणोत्तर – साम्य । (इक्कॉलिटी) प्रमाणची होय रम्य॥)
उदाहरण ः १ माणसाच्या श्रमाला ५ रुपये मोल येते तर
७ '' ३५ '' ''
येथे श्रमांचे गुणोत्तर =१/७ =
असे म्हणता येईल की ''मोल श्रमांनी प्रमाण-विकृत होते.'' त्रैराशिके पंचराशिके, बहुराशिके ही सर्व प्रमाणबध्द विकृतींचीच उदाहरणे होत. पंचराशिकांदिकांत चल.वर्ण (तिस-या ठिकाणी मांडली जाणारी राशि) एकाहून अधिक चालकांवर अवलंबून असतो इतकेंच. ह्यांच्या साहाय्याने प्रमाणबध्द विकृतीचे सारे सिध्दांत दाखवून देता येतील. प्रमाणबध्द विकृति हा त्रैराशिकादिकांचा सामान्य विचार होय.

इष्टराशिके (एकेरी) - यांत सुध्दा प्रमाणबध्द विकृतीच आहे. उदाहरणांत 'क्ष' परिमाणांवर कांही सांगितलेली कृति करुन 'म' हे फल येते असे दिलेले असते तर क्ष ची किंमत काय? सदर कृति अशा स्वरूपाची असते की दिलेले 'म' फल व क्ष यांचा संबंध म = न क्ष या समीकरणाने दाखविता येईल. रीतः - क्ष ही संख्या इष्ट धरा व सांगितलेली कृति करून मं फल येईल. अर्थात् यांचा संबंध म्हणजे मं = न क्षं
† =
या समीकरणांत म, मं, क्षं ही पदे ज्ञात आहेत म्हणून क्ष ची किंमत त्रैराशिकाने निघेल.

दुहेरी इष्टराशिके - या वेळी उदाहरणांत सांगितलेली कृति अशा स्वरूपाची असते की म = न क्ष + ब हे समीकरण उत्पन्न व्हावे. दोन इष्टें धरून म = नक्ष + ब
आणि म = नक्ष + ब
म – म = नक्षं - नक्ष
म – म = नक्ष - नक्ष
(म – म) क्ष = न क्ष क्ष नक्ष क्ष
(म म) क्ष = नक्ष क्ष नक्ष क्ष
- - +
(म म)क्ष (म म क्ष) = नक्ष(न क्ष क्षन)
= क्ष(म म)
क्ष = (म म ) क्ष - (म म) क्ष
(म म)
अथवा उत्तर = दत्त-प्रथम फलान्तर # दुसरे इष्ट - दत्त द्वितीयांतर # प्र.इ.
प्रथमद्वितीय फलान्तर

येथपर्यंत अंकगणितात्मक बीजाचा विचार झाला. पुढील भाग घनसंख्यात्मक बीज, अंकगणितात्मक बीज याचा पोटविभाग म्हणून मानतां येईल. याचे विशेष स्वरूप करणी, अंकपाश, श्रेढिविचार यांतून दिसून येते.

करणीः - आतापर्यंत संख्या या विषयाच्या कल्पनेंत कसकशी परिणति होत आली हे पाहिले तर आपणास खालील क्रम दिसून येतो.
(१) पूर्णांकात्मक संख्या (२) अपूर्णांत्मक संख्या (व्यक्तान्त) व (३) निरन्त अपूर्णांक (आवर्त दशांश). एवंच महत्त्व मोजण्याकरिता जसजशी जरूरी पडली तशी तशी ही परिणती झाली. जसे ः खालील रेषेत १, २, ३ ह्या कल्पना त्या त्या बिंदूंच्या स्थितीवरून दर्शित होतात.  , २१-३, ७-२ह्याकल्पनाहि ७ बिंदूंच्या विशिष्ट स्थितीवरून  प्रतीत होतात. ७ ही निरन्त कल्पनाहि बिंदूची स्थितीच दाखविते. वरील आकृतीवरून हे सहज दिसून येईल की, पूर्णांक, अपूर्णांक (व्यक्तान्त), आवर्त दशांश अपूर्णांक एवढयानेच रेषेतले सर्व बिंदू संपले असे नाही तर इतर बिंदू दाखविण्यास आणखी देखील काही निरन्ते असली पाहिजेत यांपैकी 'विमूल' संख्या या सदरांत येऊ शकतील जसे. इत्यादी अंशानी युक्त उदाहरणे कशी सोडवावी हे सामान्यतः घातप्रकाशक विचाराने समजेल.

आपल्या बीजकारांनी विशेषत वर्गमूलगत (करणी) संख्यांचा विचार केला आहे तिकडे वऴू. यांत युतिसूत्र, विश्लेषसूत्र, भागाकारसूत्र, व वर्गमूलसूत्रे ही मुख्य आहेत. युतिसूत्रांत अशी उदाहरणे सोडवून उत्तर कसें काढावे हे सांगितले आहे. हल्ली आपण वरील उदाहरण असे सोडवूं.
 =८+२= ४*२+२ 

म्हणजे निरनिराळया पदांचा आधार जर एकच करणी असेल तर त्यांची युति शक्य आहे. एरवी नाही. भास्करार्चांची पहिली रीत क्ष+य= यांत समूल असेल तरच युति शक्य आहे. एरवी पृथक स्थिति. म्हणजे असेंच मांडणे बरोबर असे सूत्रांत सांगितले आहे.

दुसरी रीत –
=  यांत हे समूल पाहिजे एरवी पृथक स्थिती. हल्लीची रीति भास्कराचार्यांना अवगत नव्हती असे नाही हे त्यांच्या विश्लेषसूत्रावरून दिसून येईल.

विश्लेष सूत्र - एखाद्या करणीचे भाग करणे झाल्यास एखाद्या वर्गसंख्येने तिला भागावे. भाजकमूलाचे यथेप्सित खंड करावे. प्रत्येक खंड भागाकारात्मक करणीचा गुणक करावा. (खंड वर्गमूलांत नेणे असल्यास त्याचा वर्ग होईल) जसे . –

भागकारसूत्र - भागाकारासाठी दिलेल्या भाज्यभाजकांनां, वाटेल त्या करणीचा धनर्णता-व्यत्यय केलेल्या (चिन्ह बदलेल्या) छेदाने गुणावे व असेंच वारंवार अखेर एक करणी राही तोवर करावे. व तिने भाज्यगत करण्यांना भागावे. ह्या करण्या योगज (युतिसूत्राचा उपयोग झालेल्या) असल्या तर विश्लेषसूत्राने त्यांचे पृच्छकाच्या मर्जीप्रमाणे भाग करावे जसे -

वर्गमूलसूत्रः- २ करणीपदयुक्त राशीचा वर्ग केल्यास वर्गांत १ करणीपद येते. 

३ '' '' '' '' ३
क पदे येतात ४ '' '' '' ६
क पदे येतात. सामान्यतः वर्गराशीत 'संकलित मित करणीपदे असतात. म्हणजे मूळ राशीत 'न' करणीपदे असल्यास वर्गराशीत  करणी पदे येतील (संकलित क्रमिक अंकाची बेरीज. जसे -
१ = १, १ + २ = ३, + १ + २ + ३ = ६, .... इत्यादी) इतकीच पदे का येतील हे खालील रचनेवरून लवकर लक्षांत येईल.


ृ.... इत्यादी करण्या गुणाकार करतांना पहिल्या ओळीत (न – १) करण्या व एक पूर्णांक
दुस-या ओळीत (न – १) करण्या आणखी भिन्न करण्या
तिस-या ओळीत (न – ३) '' ''
... ... ... ...
... ... ... ...
शेवटच्या ('न –१') या ओळीत १ ,, ,, ,,
एकदंर (न – १) अंकांचे संकलित = 
वर्गराशीतील पूर्णांकाच्या (रूपे) वर्गांतून (न – १) इतक्या, वर्गराशीतील करणीच्या पोटातील पूर्णांकाची बेरीज वजा टाकावी. बाकीचे वर्गमूळ काढावे (बाकीचे वर्गमूळ न निघेल तर कोठे तरी चूक आहे 'न सत् क्वापि') हे मूळ रूपांत मिळवावे व वजा करावे. जी फळे येतील त्याची अर्धे, ह्या दोन अर्धांपैकी एक अर्ध इष्ट वर्गमूळांतील एककरणी होईल. दुसरे अर्ध नवी रूपे अशी कल्पना करून पुढील करण्या साधाव्या. वर्गराशीत एकच करणी असली तर सदर दोन अर्धे इष्ट वर्गमूळांतील दोन करणी होतात. पण एरव्ही पुनःश्च साधन करणे प्राप्त होते. वरील दोन अर्धांपैकी महत्तर अर्ध नवी रूपे असे आचार्यांचे म्हणणे आहे. (पण हे नेहमीच खरे असेल असे नाही) हे सर्व अलीकडच्या बीजभाषेंत लिहिले म्हणजे पुढीलप्रमाणे होईल.

हा एक वर्गराशी याचे वर्गमूळ काढा.
(क्ष + य + j + म + प)२ – (४क्षय + ४क्षर + ४क्षम + ४ क्षप)
= (य + j + म + प + क्ष)
क्ष + य + j + म + प मूळरुपे
-क्ष + य + j + म + प वर्गमूळ
२य + २र + २म + रप = बेरीज
= क्ष

= य + j + ce+ प नवी रूपे (य + j + म + प + क्ष) यांचे वर्गमूळ क्ष. य. र. म .प असे घेता येईल हे घेऊन सांगितलेली क्रिया केली म्हणजे = क्ष = य + j + म + प. यामुळे या दोन अर्धांपैंकी इष्ट वर्गमूळांतील करणी कोणती व नवी रूपे कोणती हे समजण्यास मार्ग नाही. य + j + म + प. झ् क्ष असे भास्कराचार्यांनी म्हटले आहे पण या विधानास आधार नाही, कांही उदाहरणांत खरे ठरेल कांहीत ठरणार नाही हा या रीतींतील एक अनिश्चितपणा होय. दुसरा अनिश्चितपणा म्हणजे रूपवर्गांतून (न – १) करणीतुल्य पूर्णांक वजा करण्यास सांगितले हे ठीक. पण कोणत्या (न -१) करणी घ्यावयाच्या त्याविषयी अधिक निश्चित नियम सांगितला नाही. भलत्या करणींची निवड झाली तर सामान्यतः वर्गमूळ निघणार नाही. ह्याची भास्कराचार्यांनां जाणीव होती. वर्गमूळ व निघण्याची दोन कारणे - (१) दिलेला वर्गराशी खोटा असेल अगर (२) करणींची निवड चुकीची असेल म्हणून वर्गमूळ न निघल्यास 'कोठेतरी चूक' न सत् क्कापि असे भास्करानी म्हटले आहे. करणीची निवड करण्याविषयी त्यानी दिलेला नियम ''वर सांगितलेल्या विधीने इष्टवर्गमूळांतील उत्पन्न होणा-या करणीच्या चौपटीने भाग जाईल असल्या करणी निवडाव्या'' हा धोपट मार्ग बहुश उपयोगी पडतो पण इष्टवर्गमूळांत अमुक करणी येईल असे अजमासे अगोदर धरावे लागते हा या नियमांतील तात्विक दोष होय. निवड केलेल्या करणींना ह्या चौपटीने भागून इष्ट वर्गमूळांतील बाकीच्या करणी येतील जसेः-  ने भागून  ह्या बाकीच्या करणी. ह्या व नव्या रूपांपासून शेषविधीने येणा-या करणी एकच यावयास पाहिजेत, न येतील तर उदाहरण खोटे.

हा वर्गमूऴ काढण्याचा कामान्य नियम अजूनहि इंग्रजी बीजग्रंथातून आढऴून येत नाही हे ह्या भारतीयांच्या स्वतंत्र स्फूर्तीचे केवढे तरी स्मारक आहे. अर्वाचीन इंग्रजी बीजग्रंथात वर्गमूळ करणीप्रकरणांत यापेक्षा जास्त म्हणजे खालील तीन सिध्दांत होत.
(१) एक वर्गमूळ करणी दुस-या विजातीय करणीचा विस्तार असे दाखविता येणार नाही. म्हणजेहे शक्य नाही.
(२) एक वर्गमूळ करणी, विजातीय दोन करणीचा विस्तार म्हणून दाखविता येणार नाही.
(३) जर क्ष, य, ज्ञ, ह हे परिच्छेद्य आहेत पण हे अपरिक्ष्छेद्य होतात व  हे समीकरण दिले असेल तर क्ष=ज्ञय = ह असलेच पाहिजेत. कारण तसे नसेल तर क्ष = ज्ञ + अ धरा. मग दिलेले समीकरण  होईल.

म्हणजे  हे पहिल्या सिध्दांताला विरुध्द आहे. इष्ट सिध्दी हा सिध्दंत पहिल्या दोन सिध्दांतावरून उत्पन्न होणा-या खालील प्रमेयाचे उदाहरण मानतां येईल. प्रमेय - 
या समीकरणात ह्या जर विजातीय करणी असतील तर, य = ०, अ = ०, क = ०, ड = ० असे असलेच पाहिजे.

अंकपाश - ह्या प्रकरणांत दोन त-हेच्या कल्पना आहेत. एक दिलेल्या अंकापासून किती त-हेच्या संख्या होतील. म्हणजे किती भिन्न रचना होतील व दुसरी कल्पना म्हणजे षड्रसांतून तीन तीन रस किती वेळा घेता येतील. येथे रचनेचा प्रश्न नाही. निवडीचा आहे. म्हणून या प्रकरणात निवडरचनाप्रकरण अथवा संघ-बंधप्रकरण असे म्हणण्यास हरकत नाही. १, २, ३, ४, ५ हे अंक. यांतील तीन अंकांनी संख्या बनविणे आहे, तर किती प्रकार होतील? एकंस्थान ५ रीतींनी भरता येईल. आता ४ च अंक शिल्लक राहतील व दहं स्थान ४ रीतींनी भरता येईल. एकंस्थानच्या प्रत्येक रचनेला दहंस्थानच्या चारी रचनाचीं जोड देता येतील. एवंच दोन्ही स्थानांची मिळून रचना ५ # ४ इतक्या रीतीनी करता येईल. आता शतं स्थानाकरिता तीन अंक उरले. तेव्हा त्यांची रचना ३ त-हांनी होईल व पूर्वीच्या प्रत्येक प्रकाराशी ह्या तीन त-हांची जोड देता येईल, एवंच सर्व बंध म्हणजे रचना ५ # ४ # ३ होतील. ५ वस्तूंपैकी तीन तीन घेऊन बंध हे ५ब३ असे लिहितात. सामान्यतः

नबर = न(न -१) (न-२) #.....#(न-र+१) आणि सर्वच वस्तू घेऊन केलेल्या रचना
= नबंन = न(न-१) #.....# २ # १ अशा क्रमिक 'न' अंकाच्या गुणाकारास अवयवी 'न' म्हणतात. व ना असे लिहितात.

ह्या सर्व भिन्न संख्यांची बेरीज करण्याची एक रीत लीलावतीत दिली आहे. दिलेल्या अंकांच्या 'संकलिताने' दिलेल्या सर्व स्थानी १ लिहून जी संख्या होईल तिला गुणावें व त्या गुणाकारास न-१ब२-१ नें गुणावें गुणाकार इष्ट बेरीज होईल.

रचनेंत अंकाची पुनरावृत्ति:- वर सांगितलेल्या रचनांत अंकाची पुनरावृत्ति अनुमत असेंल तर रचनेचे प्रकार जास्त होतील. प्रत्येक त्यानीं आवृत्ति अनुमत असेंल तर 'र' स्थानगत 'न' वस्तूंचे बंध = नर. कारण प्रत्येक स्थान 'न' तर्‍हांनी भरतां येईल.

'न' वस्तूंच्या समूहांत 'अ' वस्तु एकरूंप 'ब' वस्तु एकरूंप 'क' वस्तु इत्यादी असें असेंल तर सर्व वस्तूंचें 'न' स्थान गत बंध
न!/अ! ब! क! इत्यादि.
सिद्धतां:- ह्या प्रश्नाचें उत्तर 'क्ष' धरुं. 'अ' एकरूंप अक्षरांच्या ऐवजीं भिन्न अक्षरें असतों तर त्यांची स्वत:ची रचना अ! रीतीनीं झाला असतो. ब 'क्ष' पैकीं प्रत्येकीं ही जोडून एकंदर रचना क्ष.अ! झाल्या असत्या असेंच बाकीच्या एकरूंप वस्तू काढांत गेलें तर एकंदर रचना क्ष.अ! ब! क! ..... होतील. अशा रीतीनें 'न' मध्यें सर्व भिन्न वस्तू झाल्यानें त्या द्दष्टीनें एकंदर बंध = न!

क्ष.अ! ब! क! .... = न! क्ष =न!/ अ! ब! क!... व वस्तूंचे र प्रत्येक वेळीं घेऊन किती संघ होतील? क्ष होतील असें धरूं त्यांचे बंध कर्तव्य झाल्यास प्रत्येक संघांतून र! बंध निघतील व एकंदर बंध क्ष.र! होतील आरंभापासून बंधाचे दृष्टि ठेविली तर न वस्तूंचे नबर = न(न – १) (न – २).......(न –र + १) बंध होतात.
क्ष.र। = न(न – १) (न – २).......(न –र + १)
क्ष संघ = नसर = न! / र! (न-१)!
प्रमेय १ लें:- न स र = न स न-र कारण ज्या वेळीं आपण र ससूह उचलतो त्या वेळीं न-र समूह शिल्लक राहतो. दोहोंची प्रकारसंख्या समान होईल.

प्रमेय २ रें:- न स र = न-१ सर+ न-१ सर कारण नसर चे दोन भाग पाडतां येतील, ते असें कीं, एकांत विशिष्ट वस्तु यावी व दुसर्‍यांत न यावी. न यावोचे प्रकार न-१ सर, कारण ‘न’ वस्तूंतून ती फेंकून द्यावी व उरलेल्यांचे प्रकार काढावे. त्याचप्रमाणें विशिष्ट वस्तुयुक्त प्रकार न-१ सर-१ कारण ती वस्तु बाजूस ठेवूने, निवड केल्यावर त्या निवडींत घालावी.
प्रमेय ३ रें:- नसर+१= न-१ सर+ म-२ सर + न-३ सर... + रसर हे सर्व संघ खालील रीतीनें सांगतां येतील.
(१) ज्यांत 'अ' अक्षराचें अस्तित्व आहे असें 'र' वस्तुधर संघ.
(२) ज्यांत 'आ' अक्षराचें अस्तित्व आहे असें पण 'अ' नसणारे 'र' वस्तुधर संघ कारण 'अ' 'आ' असणारे पहिल्या वर्गांत येऊन गेलें आहेत.
(३) 'इ' असून पूर्वींचीं अक्षरें नाहींत असें 'र’- वस्तुघर संघ.
... .... ..... .... ... ....
हे क्रमानें न-१सर, न-२संर, न-३संर...रसर होतात हे + चिन्हांनीं जोडले असतां एकूण संघ मिळतील

प्रमेय ४ :- प + फ सं र = प सं र + प सं र – १ प सं १ + प सं र – २ फ सं २ + प सं र – ३ फ सं ३ ... + फ सं र.
(प+फ) वस्तूंचे दोन ढीग घालावे एक 'प' वस्तूंचा व दुसरा फ वस्तूंचा ब पुढीलप्रमाणें निवड करावी:- (१) पहिल्या ढिगांतून 'र' निवडावी (२) पहिल्यांतून (र– १) व दुसर्‍यांतून १. (३) पहिल्या ढीगांतून (र–२) व दुसर्‍यांतून २ इत्यादी ह्या प सं र, प सं र – १, फ सं र१, प सं र२ – फ सं र इत्यादि होतात एकूण निवडींची संख्या +चिन्हानें जोडून मिळेल.

हें सहज लक्षांत येईल कीं,+चिन्हांनीं जोडलेलीं हीं एक श्रेणीचीं पदे मानतां येतील व समत्व चिन्हाच्या दुसर्‍या बाजूचें संर्वधन होईल उजवी बाजू सोडवून डाव्या बाजूबरोबर आहे असें दाखवितां येईल, कारण हें नित्यसमीकरण आहे (समीकरणांतील अव्यक्तघातदर्शक उच्चतम आंकड्यापेक्षां जास्त किंमतींनीं अव्यक्ताच्या समत्व सिद्ध होत असेंल तर तें नित्य समीकरण असतें. येथें ‘प’ हें अव्यक्त मानलें व त्याला किंमती देत गेलें तर 'र' पेक्षां अधिक किंमतींनीं समत्व सिद्ध होतें. हीच गोष्ट फ ला लागू) ह्या दृष्टीनें पाहतां चवथें प्रमेय फ, प च्या कोणत्याही अपूर्णांक ॠणसुद्धां-किंमतींनीं खरें ठरेल. अट एवढीच कीं 'र' धन पूर्णांक असला पाहिजे हें तत्त्व द्विपदवातसिद्धांत अपूर्णांक व ॠणदर्शकांनीं सिद्ध करतांना उपयोगी पडेल.

प्रमेय -५:- (प+फ) वस्तूंचे 'र' स्थानबंध वरील चवथ्या प्रमेयाच्या समीकरणांस र! नीं गुणून येतील, कारण प्रत्येक निवडींतील र वस्तूंच्या रचना र! तर्‍हांनीं होतील.
प + फ बं र = प बं र + र सं १ प बं र – १ फ बं १ + र सं २ प बं र – २ फ बं २ + ... + फ बं र.

ह्याला 'वांडरमांड' चा सिद्धांत म्हणतात.

दिलेल्या (फ+प) वस्तूंपैकीं 'प' वस्तू एकरूंप असल्यास 'र' वस्तुवर संघ काढणें:- (१) फ विरूप वस्तूंचे संघ फ सं र
(२) फ पैकीं र – १ व प पैकीं एक फ सं र – १
(३) फ पैकीं र-२ व प पैकीं दोन फ सं र -२ इत्यादि. एकूण इष्ट संघ = फ सं र + फ सं र – १ + फ संर-२... + फ सं र१+फसं२
[प > र समजून एरव्हीं 'प' तील वस्तु जेथें संपतील तेथें पदांची मालिका थांबेल].
वरील अटीचे बंध काढणेः- (१) र विरूप वस्तूंचे बंध र! नें तदीय संघांस गुणून येतील.

(२) (र – १) विरूप व दुसरी व १ दुसरी यांचे बंध तदीय संघास र!/ १! नें गुणून येतील.
(३) (र – २) विरूप व २ स्वरूप यांचें बंध तदीय संघास र!/२! नें गुणून येतील. इत्यादी.
एकूण संघ बेरीज करूंन.

त्याच रीतीनें म्हणजे ‘अगोदर निवड करूंन मग प्रत्येक निवडीची रचना’ करूंन निरनिराळ्या तर्‍हेचे अभिप्रेत बंध काढतां येतील.


परिघगत बंध (न वस्तूंचे):- परिघावर वस्तुरचना करावी व परीघ मध्यबिंदूभोंवतीं थोडा फिरवावी तेणेंकरूंन सदर रचना व बदलतां वस्तूंच्या प्रत्यक्ष (पूर्वींच्या) स्थिती मात्र बदलल्या. तात्पर्य कीं, परिघगत बंधांत वस्तूंच्या प्रत्यक्ष स्थितीचा प्रश्न नसतो तर त्याच्या सापेक्ष (एकमेकालगतच्या) स्थितींचा. ह्या सर्व स्थिती एक वस्तू स्थिर करूंन बाकीच्या यथेष्ट फिरविल्यानें मिळतील म्हणजे (न–१)! होतील. यांत वस्तूंचा क्रम सब्य, अपसव्य (प्रदक्षिणा प्रतिदक्षिणा) विशिष्ट दिशेनें धरला आहे. क्रम विहित नसता तर नुसते भिन्न प्रकार (न-१)!/२ [जेवढे प्रदक्षिणेचे प्रकार तेवढेच प्रतिदक्षिणेचे व एकूण (न – १)!]

लीलावतीच्या शेवटच्या सूत्रांत अंकयोग व स्थानसंख्या दिली असतां संख्याप्रकार कसे काढावे तें सांगितलें आहे. ‘निरेकं अंकैक्यं......निरेक स्थानान्तं एकापचितं विभक्तं' म्हणजे हेंच आपणास (यो-१)सं असें लिहितां येईल. यांत दोन अथवा अधिक स्थानीं समान अंक असूं शकतील म्हणजे शक्य तितक्या वेगळ्या तर्‍हांनीं पुनरावृत्ति अभिमत आहे. द्विपदघातसिद्धांताची थोडीं माहिती असल्यास पुढील सिद्धता सहज समजेल. यो= योग, स्था= स्थानसंख्या असें समजून पहिल्या स्थानीं(क्ष१+क्ष२+ क्ष३+क्ष४+क्ष५+क्ष६+क्ष७+क्ष८+क्ष९) यांतील घातदर्शकापैकीं कोणता तरी अंक आहे. तसेंच दुसर्‍या ठिकाणीं आणि तसेंच तिसर्‍या इत्यादी. प्रश्नावरून असें ध्यानीं येईल कीं, प्रत्येक कंसांतील एक एक घातांक घेऊन त्यांची बेरीज 'यो' आहे. ‘घांतांकांची बेरीज’ ह्यावरून ध्यानीं येईल कीं, कंसांचा गुणाकार केला पाहिजे व त्यांतून क्ष यो हें पद किती वेळां येईल तें काढलें पाहिजे. हें त्याचीं गुणकरूंपें सांगतील. म्हणजे दिलेला प्रश्न असा मांडतां येईल. (क्ष+ क्ष२+क्ष३+क्ष४+... क्ष९) (क्ष+क्ष२+..... क्ष९).... इत्यादी. 'स्था' कंस आहेत तर या गुणाकरांतील क्ष यो चीं गुणक रूपें काय?
अथवा (क्ष+क्ष२+क्ष३+...+ क्ष९) स्था तील क्ष यो ची गुणकरूंपें ?
अथवा [क्ष(१+क्ष+क्ष२... + क्ष८) स्था तील क्ष यो चीं गुणकरूंपें ?
अथवा क्ष स्था (१-क्ष९/१-क्ष) स्था तील क्ष यो चीं गुणकरूंपें ?
अथवा (१-क्ष९)स्था(१-क्ष) -स्था तील क्ष यो-स्थाचीं गुणक-रूपें ?
अथवा (१-स्था. क्ष९+ .....) (१ - क्ष)-स्था तील क्ष यो-स्था चीं गुणकरूंपें ?
आपणास १X(१-क्ष)-स्था तील क्ष या-स्था चीं गुणकरूंपें पाहिजे आहेत असें झालें
(१-क्ष)-स्था १+स्था/१ क्ष+ स्था (स्था+१)/२! क्ष२......
+स्था (स्था+१)…. (स्था+र...१)/ र! क्ष र+... ...

र’ च्या ऐवजीं (यो-स्था) ही किंमत मांडून
क्ष (यो स्था) चीं गु.रू. =स्था(स्था+१)...(स्था+यो-स्था-१)/ (यो-स्था)!
= (यो-१)!/ (यो- स्था)!(स्था-१)! =(यो-१)सं (स्था-१).

पहिल्या कंसातील दुसरें पद लक्षांत घेतां त्या स्था क्ष९ (१-क्ष)-स्था
तील क्ष (यो-स्था)चीं रूपें म्हणजे स्था (१-क्ष)-स्था (यो-स्था-९)
तील क्ष (यो-स्था-९)चीं रूपें तीं
=(यो-१०)सं (स्था-१)Xस्था असेंच पुढें. एकूण प्रकार:
=(यो-१) (यो-१०)
सं + सं Xस्था
(स्था-१) (स्था-१)


(यो – १९) सं स्था (स्था – १) + .....
(स्था-१)X २!
+ ... +... वस्तूसमूह

(यो-१), (यो–१९), (यो–१०) इत्यादीकांनीं दर्शित (स्था–१) इतका अगर त्यापेक्षां लहान होईपर्यंत पदें मांडावीं. (यो–१०) जर < स्था – १ म्हणजे यो < स्था + ९ तर प्रकार = (यो-१) सं (स्था-१).

लीलावतींत फक्त एवढेच प्रकार सांगितले आहेत व ही अटहि स्पष्टपणें सांगितली आहे. ''नबान्वितस्थानकसंख्याकाया ऊनेकयोगे कथितं तु वेद्यं।'' भास्कराचार्यांचा हें सूत्र स्थापन करण्याचा मार्ग वेगळा असेंल, पण असले अवघड प्रश्न त्यावेळीं सोडवीत असत हें महत्त्वाचें आहे. अंकपाशाचे प्रश्न गणितनैपुण्याची परीक्षा घेण्यासाठीं असत असें दिसतें. ‘गार्वेतगणकबटूनां स्यात्पातोऽवश्यमंकपाशे ऽस्मिन।''

दिलेल्या 'न' वस्तूंतून व 'र’- वस्तूंची निवड करणें (‘र’ एकरूंप वस्तू असूं शकतील) 'र' त पहिली वस्तु नसेल किंवा १ वेळ २ वेळा... र वेळां असेंल हें असें लिहितां येईल. (क्ष० + क्ष१ + क्ष२ +...+क्ष र) असेंच 'न' मधील प्रत्येक वस्तुसंबंधीं अखेर आपणांस (क्ष० + क्ष१ + क्ष२ + क्षर) न तील क्षर ची गुणकरूंपें पाहिजेत अथवा {१-क्ष/१-क्ष}न ती ल क्ष र चीं रूपें ? अथवा (१-क्ष र+१न) (१-क्ष)-न तील क्ष-२ ची रूपें ? अथवा (१ – क्ष)-न तील क्ष र चीं रूपें ?
म्हणजे (१-क्ष)-न तील क्ष र चीं रूपें ?
सदर रूपे = न (न+१)... (न+र-१)/र! हें नसर
असें लिहितात व ''नतून र घाताचे समघात गुणाकार'' असें वाचावें संघाच्या द्दष्टीनें (न+र-१)सं र असें लिहावें.

येथपर्यंत रचनांचे प्रकार 'किती' होतील याविषयीं विचार झाला. नंतर रचनांचे प्रकार कसे होतात म्हणजे त्यांचा परस्परसंबंध काय वगैरे प्रश्न क्रमसिद्धांत (थिअरी ऑफ सब्स्टिट्यूशन) मध्यें येतात. त्याचें थोडें दिग्दर्शन करूंन पुढें जाऊं.

संघसूत्राचा विशेषतः अंकपाशांत उपयोग झाला. बंधसूत्रांचा प्राचीन काळीं व्यवहांरात कशाकडे उपयोग करीत हें लीलावतींत मिश्रव्यवहार (मिसलेनियास चॅप्टर) मध्यें सांगितलें आहे. 'छंदश्चित्यत्तरे छंदस्युपयोगीऽस्य तद्विदाम् । मूषावहनभेदादौ खंडमेरौच शिल्पके। वैद्यके रसभेदीचे तन्नोक्तं विस्तृतेर्भयात्।“ छंदःप्रस्तार म्हणजे भिन्नजातींच्या अक्षरांचें वास्तव्य असलेला संघ असें पुढें दिलेल्या (लीलावतींत) उदाहरणावरून दिसतें. वृत्तविस्तार म्हणजे स्थितिविस्तार (बंध) होय. वृत्तविस्ताराची एक रीत लीलावतींत श्रेढिव्यवहाराच्या शेवटीं दिली आहे. (सामान्यत: ही अंकपाशांत दिली जावी) ती अशीः- प्रत्येक पदांत 'न' अक्षरें असतां २न हा समवृत्त संख्या प्रत्येक पदांत 'न' अक्षरें असतां (२न)२ - - २न = २न(२न -१) अर्धसमवृत्तांची संख्या प्रत्येक पादांत 'न' अक्षरें असतां (२न)४ – (२न)२ अर्धसमविषय वृत्तांची संख्या.

अर्धसम वृत्तांचे पहिले चरण एका ओळींत लिहिले असतां ती ओळ इतर दोन चरणांच्या ओळीशीं सर्वथैव समान असतें. विषमवृत्तांत ती तशी नसते एवढी व्याख्या घेतली तर दोन तर्‍हेनें मांडतां येईल.
(१)प्रथम पंक्तिभेदांत (पंक्ति = एकरूंप चरणद्वय) हे भेद धरले तर प्रथम पंक्तिप्रकार = २न X २न = २२न हे प्रकार द्वितीयपंक्तीतील स्वसमान भेद टाकून जोडले तर वृत्तभेद
= २२न (२२न – १) = २४न – २ २न या प्रकारांत जास्तींत जास्त तीन चरण समान असूं शकतील. एकरूंप जोड्या असल्या तर आरंभीची जोडी एकरूंप व शेवटची एकरूंप.
(२) (पंक्ति=भिन्नरूप चरणद्वयं) मानून वृत्तप्रकार =
२न(२न...१) २न(२न – १) – १
= २न (२न – १)२ – २न (२न – १)
= २२न(२२न – २ न +१+ १) – २ न +२न = २ ४न – र३न+१ + २ न

यांत आरंभीचे क्रमानें दोन आणि शेवटचे क्रमानें दोन हा क्रम सोडून दोन चरण एकरूंप असूं शकतील. एकरूंप चरणांच्या दोन जोड्या असल्या तर पहिला चरण चवथ्याशीं एकरूंप व दुसरा तिसर्‍याशीं एकरूंप. चारी चरण भिन्नरूप असावे अशी रचना करणें झाल्यास ते प्रकार
२ न (२न – १) (२न -२) (२न – ३) होतील.

श्रेंढी व्यवहारः- श्रेढी अथवा श्रेणी म्हणजे विवक्षित नियमानुसार बनलेल्या पदांची मालिका जसें:
१, २, ३, ४, ५, ५, ... ... ... ... २५
ही एक श्रेणीच होय. यांतील प्रथम पदाला आदिपद शेवटच्या पदाला अत्यंपद पदसंख्येला गच्छ, त्या श्रेणीच्या प्राणभूत नियमास दाखविणारें स्वरूप अथवा अंक याला 'चय' असें म्हणतात. जसें वरील श्रेणींत १ हें अदिपद, २५ हें अत्यंपद, २५ गच्छ + १ चय. आदिपद ५ व चय + ३ असेंल तर श्रेणी ५, ८, ११, १४ इत्यादी. असल्या श्रेणीस गणितश्रेढी म्हणतात. कारण दिलेल्या असल्या मालिकेंतील पदाच्या बेरजेस 'गणित' अशी संज्ञा आहे गणित श्रेढीसंबंधीं सामान्य माहिती ‘गोखले अंकगणित भाग तिसरा' यांत मिळेल येथें पुढील श्रेणी पहा.
१, २, ३, ४, ५, ६ ....... न, क्रमिक अंक श्रेणी
१, ३, ६, १०, पू. पद + डोकाचें पद... न (न+१)/१,२ प्रत्येक पद क्र. अं, बेरीज उर्फ संकलित श्रेणी
१, ४, १०, २० ... ... ... ... संकलितैक्य श्रेणी

[या पैकीं पहिली श्रेणी केवळ क्रमिक अंकाची असून पुढील श्रेणींतील पदें पूर्वपदांत वरील श्रेणीनें उत्तरपद मिळवून तयार झालेंलीं आहेत.]

संकलितैक्यश्रेणीचें 'न' वें पद वरील दोन श्रेणींच्या सादृश्यावरून न(न+१)/ १. २. (न+२)/३ असावें. 'न' ची किंमत २, ३, ४ असतां हें स्वरूप बरोबर पदें देतें. सामान्यतः सर्व किंमतींच्या वेळीं हें खरें आहे कीं नाहीं तें पाहूं; समजा 'न' च्या क्ष किंमतीपर्यंत बरोबर पदें येतात. तर असें दाखवितां येईल कीं 'न' च्या (क्ष १) ह्या किंमतीच्या वेळींहि पद बरोबर येतें म्हणजे (क्ष+१) (क्ष+२) (क्ष+३)/ १. २. ३. येतें.

सिद्धताः- क्ष किंमत असतां पद = क्ष (क्ष+१)(क्ष+२)/ १. २. ३

वरच्या श्रेणींत (क्ष १) ल्या पदाच्या डोकीवरचें पद = (क्ष+१) (क्ष+२)/ १. २

साध्यपद = ह्या दोन पदांची बेरीज
=(क्ष+१)(क्ष+२)/ १. २ +क्ष(क्ष+१)(क्ष+२)/१. २. ३
=(क्ष+१)(क्ष+२)/ १. २ {१+क्ष/३
=(क्ष+१)(क्ष+२)(क्ष+३)/१.२.३ इष्ट सिद्धि

यावरून हें उघड आहे कीं लागोपाठच्या दोन किंमतींपैकीं पूर्व
किंमतपैकीं पूर्व
किंमतीविषयींजर
विधान खरे असलें तर किंमतीविषयीं उत्तर खरें असतें व आपणांस माहीत आहे कीं, सदर विधान ४ ह्या किंमतीविषयीं खरें आहे. ५ ह्या किंमतीविषयीं खरें असलेंच पाहिजे तसे झालें म्हणजे ६ विषयीं खरें असलेंच पाहिजे एवंचाग्रत हें विधान सामान्यतः खरें आहे. ह्या विचारसरणीस गणितगतअनुमानपरंपरा असें म्हणतात. याप्रमाणें पुढील प्रत्येक श्रेणीचें 'न' पद अंशस्थळीं एक अवयव व छेदांत एक अवयव या क्रमानें वाढवून येईल.
क्रमिक अंकाच्या वर्गाची व घनांची बेरीज -
१२ + २२ + ३२ + ..... + न२ = सर्वधन
(न + १)३ - - (न - - १)३ = ६न२ + २ प्रत्यक्ष सोडविल्यानें
(न - -१)३ - - (न - -२)३ = ६(न – १)२ + २ न ऐवजी (न - - १) लिहून
(न- -१)३ - - (न - -३)३ = ... .. ...
... ... ... ... ...
४३ - - २३ = ६(३)२ + २
३३ – १३ = ६(२)२ + २
२३ - -०३ = ६ (१)२ + २
+ +
(न + १)३ + न३ - - १३ = ६ इष्ट सर्वधन + २न

(२न + १) [न + १ - - न (न + १) न२] – (२न + १) = ६ इष्ट सर्वधन
(२न+ १) (न२ + २न + १ ... न२ – न न२ - -१) = ६ सर्वधन
(२न+१) (न२+न)/६= सर्वधन= (२न+१)(न+१)न/३ २. १
=२न+१/ ३ संकलित

 

हें शेवटचें भास्करांनीं वगैक्यासाठीं दिलेलें रूप वरच्या पद्धतींत (न + १)३ - - (न - -१)३ = ह्या ऐवजीं (न + १)३..न३ = असाहि आरंभ करतां येतो. पण ती सिद्धता अंमळ लांब होतें. आतां घनैक्यः- १३ + २३ + ३३ + ४३ ......न३ = ? याची रचना अशी करतां येईल.

प्रत्येक गोमुखींत एक एक घन मांडतां येतो व सर्व गोमुख्यांची बेरीज चौरस हें स्पष्ट दिसतेंच आहे या चौरसाच्या प्रत्येक बाजूंत


१ + २ + ३ ... + न =न(न+१)/२ = संकलित
सर्वधन = संकलित२. गोमुखींत घन कसा बसतो. तें पहाः- समजा 'स' गोमुख्या झाल्या आहेत (स + १) वी गोमुखी मांडतों आहोंत. ही गोमुखी कातरून तीन तुकडे पडतील. कोपर्‍याचा चौक (चौरस) व बाकीचे दोन. यांच्या तोंडाची रुंदी (स+१) चिन्हें. म्हणून कोपर्‍याचा चौक=(स+ १)२ चिन्हें. इतर दोन्ही तुकड्यांची मिळून लांबी म्हणजे 'स' गोमुखीच्या दोन बाजू मिळून =२X स(स+१)/२ = स (स+१) चिन्हें मावण्याइतकीं. त्या दोन तुकड्यांत मिळून (स+१) स(स+१) = (स+ १)२ स इतकीं चिन्हें राहतील. एकूण -
(स+१) व्या गोमुखींतील चिन्हें = स(स + १)२
(स + १)२ = (स + १)२ (स +१)
= स(स +१)३
इतर गोष्टी दिल्या असतां गणितश्रेढीचा गच्छ काढणें सर्वधन = (आ०+आं)ग/२
[''आद्यांतिच्या युतिस गच्छेंगुणा भजक द्या दोन सर्व घन तें'' गो.ए. गोसावीकृत वृत्तगणितादर्श]
= [आ.+आ.+(ग-१)उ.]ग/२
=(२आ-उ)ग+ग२उ/२

उग२+ (२आ – उ) ग - - २स = ० हें वर्ग समीकरण झालें.
ग =(उ-२आ (२आ-उ)२+८सउ/२उ
गच्छ=उ/२ –आ+ २सउ+{आ-उ/२}२/उ
हे भास्करांनीं दिलेलें रूप
अथवा उ/२-आ.. २सउ+{आ-उ/२}२/उ

ही गच्छाची दुसरी किंमत ॠण येईल. गच्छ घन असतां आपण आदिपासून अंत्याकडे जातों. अर्थात् ॠण गच्छ म्हणजे अंत्याकडून आदिकडे येणें होय. ह्या कल्पनेनें पदें मांडून बेरीज घेतां ती दत्तधनायेवढीच येते.

गुणश्रेढी (गुणोत्तर श्रेढी) अथवा भूमितीश्रेढी: या श्रेढीला भूमितीश्रेढी असें नांव पाडण्याचें कारण असें आहे कीं, या श्रेढीचें एक उदाहरण युक्लिंडनें आपल्या भूमितींत दिलें आहे तें असें:- अ क स ब ही रेषा दुभागली. पुन्हां क ब दुभागली असें वारंवार करीत गेलें तर अक + कस + ...वगैरे सर्व तुकड्यांची बेरीज अब इतकी होईल. त्याचे श्रेणीस्वरूप १/२+१/४+१/८..... इत्यादी अनंत पदें = १. हिचें सर्वधन काढण्याचे नियम ''गोखले अंकगणित भाग ३'' यांत सांपडतील भास्करांनीं दिलेला नियम येथें सांगण्याजोगा आहे, आपणांस माहीत असलेला नियम म्हणजे स = अ(गुग-१)/गु-१ पण त्या कालीं येथें घातप्रकाशक माहीत नव्हते. ... गु३१ हें पद भास्करांनीं:-
([२२x२)२x२]२x२)२x२ या स्वरूपांत सांगितलें आहे.

श्रेढींचें संर्वधन काढण्याविषयीं:- ज्या श्रेणींचें 'न' वें पद
[अन क + आन क -१ + इ न क -२ ..... + स)

ह्या स्वरूपांत दाखवितां येण्याजोगें असतें तिची न पदांची बेरीज करतांना सर्व पदें दिलेल्या प्रमाणें विस्तृत स्वरूपांत एकाखालीं एक मांडावी फक्त न च्या जागीं (न–१), (न–२) इत्यादी फरक करावा, व बेरीज घेतांना +, चिन्हांनीं झालेंल्या रकान्याचीं (उभे) बेरीज घ्यावी. प्रत्येक रकाना म्हणजे क्रमिक अंकाच्या विशिष्ट घाताची बेरीज होतें.

कांहीं श्रेणी अशा असतांत कीं, त्यांचें 'न' पद (अ+बन) गुन असतें म्हणजे 'न' हा चलसंख्या घात प्रकाशांत असतें. अशा वेळीं वरील युक्ति फसेल. या वेळीं पुढील युक्ति योजतात.
सर्वधन = (अ + ब.१) गु + (अ + ब + २)गु२ + (अ + ब. ३)गु३ ....... + (अ + बन)गु न
[दोन्हीं बाजूस (१– गु) नें गुणा]
स(गु--१) = (अ+ब.१) गु + (अ+ब+२)गु२ + (अ+ ब.३)गु३ ....
- (अ+ ब.१) गु२-(अ + ब.२) गु३ ...
- (अ + ब) ग न + १
= (अ + ब)गु + [बगु२ + ब.गु३ + ... + बगु न) (अ + बन) गुन +१ चौकटीमधील श्रेणी भूमितीश्रेणी होतें.
आवर्तश्रेणीः अ+बक्ष+कक्ष+२/१+टक्ष+टक्ष२+ड क्ष३

हा भागकार करीत गेल्यास उत्पन्न होणारी श्रेणी ही = भ०+भ१क्ष+भ२क्ष२+भ३क्ष३+ ...+ भन क्षन असें धरा. अर्थांत मूळ अपूर्णांक ह्या श्रेणीचा जनक होय. जनक व श्रेणी यांनां (१+टक्ष+ठक्ष२+डक्ष२) ह्या गुणोत्तरानें गुणून दोन्हीं बाजूच्या क्ष च्या समान घाताच्या गुणकांचीं समीकरणें मांडल्यास तीं भ० = अ; भ१ + टभ० = ब; भ२+ टभ१ + ठभ० = क; भ३ + टभ२ + ठभ१ + ड भ३ = ०; इत्यादि होतील. ह्या श्रेणीच्या न पदांची बेरीज वरच्या युक्तीनेंच होईल म्हणजे
स न = भ० + भ१क्ष + भ२क्ष२ + ... + भ न क्ष न
टक्ष स न = + भ०टक्ष + भ१टक्ष२ + ... + ... + भ न टक्ष न + १
ठक्ष२ स न = + भ०ठक्ष२ + भ१टक्ष३ + ... +
डक्ष स न = + भ०डक्ष२ + +

(१+ टक्ष + ठक्ष२ डक्ष३) स न = भ०+ (भ१ + भ०ट)क्ष + (भ२ + भ१ट + भ०ठ)क्ष२ + भ न डक्ष न+३+(भन ठ+भन-१ड)क्ष+न+२ (भनट+भन-१ ठ+भन-२ड)क्षन+१
यावरून सन ची किंमत काढतां येईल. सदर श्रेणी जर सांतमूल्य (कॉन्व्हर्जंट) असेंल तर
अनंतधन = भ+(भ१+भ०ट)क्ष+(भ२+भ१ट+भ० ठ)क्ष२/१+टक्ष+ठक्ष२+डक्ष३= जनक अपूर्णांक
सामान्यत: भन क्षन इत्यादि पदांचें अनंतधन (श्रेणी सान्तमूल्य असतां) माँटमार्ट पद्धतीप्रमाणें
=भ१क्ष/१-क्ष + भ१क्ष१/(१-क्ष)२ + २भ१क्ष३/(१-क्ष)३ + इत्यादि फक्त न पदांचें सर्वधन
=(भ१-भन+१क्षन) क्ष/१-क्ष + (भ१ क्षन भन+१) क्ष२/(१-क्ष)२
+(२भ१-क्षन २भन+१) क्ष३/(१क्ष)३+.... इत्यादि हे भ. पासूनच्या अनंत धनांतून, भ न+१ पासूनचें अनंत धन वजा टाकून मिळालें आहे. यांत ह्या चिन्हाचा अर्थ सांगणें राहिलें.

एकाद्या दिलेल्या श्रेणीचा आधारनियम (अथवा गुणोत्तर) एकदम लक्षांत येत नसला तर दिलेल्या श्रेणीच्या प्रत्येक पदांतून मागील पद वजा टाकून एक श्रेणी तयार करावी. हिला प्रथमांतरश्रेणी म्हणतात. हिच्यापासून जरूर असल्यास द्वितीयांतरश्रेणी, तिच्यापासून पुढें तृतीयांतर इत्यादि श्रेणी तयार कराव्या. म्हणजे एखाद्या श्रेणीचीं सर्व पदें येतील. व भन =भन + १-भन; २भन= भन+१-भन; इत्यादि चिन्हें ह्या अर्थानें वापरलीं असतांत. या कार्यदर्शकांचे दोन सिद्धांत आहेत ते असें:- (१) मभन = भम+न-नसं१ भम+न-१+नसं२भन+म-२+...+(--)मभन.
(२)भम+न =भम+नसं१ भम+नसं२ २भम +नसं३ ३भम +... ... ... +नभम

या सिद्धांताच्या साहाय्यानें असें सिद्ध करतां येतें कीं कोणत्याहि श्रेमीचें न पदांचें सर्वधन
=नसं१भ१+नसंर भ१+... न-१भ१ जसें:- जिवें ‘न’ वें पद (न+१) (न+२) (न+३) आहे तिच्या न पदांचीं बेरीज ?

प्रथमपद दि. प. तृ.प. च.प. पंचमप.
पदमाला २४ ६० १२० २१० ३३६
पदामाला ३६ ६० ९० १२६
२पदमाला २४ ३० ३६
३पदमाला ६ ६
४पदमाला ० ०

न पदधन= न. २४+न(न-१)/ २!. ३६+ न(न-१)(न-२)/ ३!. २४
+न(न-१)(न-२)(न-३)/४!.६
= १/४ (न४+१०न३+३५न२+५०न).
सामान्यतः वन असा राशि असला कीं व न = भ न तर भ स + भ स+१ + भ स+२....+ भ न = व न+१-वस

कारण भन=वन+१-वन
भ व-१=वन-बन-१ .
भ स = ब स+१-बस
बेरीज = ब न+१-वस
म्हणजे जर दिलेल्या श्रेणीच्या साहाय्यानें वन हा राशि काढितां आला तर सर्वधन काढण्याचा प्रश्न अत्यंत सोपा होईल. पण सर्वच श्रेणींच्या बाबतींत हा सांपडतो असें नाहीं.

श्रेणीविषयीं कांहीं विचारः- श्रेणींतील पदें कांहीं नियमानुसार मिळतात. हें खरें पण एका पदापासून पुढचें पद काढतांना आपण त्या पदावर एकदम उडीसरसे जाऊन उतरतों. मध्यंतरींचे फरक लक्षांत घेत नाहीं. असें फरक ज्या श्रेणींत लक्षांत घेतले तिला अखंडश्रेणी असें म्हणतां येईल. नैसर्गिक नियम हे सतत श्रेणीच होत, कारण पडत्या दगडाच्या प्रत्येक सेंकंदाच्या शेवटच्या गती क्रमानें मांडल्यास श्रेणी तयार होईल. कालान्तर सेंकांदापेक्षां कमी घेतला तर प्रत्येक दोन पदांमध्यें आणखी नवीं पदें उत्पन्न होतील. एवंच अखंड श्रेणी उत्पन्न होईल. अनंतधन अथवा परिमितधन काढण्याला (अथवा वन हा राशि काढण्याला) सूक्ष्मसंचयनशास्त्र (इंटीग्रल कॅलक्युलस) ची जरूरी पडेल.

स्वरेश्रेढीः- ध्वनि उत्पन्न होतांना कंपमान तारेंत १/३, १/५, १/७ इत्यादि अंतरावर केंद्रें उत्पन्न होतात, म्हणून अशा श्रेणीस स्वरश्रेणी म्हणतात. हिच्या पदांचे छेद गणितश्रेढींत असतांत. हिचें संवर्धन काढण्यास सामान्य नियम नाहीं.

ॠणताः- ॠणतेसंबंधीं बीजगणित शिकतांना आरंभीं बराच घोटाळा उडतो हें पुष्कळांच्या अनुभवांत असेंलच त्याचें कारण ॠणतेसंबंधीं दोन स्वतंत्र कल्पना आहेत, एक म्हणजे कार्यचिन्ह (-) दर्शित. जसें – ५ रू. म्हणजे ५ रू. काढा (तें कर्ज असल्याचा यांत बोध नाहीं). दुसरी म्हणजे जातिदर्शक जसें ५ रू कर्ज (यांत तें वजा टाका असा बिलकूल बोध नाहीं). ही दुसरी कल्पना दर्शविण्यांत एक वेगळें चिन्ह असणें जरूर आहे. (जुन्या संस्कृत ग्रंथातून अशा राशीच्या डोक्यावर एक टिंब देत. आतां वाटल्यास तें पोकळ लिहावें म्हणजे आवर्तचिन्हांशीं घोंटाळा होणार नाहीं). यावरून हें लक्षांत येईल कीं, कार्यदर्शक ॠणतेचा गुणाकार याला अर्थच नाहीं. पण जातिदर्शक दोन आंकड्यांचा गुणाकार होईल अथवा ॠणजातिवाचक अंक वजा टाकतां येईल. आपल्या इकडे ॠणतेची कल्पना बर्‍याच जुन्या कालापासून रूढ आहे. भास्कराचार्यांचीं दोन सूत्रें (१) स्वयो रस्वयो स्वं वधः स्वर्णधाते क्षयो भागहोरेऽपि चैवं निरूक्तम्। (२) कृतिः स्वर्णयोः स्वं स्वमूले घनर्णे, न मूलं क्षयस्यास्ति तस्याति कृत्त्वात्। हीं लक्षांत ठेवण्याजोगीं आहेत.

समीकरणें:- आपल्याकडे अव्यक्त संख्येबद्दल वर्ण (रंगाचें नांव) अथवा जें असेंल तें येणारी किंमत इत्यादी धरीत व व्यक्त संख्येला रूपें म्हणत. यांच्या गुणाकारास विशिष्ट नांवें आहेत. रूपX वर्ण = वर्ण; वर्ण X सजातीय वर्ण = तो वर्ण२ वर्ण३ इत्यादी विजातीय वर्णांच्या गुणाकारास भावित म्हणतात.

एकवर्णसमीकरणः- अव्यक्त राशि 'क्ष' समजून त्याला उदाहरणांत सांगितलेली कृति करावी व नंतर मिळवून वजा करूंन गुणून व भागून दोन समान पेटे तयार करावे (तुल्यौपक्षौ साधनीयौ प्रयत्‍नात् युक्त्वा शिप्त्वा वाऽपि संगुण्य भक्त्या । इंग्रजींतील साइड, विंग हे शब्द समीकरणाचा पेटावाचक 'पक्ष' शब्दांशीं विलक्षण समानार्थक आहेत हें लक्षांत ठेवण्याजोगें आहे) नंतर एका पक्षांतले वर्ण नाहींसे करावे व दुसर्‍यांतील रूपें नाहींशीं-अर्थात् पेट्यांचें साम्य बिघडूं न देतां करावी. अशा रीतीनें एक निवळ वर्णपक्ष व दुसरा निवळ रूपपक्ष (क्ष चा गुणक म्हणून अजून डोकावत असलेल्या) रूपपक्षास भागावें म्हणजे भागाकार हें क्ष चें मान अथवा किंमत होय. ही इतकी खुलासेवर रीत भास्कराचार्यांच्या बीजगणितांत दिली आहे व सांगितलें आहे कीं, अनेक अव्यक्तांशीं प्रसंग असतां त्यांचीं मानें 'क्ष' मय धरावीं (इतर गोष्टींचा विचार करूंन) म्हणजे सदर समीकरण एकवर्ण समीकरण होईल.

अनेकवर्ण समीकरणं:- अनेकवर्ण व अनेक समीकरणें अशीं स्थिती दिली असतां प्रत्येक समीकरणांत तोच एक वर्ण डाव्याबाजूस राखून उजव्या बाजूस बाकीचे वर्ण व रूपें घ्यावींत मग ह्या आद्यवर्णाची किंमत बाकीच्या वर्णात्मक काढावी. हिला उन्मिति म्हणतात. प्रत्येक समीकरणापासून आद्यवर्णाची एक एक उन्मिति मिळेल. आतां ह्यांपैकीं एक उन्मिती एकाबाजूस व दुसरी दुसर्‍याबाजूस अशा रीतीनें नवीं समीकरणें मांडावीं. ह्या नव्या समीकरणांत आद्यवर्ण दिसणार नाहीं. मग दुसरा एक वर्ण रोंखून त्याच्या उन्मिती ह्या नव्या समीकरणांवरून काढाव्या व पुनश्च तदितर नवीं समीकरणें मांडावीं असें करतां करतां शेवटीं एकवर्ण उरेल व एक समीकरण उरेल, त्यावरून ह्या अन्त्य वर्णची किंमत मिळेल. ही उपनत्य वर्णाच्या उन्मितींत घालावी म्हणजे त्याची किंमत येईल. मग ह्या दोहोंचीं मानें तत्पूर्वींच्या उन्मितींत घालावीं व उपोपान्त्स वर्णाचें मान काढावें. अशा रीतीनें उत्थापन देत देत सर्व वर्णांच्या किंमती कळतील.

शेवटच्या समीकरणांत दोन अव्यक्तें उरल्यास त्यांच्या किंमती कुट्टकाच्या साहाय्यानें काढाव्या शेवटच्या समीकरणांत दोनपेक्षांअधिक अव्यक्तें राहिली तर कुट्टकापुरतीं दोन अव्यक्तें शिलज्क ठेवून बाकीच्या बद्दल हव्या त्या इष्ट किंमती धराव्या, उत्तरें अर्थातच अनंत येतील.

कुट्टकः- हें प्रकरण म्हणजे आमच्या गणपूर्वजांच्या बुद्धिकौशल्याचें एक ठळक चिन्ह होय. कुट्टक म्हणजे द्विवर्णसाधें अनियत समीकरण होय. हल्लींचें बीजगणितकार ते अक्ष + बय = क असें मांडतात. पूर्वींचे बीजगणितकार अ ‘या’+र/ इ = 'का' असें मांडीत अ, र, इ हीं रूपें आहेत, त्यांनां अनुक्रमें भाज्य, क्षेप व हार या संज्ञा आहेत. ह्या रूपांच्या साहाय्यानें 'या', 'का' हीं अव्यक्तें साधावयाचीं आहेत. यांनां अनुक्रमें गुण व लाब्धि अशा संज्ञा आहेत. येथें ‘या’, ‘का’ च्या किंमती साधावयाच्या यांचा अर्थ 'धनपूर्णांकात्मक' किंमती असा होय. एरवी एका अव्यक्ताची इष्ट किंमत दुसर्‍याचें मान सहजच साधतां येईल. एतदर्थ भास्करांनी दिलेली रीत येणेंप्रमाणें-
(१)प्रथम अ ‘या’+र/ इ ह्या स्वरूपाच्या अंशच्छेदाला संक्षेप जात असल्यास द्दढभाजाकानें (द्दढभाजक कसा काढावा हेंहि येथेंच सांगितलें आहे) संक्षेप द्यावा मग तें स्वरूप अ या+र/इ असें होईल.
(२) ह्या नूतन भाज्यहारांचे परस्पर भागाकार (द्दढभाजकांत आपण करीत जातों त्याप्रमाणें) बाकी १ उरेपर्यंत करावे.
(३) आलेले सर्व भागाकार, पहिल्याखालीं दुसरा ह्या प्रमाणें मांडावे त्याखालीं नूतन क्षेप व त्याखालीं ० मांडावें ह्या मालिकेस वल्ली म्हणतात.
(४) उपान्स्याकानें वरील अंकास गुणून त्यांत अंतिमांक मिळवावा व हें फल उपोपान्त्य अंकाच्या बदली लिहावें मग अंतिमांक पुसावा. याच प्रमाणें उरलेल्या छोट्या वल्लीलाही करीत जावें. शेवटीं फक्त दोन राशी उरतील.
(५) खालच्या राशीच्या वेळीं हार दुसर्‍या बाकीइतका तासून टाकावा (हारांतून दुसरी बाकी वजा करावी) म्हणजे गुण येईल त्यावरून लब्धि काढावी.

अशा प्रकारचें एक उत्तर काढल्यावर त्याच्या साहाय्यानें अनंत उत्तरें काढतां येतात हेंहि पूर्वबीजकारांस माहीत होतें. तें सूत्र असें आहे कीं ''इष्टाहत स्वस्वहरेण युक्ते ते वा भवेतां बहुधा गुणाप्ती'' नवे गुणलब्धी काढावयाचे असल्यास मिळालेल्या गूणलब्धींत अनुक्रमें हार व भाज्य यांनां एकाच इष्टीनें गुणून आलेले गुणाकार मिळवावे म्हणजे बेरजा नव्या गूणलब्धी होतील जितकीं इष्टें धरावीं तितकीं उत्तरें येतील.

मध्यमाहरणप्रकरण अथवा एकवर्गसमीकरणः- श्रीधराचार्यांच्या ''चतुराहतवर्ग समै रूपैः पक्षद्वयं गुणयेत । अव्यक्त वर्गरूपैक्तौ पक्षो ततोमूलम्'' हा लोक श्लोक प्रसिद्धच आहे. ह्या रीतीचें आधारभूत तत्त्व म्हणजे अव्यक्तपक्ष वर्ग स्वरूपांत दाखविणें हेंच आहे. पण हल्लींच्या क्ष२ च्या गुणाकारानें दोन्ही बाजू भागून मग वर्ग पूर्ण करण्याच्या रीतीपेक्षां ही रीत अधिक सरस आहे. हल्लींच्या रीतींत अपूर्णांक उत्पन्न होण्याचा फार संभव असतो. तो प्रस्तुत रीतींत नाहीं. प्रस्तुत रीत अशीः- अक्ष२ – बक्ष = क ..... मूळ समीकरण.

चतुराहतवर्ग समै रूपैः पक्षद्वंय गुणवेत्’ म्हणजे ४ अनी दोन्ही बाजू गुणाव्या.
४ अ२क्ष२ – ४ अ ब क्ष = ४ अक; नंतर ब२ दोन्ही बाजूला मिळवावा.
४ – अ२क्ष२-४ अबक्ष+ब२=४ अक+ब२ ततोमूलं म्हणजे यापूढें वर्गमूळ. २ अक्ष – ब = ४ अक+ब२ मग ''अव्यक्त पक्षस्य पदेन भूयो व्यक्तस्य पक्षस्य क्रियैव'' म्हणजे अव्यक्त पक्षाचें वर्गमूळ, व व्यक्त पक्षाचें यांचें समीकरण मांडावें. २ अक्ष – ब =४अक+ब२ हें साधें समीकरण झालें, यावरून क्षचें मान निघेल.

असल्या समीकरणांत अव्यक्ताचीं दोन उत्तरें केव्हां येतात हें पुढें सांगितलें आहे. अव्यक्त पक्षाच्या वर्गमूळानंतर त्यांतलीं ऋण रूपें व्यक्त पक्षच्या रूपांपेक्षां अधिक असतील तर दोन उत्तरें येतील व तीं उत्तरें व्यक्तपक्षाचें मूळ एकदां धन व एकदां ॠण धरून काढावीं.

मध्यमाहरण या नांवावरून हल्लींच्या बीजांत धनसमीकरणें, चतुर्घात समीकरणें इत्यादि अवघड समीकरणें सोडवितांना 'एकोन उच्चतम घातदर्शक' पद नाहींसें करण्याच्या रीतीची आठवण होतें जसें:
क्ष३ + अक्ष२ + बक्ष + क =०... मूळ समीकरण. यांतील युक्त पद नाहींसें करावयाचें. समजा, क्ष =(य+ड) य हें नूतन अव्यक्त व डची किंमत ठरवूंया. क्ष बद्दल (य+ड) मांडून (य+ड)३+अ(य+ ड)२ ब(य+ड)+क = ० आतां ‘य’ च्या घातावरून रचना करूंया.
य३ (३ड+अ)य५+(३ड+२अड+ब)य+(य६+अड२+बड+क) = ० यांत अव्यक्त वर्गयुक्त पद नाहींसें करणें आहे. तें त्याचा गुणक शून्य करतां येईल तर घडेल त्यांचा गुणक (३ड+अ) आहे. हा शून्य करण्यास ड =-अ/३ हीं किंमत धरली पाहिजे सामान्यतः 'न' उच्चतम घात असल्यास ड = -अ/न होईल. ही किंमत धरून- य३+(-अ२अ२/३+ब)य+(-अ३/२७+अ३/९-अब/३+क)=० कंस सोडवून इ, उ आले असें समजून य३+इय+उ = ० हें सोडवून यची किंमत काढतां आली तर ‘क्ष’ ची किंमत मिळेल. हें सोडविण्याचा प्रयत्‍न करूं. दोन राशी ख ग च्या किंमती सोईप्रमाणें धरणें आहे. ख, ग हे दोन राशी असल्यानें त्यांच्याकडून आपल्या सोईस लागतील त्या दोन अटी पुर्‍या करूंन घेतां येतील पैकीं पहिली अट ख+ग = य ही धरूं हिचा दिलेल्या समीकरणांत उपयोग करूंन (ख+ग)३+इ(ख+ग)+उ= ० हें रूप झालें. अथवा ख३+ग३+(३ खग+इ) (ख+ग)+उ= ० दुसरी अट, ३ खग+इ = ० ही धरूं उत्थापनानें
ख३+ग३= -उ; व दुसर्‍या अटीवरून खग = -इ/३
ख३ ग३=-इ३/२७; ख३ ग३ च्या किंमती स२+उस –इ३/२७= ० या समीकरणचीं उत्तरें होत.
ख३= -उ/२+ उ२/४+इ/२७

व ग३ =-उ/२- उ२/४+इ३/२७
य = ३{ उ/२+ उ२/४+इ३/२७} + {उ/२- उ/४+इ३/२७}

ह्या पद्धतीस कार्डनची पद्धत असें नावं आहे.

चर्तुर्घातसमीकरणहि असेंच साहाय्यक राशी धरून सोडवितां येईल जसें:- क्ष४+अक्ष३+बक्ष२+कक्ष+उ= ०; ख, ग, च, छ हे साहायक राशी धरून मूळ समीकरण
(क्ष२+खक्ष+ग) (क्ष२+बक्ष+छ)= ० असें समजूं. हा गुणाकार प्रत्यक्ष करूंन मूळ समीकरणाशीं ताडून पहातां अक्ष३ बद्दल गुणाकारांत (ख+ब)क्ष३ आहे; कक्ष बद्दल (खछ+गच)क्ष आहे; इत्यादी. समीकरणें मांडून ख+च = अ
हीं समीकरणें सोडवून ख, ग, च, छ खछ+गच = क
यांच्या किंमती निघतील. पुढें गछ = ड
मग वर्गसमीकरणाचा प्रांत लागला. ग+छ+खच = ब
हें समीकरण चतुर्थ घातापेक्षां कमी घाताचें पाहिजे.

पंचघातांचें समीकरण एका गणितज्ञानें सोडविलें आहे व पुढचीं समीकरणें सोडवितांना त्यांच्यापेक्षां उच्चतम घातांच्या समीकरणांचें साहाय्य घ्यावें लागतें असें सिद्ध झालें आहे. अर्थात हीं समीकरणें सोडविणें अशक्य आहे.

दिलेल्या राशीचे अवयव पाडतांना वराल रीत कधीं कधीं उपयोगी पडते. सामान्यतः एक वर्णाचीं व्यक्तगुणक असलेलीं उच्चतरघातसमीकरणें हॉर्नरच्या रीतीनें सोडवितात ती रीत समीकरणसिद्धांताच्या अखेरीस पाहण्यास मिळेल.

अनेकवर्णमध्यमाहरण (वर्गसमीकरणें):- अलीकडील बीजगणितांत वर्गसमीकरणें, अगर उच्चघातसमीकरणें सोडवितांना दोन पक्षांपैकीं एक पक्ष ० करण्याची चाल आहे. भास्कराचार्य यांच्या बीजांत एक पक्ष वर्गात्मक ठेवण्याची चाल होती (त्यामुळें दुसर्‍या पक्षाची किंमत ॠण होऊं शकणार नाहीं ही अट आपोआपच आली) येणेंप्रमाणें रचना करूंन दुसर्‍या पक्षाचें वर्गमूळ वर्गप्रकृतीच्या पद्धतीनें काढावें सहजासहजीं वर्गप्रकृतीचें स्वरूप उत्पन्न होत नसल्यास ''वर्गप्रकृत्या विषयी यथा स्यात्तथा सुधीभिबहुधा विचिन्स्त्यं'' द्विवर्णवर्गसमीकरणाचें सामान्य स्वरूप म्हणजे इक्ष२+अक्षस+बय१+कक्ष+खय+ग= ०; बीजभूमितींतील या समीकरणाच्या अभ्यासानें आपणांस असें आढळून येईल कीं याचे पांच तर्‍हेचे आलेख असूं शकतात; (१) सरलरेषाद्वय (२) वर्तुल (वलय) (३) प्रवलय (दीर्घ वर्तुल) (४) परवलय (पॅराबोला) (५) सुपरवलय (हायपरबोला) हें समीकरण सोडवून अव्यक्ताच्या धन पूर्णांकात्मक किंमती काढण्याचा आमच्या बीजांत प्रयत्‍न केला आहे. हें मुख्यतः पुढें दिलेल्या तीन स्वरूपांत सांपडतें (१) द्विघातदर्शक तीन पदांचें अस्तित्व, (२) द्विघातदर्शक दोन पदांचें अस्तित्व, (३) द्विघातदर्शक एकपदाचें अस्तित्व. पहिल्या प्रकारचें स्वरूप वर दिलेंच आहे. दुसर्‍या प्राकरामध्यें दोन पोट भाग; प्रथम संभावित समीकरण, दुसरा विभावित समीकरण म्हणजे प्रथम अक्षय+बय२+कक्ष+खग+ग = ० व दुसरा इक्ष२+बय२+कक्ष+खय+ग = ० तिसर्‍या सदरांचेहि दोन पोट भाग होतात; प्रथम, विभावित म्हणजे बय२+कक्ष+खय+ग= ० दुसरा सभावित म्हणजे अक्षय+कक्ष+खय+ग = ०, हा शेवटचा प्रकार सोडविण्याची रीत भावित प्रकरणांत दिली आहे ती अशीः-
अक्षय = -कक्ष – खय – ग नंतर
क्षय =-क/अ क्ष+ख/अ य-ग/अ} –क/अXख/अ-ग/अ चे दोन अवयव काढा. म्हणजे
य = (क्षवा नूतन गुणक+सदर १ अवयव)= क/अ+१ सदर अवयव
क्ष = (यचा नूतन गुणक + सदर दुसरा अवयव).
अशा रीतीनें अवयवांच्या जितक्या जोड्या होतील तशीं क्ष व य चीं मानें भिन्न होतील. कॅजोरीकृत गणितशास्त्र इतिहासांत ही रीत भास्करानीं दिली आहे. असें म्हटलें आहे उपपत्ति:-
क्षय+क/अ क्ष+ ख/अ य+कख/अ२= कख-अग/अ२
(क्ष+ख/अ)(य+क/अ) = एक अवयव X दुसरा अवयव किंवा
=-पहिला अवयव X- दुसरा अवयव
य= क/अ+ एक अवयव, क्ष = ख/अ+ दुसरा अवयव.

आतां बय२+कक्ष+खय+ग= ० ह्या प्रकाराचा विचार करूं. दोन्ही बाजूस ब नें गुणून बखयपैकीं योग्य तेवढे य प्रथम घेऊन समीकरण मांडा.




(बय+म)२+(बक्षक+नय)– घ= ० अथवा कंसाबद्दल नूतन अव्यक्तें धरून उ या२ = मु. का+घ; क्ष य जर पूर्णांकात्मक असतील तर या, का हे पूर्णांकात्मक असलेच पाहिजेत. नवीन समीकरणानें या का चीं पूर्णांक मानें काढलीं म्हणजे पुरें आहे हें नवीन समीकरणें कुट्टकाच्या स्वरूपाचें आहे. विशेष एवढाच कीं लब्धि वर्गरूप आहे. म्हणजे सदर कुट्टक सोडवून लब्धीच्या ज्या अनंत किंमती येतील त्यांतली वर्गरूप तेवढी उचलावी. व ही एक माहीत झालीं म्हणजे 'या' चीं सामान्य मानें कशीं काढावीं हें खालील श्लोकांत दिलें आहे. “तेनाहती (हाराहतो) न्यवर्णां रूपदेशान्वितः कल्प्य:'' म्हणजे या = उ X कोणतहि पूर्णांक [हाच वरील सुत्रांतला अन्य वर्ण होय]+ माहीत झालेंली किंमत (हीं सूत्रांतील रूपें].

'या' चें जरूर असलेलें एक तरी वर्गरूप मान कसें काढावें याची निश्चिततर रीत इंग्रजी बीजगणितांत दिलेली नाहीं.

आता इक्ष२+बय२+कक्ष+खय+ग= ० हें स्वरूप घेतलें. त्याचें
१/४इ [२इक्ष+क]२+ १/४ब [२बय+ख]२+ग-क२/४इ ख२/ ४ब=०

असें रूपांतर करतां येईल इ, ब, क, ख, य हे सर्व पूर्णांक मानले आहे. कारण रूपांतर करण्यापूर्वीं छंदांच्या साधारण भाज्यानें दोन्ही बाजूस गुणून सर्व गुणक पूर्णांक होतील. रूपान्तरानंतर पुनश्च छेदाच्या ल. साधारण भाज्यानें दोन्ही बाजू गुणून व कंसाबद्दल नूतन अव्यक्तें धरून
च या२+छ का२+ज = ० स्वरूप प्राप्त होईल.

हें पुढें कसें सोडवावयाचें तें वर्गप्रकृति- चक्रवाल प्रकरणीं समजेल.

आतां अ क्षय+वय२+कक्ष+खय ग+= ० हें स्वरूप घेऊं हें सोडविण्याचे दोन प्रकार आहेत (१) वर्णमय भागाचे व रूपभागाचे अवयव पाडून त्यांचें समीकरण मांडून अगर (२) वर्गप्रकृतीचा विषय बनवून.
प्रकार पहिलाः- {अक्ष+बय+(ख-बक/अ)} {य+क/अ}

= क(खअ-बक)/अ२ -ग

अथवा छेद नाहींसे करूंन [अ२ क्ष+अबय+(अख-बक)] (अय+क) = क (अख – बक) -अ२ ग
डाव्या बाजूचे अवयव पूर्णांक असल्यानें उजव्या बाजूचे पूर्णांक असें दोन अवयव पाडून

डाव्या बाजूचा एक अवयव = उजव्या बाजूचा एक अवयव
डाव्या बाजूचा दुसरा अवयव = उजव्या बाजूचा दुसरा अवयव अशीं समीकरणें मांडून क्ष य च्या किंमती काढाल्या योग्य जोड झाल्यास व उदाहरण शक्य असल्यास पूर्णांकात्मक उत्तरें येतील.
प्रकार दुसरा:-

क्ष = प का – फ या यांत का, या हीं नूतन अव्यक्तें
य = फ का+ प या व प फ हे स्वेच्छ गुणक आहेत.

अर्थात यांच्याकडून आपणांस दोन अटी पुरत्या करूंन घेतां येतील. पैकीं एक म्हणजे प२+फ२= क्ष२+य२/ का२+या२ ही वरील समीकरणाद्वयांत अन्तूर्भत आहे व दुसरी म्हणजे क्ष य च्या ह्या किंमती दिलेल्या समीकरणांत घातल्यास त्यांत भाविताचें पद उरूं नये किंमती घालूनः-
अ(फका–फया) (पका+पया)+ब (फका+पया )२ क (पका–फया)+ ख (फका+ पया)+ग = ०
सोडवून: का२(अपफ+बफ)+या२ (बप२-अपफ)+काया (अप२+२बपफ–अफ२)+क (कप+खफ)+या (खप-कफ)+ग = ०
प, फ ची दुसरी अट २पफ/ फ२-प२= अ/ब अशी धरावी
म्हणजे भावित पद गुप्त होईल. मग हें स्वरूप:-
इक्ष२+बय२+कक्ष+खय+ग=०ह्या स्वरूपाचें झालें. त्याप्रमाणें पुढें सोडवावें.

आतां उरला प्रकार इक्ष२+अक्षय+बय२+कक्ष+खय+ग=० हा वरील प्रकाराप्रमाणें वर्णगत भाग व रूपमय भाग यांचे अवयव पाडून अगर वर्गप्रकृतीचा विषय करूंन सोडवावा.

एथपर्यंत दिलेले प्रकार इंग्रजी बीजगणितांत सांपडतात, पण यांशिवाय कांहीं वर्गसमीकरणें सोडविण्याच्या (अकरणी उत्तरें) दोन रीति दिल्या आहेत. त्याहि आमच्या बीजकारास भूषणभूत आहेत यांत शंका नाहीं. त्या अशा:-

सभाविते वर्णकृती तु यत्र तन्मूलमादायच शेषकस्य॥
इष्टोद्धृतस्येष्टविवर्जितस्य दलेन तुल्यंहि तदेव कार्यं ॥
[ज्या उदाहरणीं दोन वर्णांचे वर्ग भावित पदानें युक्त असतील (दुसरा पक्ष आचार्यांच्या नेहमींच्या पद्धतीप्रमाणें वर्गात्मक असतोच) तेथें वर्णद्वयापैकीं एकाची उन्मिति (पूर्वींच्या सूत्रांत अशीच उन्मिती काढण्याची रीत दिली आहे) काढण्यास दिलेल्या पक्षाचें वर्गमूळ काढून वा कीला इष्टानें भागून भागाकारांतून इष्ट वजा करूंन अर्ध करावें व ह्या अर्धाबरोबर वर्गमूलसमीकरण करावें) हेंच अर्वाचीन बीजपरिभाषेनें क्ष२+क्षय+य२ = ज्ञ२ होय.
{२क्ष/य+१}२+३= ४ज्ञ२/य
३= { २ज्ञ/य+२क्ष/य+१} {२ज्ञ/य – २क्ष/य-१ }

३ बाकी, हवे तसे अवयव पाडा, (इष्ठानें भागा म्हणजे इष्ट व भागाकार अवयव होतील).मग २ज्ञ/य+२क्ष/य+१= एक अवयव.
२(२क्ष/य+१)= अवयवांतर २ज्ञ/य-२क्ष/य-१ = अन्य
२क्ष/य+१= अवयवांन्तर यावरून क्ष ची उन्मिती
म्हणजे वर्गमूल= अन्तर२/२ क्ष=य/२ {अन्तर/२-१}.

दुसरे उदाहरणः अक्ष२+बय२ - क = ज्ञ२ येथें क्ष ची उन्मिती
अ(मय+न)२ बय२ - क = ज्ञ२ क्ष = मय+ न धरूं
य२ (अम२+ब) २ म अनक्ष (अन२- क) = ज्ञ२
डाव्या बाजूची किंमत पूर्णवर्ग आहे.
[मध्यम/२]= आदिXअंत.


म२अ२न२= (अम२+ब)(अन२ – क) = अ२म२न२
= -अकम२+अबन२ – बक
०= -अकम२+अबन२-बक
म = {ब(अन२-क)/कअ} क्ष य च्या अकरण किंमती याव्या एतदर्थ म आणि न यांच्या अकरणी किंमती काढणें जरूर आहे. भास्कराचार्यानीं या सूत्राचीं जीं दोन उदाहरणें दिलीं आहेत. त्यांत ब/कअ हें पूर्ण होण्याजोग्या किंमती दिल्या आहेत. म्हणून ‘म’ ची अकरणी किंमत अन२ - क = वर्ग; हें समीकरण सोडविण्यास त्यांनीं सांगितलें व ही 'न' ची किंमत म ची किंमत काढतांनां धरावी व त्यावरून पुढें क्ष ची किंमत येईल.

सूचनाः- अ, ब, क च्या किंमती ब/अक हें पूर्ण वर्ग करण्याजोग्या नसतील तर
म= अबक(अन२-क/अक

‘म’ च्या अकरणी किंमती काढण्यास अ२बक न२-अबक२=वर्ग [अथवा सुलभतर समीकरण म्हणजे बक {अन/क}२-अब= वर्ग हें सोडवून 'न' ची किंमत काढावी.]

ही रीत सांगून झाल्यावर अक्ष२+बय२+क = ज्ञ२ या समीकरणांत ती लागू पडत नसल्यानें ५ या२+८का२+२३ = ना२ हें समीकरण कसें सोडवाल असें विचारलें आहे.

वर्गप्रकृति:- या प्रकरणांस वर्गप्रकृति हें नांव कां पडलें याचा उल्लेख सांपडत नाहीं. अक्ष२+ब= य२ या समीकरणांत अला प्रकृति, क्षला र्‍हस्व, बला क्षेपक व यला ज्येष्ठमूल असें म्हणतात. अ, ब धनपूर्णांक आहेत असें धरूं. कारण अपूर्णांक गुणक असतां छेदाच्या लघुतम. सा. भाज्यानें दोन्ही बाजूस गुणलें असतां वरील स्वरूपाचें समीकरण उत्पन्न करतां येईल. क्ष य च्या किंमती मिथोद्दढ आहेत, कारण 'न' हा साधारण अवयव असल्यास न२ नें दोनी भागून समीकरण आटपसर करावें या प्रकरणांत (वर्गाची) प्रकृति म्हणजे गुणक कायम ठेवून होणार्‍या सिद्धांताचा विचार केला आहे म्हणून यास कदाचित् वर्गप्रकृति हें नांव पडलें असेंल. प्रथम अक्ष२+१ = य२ हें सोडविण्याची रीत अशीः-
क्ष =२म/अ-म२; य =अ+म२/अ-म२ येथें 'म' ला हवी ती अकरणी किंमत द्यावी. याच्या साहाय्यानें अक्ष२+ब = य२ हें समीकरण सोडविणें.
सिद्धांतः- कया२+ख = का२ या दोन समीकणांत र्‍हस्व
कनी२+ग = पी२ ज्येष्ठाच्या किंमती माहीत

असल्या तर त्यांवरून
क [यापी+कानी]२+खग = [कापी+कयानी]२ हें समीकरण मांडतां येतें.

म्हणून अक्ष२+ब = य२ या समीकरणाचें एक उत्तर माहीत झालें तर बाकीचीं सर्व उत्तरें अशीं काढावीं:- क्ष = प, य = फ हें पहिलें उत्तर समजूं. अप२+ब = फ२

त्याचप्रमाणें अ[ २म/अ-म२]२+१= [अ+म२/ अ-म२]२
नूतन समीकरण अ { प अ+म२/अ-म२ + फ २म/अ-म२}२ + ब.१=
{फ. अ+म२/अ-म२+अ.प. २म/अ-म२}२



क्ष = प(अ+म२)+२मफ/अ-म२
य = फ(अ+म२)+२अपम/अ-म२

यांत 'म' ला आपण दिलेल्याप्रत्येक किंमतीसारशी क्ष. य च्या किंमती येतील. हें स्वरूप इंग्रजी बीजगणितांत दिलेल्या स्वरूपांपेक्षां भिन्न आहे. हें लक्षांत ठेवावें. आतां हें पहिलें उत्तर कसें काढावें हें 'चक्रवाल’) प्रकरणीं सांगितलें आहे.

चक्रवाल (वर्गप्रकृति):- दिलेली प्रकृति कायम ठेवून आपणांस वाटेल ते र्‍हस्व ज्येष्ठ क्षेपक ठरवावे. मग अनुक्रमें ह्या र्‍हस्व ज्येष्ठ क्षेपकांनां भाज्य, प्रक्षेप, भाजक मानून कुट्टकाच्या रीतीनें गुणलब्धि काढावी. व तो गुण घ्यावा कीं ज्याच्या वर्गांतून प्रकृति अथवा प्रकृतींतून ज्याचा वर्ग वजा टाकला असतां बाकी अल्प राहील. ह्या बाकीला पूर्वक्षेपानें भागून येणारा भागाकार नूतन क्षेप समजावा. या नूतनक्षेपाचें चिन्ह गुणवर्ग प्रकृतीपेक्षां मोठा असतां पूर्वक्षेपाचेंच असतें व गुणवर्ग लहान असतां पूर्वक्षेपाच्या विरूद्ध चिन्ह असतें. आलेली लुब्धि नूतन र्‍हस्व होईल या दोघांच्या साहाय्यानें नूतन ज्येष्ठ साधावें. यांपासून पुन्हां पुन्हां कुट्टकानें नूतनतर र्‍हस्व ज्येष्ठ क्षेप साधावे. अशा रीतीनें क्षेप कमी कमी करीत+१ क्षेपावर नेण्याची ही भावना म्हणजे रीत आहे (अशारितीनें करीत गेल्यास कांहीं वेळानें तेच क्षेप क्रमानें येऊं लागतात) पूर्वीं एकदां आलेले क्षेप टाकून बाकीच्या क्षेपांस (क्षेपचक्रास) चक्रवाल असें म्हणतात. उदाहरणांत दिलेला क्षेपक ह्या चक्रापैकीं एक असला तर र्‍हस्व ज्येष्ठ पूर्णांकात्मक येतील.

हें क्षेपचक्र उत्पन्न करण्याकरितां पहिले र्‍हस्व १ व ज्येष्ठ प्रकृतीच्या वर्गमूलांकाइतकें धरावे. व पुढें कुट्टक करीत जावें नूतनक्षेप पूर्वक्षेपापेक्षां कमी पण त्याच्या शक्य तितका जवळ असावा.

इंग्रजी बीजगणितांतून दिलेल्या रितीपेक्षां ही रीत बरीच सरस वाटते. कारण दिलेला क्षेप प्रकृतीच्या वर्गमूलापेक्षां मोठा असतां जो खटाटोप सांगितला आहे तो सर्व वज्राभ्याससूत्रानें वाचतो, कारण असा क्षेप क्षेपचक्रापैकीं ज्यांचा गुणाकार असेंल त्या क्षेपानुषंगी र्‍हस्व ज्येष्ठें घेऊन सदर सूत्रानें प्रश्नाचें उत्तर काढावें.

दिलेला क्षेप प्रकृतीच्या वर्गमूलापेक्षां मोठा व अविभाज्य असतां तें उदाहरण दुसर्‍या लघुतर क्षेपाच्या उदाहरणावर अवलंबून आहे असें दाखवावें लागतें हेचं कारण पंरपरेचें साम्य दिलेला क्षेप प्रकृतिमूलापेक्षां लहान असतांहि लागू पडतें. संस्कृत रीतींत हें ध्यानांत ठेवून दिलेला क्षेप प्रकृतिमूलापेक्षां लहान कीं मोठा हें पहाण्याची जरूरीच ठेविली नाहीं.

इंग्रजी रीतींत जें क्षेपचक्र (वल्ली) उत्पन्न होतें त्यांत तोच क्षेप पुन्हां आल्यास सोडण्याचें कारण नाहीं. त्यायोगें दोन स्वतंत्र उत्तरसमूह येतात असें म्हटलें आहे. पण हें खोटें आहे; कारण इंग्रजी मताप्रमाणें क्ष२ - १३ य२ =+४ ज ह्याचीं (११)२ - १३ (३)२ = ४ व ११९२ - १३ (३३)२ = ४ ह्यावरून दिसणारीं [११;३] व [११९;३३] हीं उत्तरें स्वतंत्र होत. आतां वर्गप्रकृतिप्रकरणीं दिलेली क्ष ची सामान्य किंमत प (अ+म२)+२ मफ/अ-म२ घ्या. तींत
प= ३, फ= ११, अ= १३ व म= ३ मांडल्यास

क्ष = ३(१३+९)+२. ३. ११/ १३-९
= ३. २२+३.२२/ ४
= ६.२२/४ = ३३
यावरून दिसून येईल कीं, क्ष च्या ३, व ३३ ह्या किमती स्वतंत्र नसून परस्परावलंबी आहेत.



आतां आपण १५क्ष२+६१ = य२ हें उदाहरण सोडवूं येथें क्षेप ६१ अविभाज्य म्हणून येथें क्षेपचक्र व वज्राभ्याससूत्र यांचा उपयोग होणार नाहीं. येथें क्ष,य यांनां इष्ट किंमती धरून क्षेप ६१ पेक्षां मोठा साधूंया म्हणजे कुट्टक साहाय्यानें ६१ क्षेपावर येतां येईल हा साधला जाणारा क्षेप केवढा मोठा असावा याविषयीं इंग्रजी रीतीवरून सूचना घेतां येईल ती ही कीं सदर क्षेप इष्ट क्षेपाच्या (दुप्पट - १) पेक्षां लहान नसावा क्ष, य यांना अनुक्रमें ४, १९ या किंमती देऊन १५.४२+१२१ = १९२ यावरून कुट्टक

४गु+१९/१२१= ल

हें सोडवून गुण = ८६, ... ... ... ल = ३ ... . ... ...
नूतन क्षेप = ८६२-१५/१२१ =६१

एक उत्तर १२३२ ६१ = १४२ यावरून [३,१४] असें झालें. यावरून वर्गप्रकृतिप्रकरणी क्ष, य च्या दिलेल्या सामान्य किंमतीच्या साहाय्यानें सर्व उत्तरें मांडतां येतील.

पूर्णांकात्मक मानें असतां अपूर्णांकात्मक मानें 'क्ष' च्या संस्कृत रीतींत दिलेल्या सामान्य मानावरून येतील एवंच संस्कृत रीतींचा कटाक्ष अकरणी(रॅशनल) मानें काढण्याकडे आहे. इंग्रजी रीतीनें फक्त पूर्णांकात्मक मानें कळतात. संस्कृत रीत व्यापक आहे.

एखाद्या उदाहरणीं पूर्णांक मानें आहेत कीं नाहीं. हें क्षेपचक्रावरून समजेल. दत्तक्षेप प्रकृतिमूलापेक्षां मोठा असतां उदाहरणाची शक्याशक्यता पाहणें असतां दत्तक्षेप सांगितलेल्या कुट्टकसाहाय्य रीतीनें कमी कमी करीत असतां हे नूतन क्षेप क्षेप चक्रांत सांपडले तर उदाहरण शक्य आहे. एरवी नाहीं.

अक्ष२ – १ = य२ हें उदाहरण 'अ' जर वर्गयोग (दोन वर्गांची बेरीज) नसेल तर शक्य नाहीं आणि उदाहरण शक्य असेंल तर सदर दोन वर्ग (शोधून) काढा. त्यांच्या वर्गमूलांनीं पहिला भागून जे दोन भागाकार त्या र्‍हस्वाच्या दोन किंमती होतील यांतील व्यावहाररिक अडचण (दोन वर्ग शोधून काढण्याची] लक्षांत येऊन आचार्य पुढें म्हणतात. ''पूर्ववत् वा प्रसाध्येते पदे रूपविशोधने।'' हें सूत्र येथें सांगण्याचा उद्देश इतकाच कीं, शक्याशक्यतेच्या क्षेप चक्रावलंबी अटीशिवाय आणखी एक वैकल्पिक अट आमच्या बीजकारांनां सुचली होती [लेखक एच्. जी. इनामदार. बी. ए.]

   

खंड १८ : बडोदे - मूर  

 

 

 

  बदकें
  बदक्शान
  बंदनिके
  बंदर
  बदाउन
  बदाम
  बदामी
  बदौनी
  बद्धकोष्ठता
  बद्रिनाथ
  बनजिग
  बनारस
  बनास
  बनिया
  बनूर
  बनेड
  बनेरा
  बन्नू
  बफलो
  बब्रुवाहन
  बयाना
  बयाबाई रामदासी
  बरगांव
  बरद्वान
  बरनाळ
  बरपाली
  बरहामपूर
  बराकपूर
  बरांबा
  बरिपाडा
  बरी साद्री
  बरेंद्र
  बरेली
  बॅरोटसेलॅंड
  बरौंध
  बर्क, एडमंड
  बर्झेलियस
  बर्थेलो
  बर्थोले
  बर्न
  बर्नार्ड, सेंट
  बर्नियर, फ्रान्सिस
  बर्न्स
  बर्बर
  बर्मिगहॅम
  बर्लिन
  ब-हाणपूर
  ब-हानगर
  बलबगड
  बलराम
  बलरामपूर
  बलसाड
  बलसान
  बलसोर
  बलि
  बलिजा
  बलिया
  बली
  बलुचिस्तान
  बलुतेदार
  बल्गेरिया
  बल्ख
  बल्लारी
  बल्लाळपूर
  बव्हेरिया
  बशहर
  बसरा
  बसव
  बसवापट्टण
  बसार
  बॅसुटोलंड
  बसेन
  बस्तर
  बस्ती
  बहरैच
  बहाई पंथ
  बहादूरगड
  बहादुरशहा
  बहामनी उर्फ ब्राह्मणी राज्य
  बहामा बेटें
  बहावलपूर
  बहिणाबाई
  बहिरवगड
  बहिरा
  बहुरुपकता
  बहुरुपी
  बहुसुखवाद
  बॉइल, राबर्ट
  बांकीपूर
  बांकु
  बांकुरा
  बांगरमी
  बागलकोट
  बागलाण
  बागेवाडी
  बाघ
  बाघपत
  बाघल
  बाघेलखंड
  बाजबहादूर
  बाजरी
  बाजी पासलकर
  बाजी प्रभू देशपांडे
  बाजी भीवराव रेटरेकर
  बाजीराव बल्लाळ पेशवे
  बाटुम
  बांडा
  बाणराजे
  बांतवा
  बादरायण
  बांदा
  बानर्जी सर सुरेंद्रनाथ
  बाप्पा रावळ
  बार्फिडा
  बाबर
  बाबिलोन
  बाबिलोनिया
  बांबू
  बाबूजी नाईक जोशी
  बाभूळ
  बाभ्रा
  बायकल सरोवर
  बायजाबाई शिंदे
  बायरन, जॉर्ज गॉर्डन
  बायलर
  बारगड
  बारण
  बारपेटा
  बारबरटन
  बारबरी
  बारमूळ
  बारमेर
  बारवल
  बारसिलोना
  बाराबंकी
  बारामती
  बारा मावळें
  बारिया संस्थान
  बारिसाल
  बारी
  बार्कां
  बार्डोली
  बार्बाडोज
  बार्लो, सर जॉर्ज
  बार्शी
  बालकंपवातरोग
  बालवीर
  बालाघाट
  बालासिनोर
  बाली
  बाल्कन
  बाल्टिमोर
  बाल्तिस्तान
  बावडेकर रामचंद्रपंत
  बावरिया किंवा बोरिया
  बावल निझामत
  बाशीरहाट
  बाष्कल
  बाष्पीभवन व वाय्वीभवन
  बांसगांव
  बांसडा संस्थान
  बांसदी
  बांसवाडा संस्थान
  बासी
  बांसी
  बासोडा
  बास्मत
  बाहवा
  बाहलीक
  बाळंतशेप
  बाळाजी आवजी चिटणवीस
  बाळाजी कुंजर
  बाळाजी बाजीराव पेशवे
  बाळाजी विश्वनाथ पेशवे
  बाळापुर
  बिआवर
  बिआस
  बिकानेर संस्थान
  बिकापूर
  बिक्केरल
  बिजना
  बिजनी जमीनदारी
  बिजनोर
  बिजली
  बिजा
  बिजापूर
  बिजावर संस्थान
  बिजोलिया
  बिज्जी
  बिझान्शिअम
  बिठूर
  बिथिनिया
  बिधून
  बिनामी व्यवहार
  बिनीवाले
  बिब्बा
  बिभीषण
  बिमलीपट्टम
  बियालिस्टोक
  बिलग्राम
  बिलदी
  बिलाइगड
  बिलारा
  बिलारी
  बिलासपूर
  बिलिन
  बिलिन किंवा बलक
  बिलोली
  बिल्हण
  बिल्हौर
  बिशमकटक
  बिश्नोई
  बिष्णुपूर
  बिसालपूर
  बिसोली
  बिस्मत
  बिसमार्क द्वीपसमूह
  बिस्मार्क, प्रिन्स व्हॉन
  बिस्बान
  बिहट
  बिहारीलाल चौबे
  बिहोर
  बीकन्स फील्ड
  बीजगणित
  बीजभूमिती
  बीट
  बीड
  बीरबल
  बीरभूम
  बुखारा
  बुखारेस्ट
  बुजनुर्द
  बुडापेस्ट
  बुंदी
  बुंदीन
  बुंदेलखंड एजन्सी
  बुद्ध
  बुद्धगथा
  बुद्धघोष
  बुद्धि
  बुद्धिप्रामाण्यवाद
  बुध
  बुन्सेन
  बुरुड
  बुलढाणा
  बुलंदशहर
  बुलबुल
  बुल्हर, जे. जी.
  बुशायर
  बुसी
  बुहदारण्यकोपनिषद
  बृहन्नटा
  बृहन्नारदीय पुराण
  बृहस्पति
  बृहस्पति स्मृति
  बेकन, फ्रॅन्सिस लॉर्ड
  बेगुन
  बेगुसराई
  बेचुआनालँड
  बेचुना
  बेझवाडा
  बेझोर
  बेंटिंक, लॉर्ड विल्यम
  बेट्टिहा
  बेडन
  बेडफर्ड
  बेथेल
  बेथ्लेहेम
  बेदर
  बेन, अलेक्झांडर
  बेने-इस्त्रायल
  बेन्थाम, जर्मी
  बेमेतारा
  बेरड
  बेरी
  बेरीदशाही
  बेल
  बेल, अलेक्झांडर ग्राहाम
  बेलग्रेड
  बेलदार
  बेलफास्ट
  बेलफोर्ट
  बेला
  बेलापूर
  बेला प्रतापगड
  बेलिझ
  बेलूर
  बेल्जम
  बेस्ता
  बेहडा
  बेहरोट
  बेहिस्तान
  बेळगांव
  बेळगामी
  बैकल
  बैगा
  बैजनाथ
  बैझीगर
  बैतूल
  बैरागी
  बैरुट
  बोकप्यीन
  बोकेशियो
  बोगले
  बोगार
  बोगोटा
  बोग्रा
  बोटाड
  बोडीनायक्कनूर
  बोडो
  बोघन
  बोधला माणकोजी
  बोनाई गड
  बोनाई संस्थान
  बोपदेव
  बोबीली जमीनदारी
  बोर
  बोरसद
  बोरसिप्पा
  बोरिया
  बोरिवली
  बोर्डो
  बोर्नमथ
  बोर्निओ
  बोलनघाट
  बोलपूर
  बोलिव्हिया
  बोलीन
  बोलुनद्रा
  बोल्शेविझम
  बोस्टन
  बोहरा
  बोळ
  बौद
  बौधायन
  बौरिंगपेठ
  ब्युनॉस आरीस
  ब्रॅडफोर्ड
  ब्रॅंडफोर्ड
  ब्रश
  ब्रह्म
  ब्रह्मगिरि
  ब्रह्मगुप्त
  ब्रह्मदेव
  ब्रह्मदेश
  ब्रह्मपुत्रा
  ब्रह्मपुरी
  ब्रह्मवैवर्त पुराण
  ब्रह्म-क्षत्री
  ब्रम्हांडपुराण
  ब्रह्मेंद्रस्वामी
  ब्राउनिंग रॉबर्ट
  ब्रॉकहौस, हरमन
  ब्राँझ
  ब्राझील
  ब्रायटन
  ब्राहुइ
  ब्राह्मण
  ब्राह्मणबारिया
  ब्राह्मणाबाद
  ब्राह्मणें
  ब्राह्मपुराण
  ब्राह्मसमाज
  ब्रिटन
  ब्रिटिश साम्राज्य
  ब्रिडिसी
  ब्रिस्टल
  ब्रुंडिसियम
  ब्रुनेई
  ब्रुन्सविक
  ब्रूसेल्स
  ब्रूस्टर, सर डेव्हिड
  ब्रेमेन
  ब्रेस्लॉ
  ब्लॅक, जोसेफ
  ब्लॅंक, मॉन्ट
  ब्लॅव्हॅट्रस्की, हेलेना पेट्रोव्हना
  ब्लोएमफाँटेन
 
  भक्कर
  भक्तिमार्ग
  भगंदर
  भंगी
  भगीरथ
  भज्जी
  भटकल
  भटिंडा
  भटोत्पल
  भट्टीप्रोलू
  भट्टोजी दीक्षित
  भडगांव
  भडभुंजा
  भंडारा
  भंडारी
  भंडीकुल
  भडोच
  भद्राचलस्
  भद्रेश्वर
  भमो
  भरत
  भरतकाम
  भरतपूर
  भरथना
  भरवाड
  भरहुत
  भरिया
  भर्तृहरि
  भवभूति
  भवया
  भवानी
  भविष्यपुराण
  भस्मासुर
  भागलपूर
  भागवतधर्म
  भागवतपुराण
  भागवत राजारामशास्त्री
  भागीरथी
  भाजीपाला
  भाजें
  भाट
  भाटिया
  भांडारकर, रामकृष्ण गोपाळ
  भात
  भांदक
  भादौरा
  भाद्र
  भानसाळी
  भानिल
  भानुदास
  भानुभट्ट
  भाबुआ
  भामटे
  भारतचंद्र
  भारवि
  भालदार
  भालेराई
  भावनगर
  भावलपूर
  भावसार
  भाविणी व देवळी
  भावे, विष्णु अमृत
  भाषाशास्त्र
  भास
  भास्करराज
  भास्कर राम कोल्हटकर
  भास्कराचार्य
  भिंगा
  भितरी
  भिंद
  भिंदर
  भिनमाल
  भिलवाडा
  भिलसा
  भिल्ल
  भिवंडी
  भिवानी
  भीम
  भीमक
  भीमथडी
  भीमदेव
  भीमदेव भोळा
  भीमसिंह
  भीमसेन दीक्षित
  भीमस्वामी
  भीमा
  भीमावरम्
  भीमाशंकर
  भीष्म
  भीष्माष्टमी
  भुइनमाळी
  भुइया
  भुईकोहोळा
  भुईमूग
  भुंज
  भुवनेश्वर
  भुसावळ
  भूगोल
  भूतान
  भूपालपट्टणम्
  भूपृष्ठवर्णन
  भूमिज
  भूमिती
  भूर्जपत्र
  भूलिया
  भूषणकवि
  भूस्तरशास्त्र
  भृगु
  भेडा
  भेडाघाट
  भेंडी
  भैंसरोगड
  भोई
  भोकरदन
  भोगवती
  भोग्नीपूर
  भोज
  भोजपूर
  भोनगांव
  भोनगीर
  भोंपळा
  भोपावर एन्जसी
  भोपाळ एजन्सी
  भोपाळ
  भोर संस्थान
  भोलथ
  भौम
 
  मकरंद
  मका
  मॅकीव्हेली, निकोलोडि बर्नाडों
  मक्का
  मक्रान
  मॅक्समुल्लर
  मॅक्सवेल, जेम्स क्लार्क
  मक्सुदनगड
  मंख
  मखतल
  मग
  मॅगडेबर्ग
  मगध
  मगरतलाव
  मंगरूळ
  मंगल
  मंगलदाइ
  मंगलोर संस्थान
  मंगलोर
  मगवे
  मंगळ
  मंगळवेढें
  मंगोल
  मंगोलिया
  मग्न
  मंचर
  मच्छली
  मच्छलीपट्टण
  मच्छी
  मंजटाबाद

  मंजिष्ट

  मंजुश्री
  मजूर
  मज्जातंतुदाह
  मज्जादौर्बल्य
  मंझनपूर
  मझारीशरीफ
  मटकी
  मट्टानचेरि
  मंडनमिश्र
  मंडय
  मंडला
  मंडलिक, विश्वनाथ नारायण
  मंडाले
  मंडावर
  मँडिसन
  मंडी
  मंडेश्वर
  मंडोर
  मढी
  मढीपुरा
  मणिपूर संस्थान
  मणिपुरी लोक
  मणिराम
  मणिसंप्रदाय
  मणिहार
  मतिआरी
  मंत्री
  मत्स्यपुराण
  मत्स्येंद्रनाथ
  मंथरा
  मथुरा
  मथुरानाथ
  मदकसीर
  मदनपल्ली
  मदनपाल
  मदनपूर
  मदपोल्लम्
  मदय
  मंदर
  मंदार
  मदारीपूर
  मदिना
  मदुकुलात्तूर
  मदुरा
  मदुरांतकम्
  मद्दगिरिदुर्ग
  मद्रदूर
  मद्रदेश
  मद्रास इलाखा
  मध
  मधान
  मधुकैटभ
  मधुच्छंदस्
  मधुपुर
  मधुमती
  मधुमेह
  मधुरा
  मधुवन
  मधुवनी
  मध्यअमेरिका
  मध्यदेश
  मध्यप्रांत व व-हाड
  मध्यहिंदुस्थान
  मध्व
  मन
  मनकी
  मनमाड
  मनरो, जेम्स
  मनवली
  मनसा
  मनु
  मनूची
  मनोदौर्बल्य
  मन्नारगुडी
  मम्मट
  मय लोक
  मयासुर
  मयूर
  मयूरभंज संस्थान
  मयूरसिंहासन
  मराठे
  मरु
  मरुत्
  मरुत्त
  मलकनगिरी
  मलकापुर
  मलबार
  मलबारी, बेहरामजी
  मलय
  मलयालम्
  मलाका
  मलायाद्विपकल्प
  मलाया संस्थाने
  मलायी लोक
  मलिक महमद ज्यायसी
  मलिकअंबर
  मलेरकोटला
  मल्हारराव गायकवाड
  मल्हारराव होळकर
  मसूर
  मसूरी
  मॅसेडोनिया
  मस्कत
  मस्तकविज्ञान
  मस्तिष्कावरणदाह
  महबूबनगर
  महंमद पैगंबर
  महंमदाबाद
  महमुदाबाद
  महमूद बेगडा
  महाकाव्य
  महारान, गोविंद विठ्ठल
  महाजन
  महाड
  महाडिक
  महादजी शिंदे
  महानदी
  महानुभावपंथ
  महाबन
  महाबळेश्वर
  महामारी
  महायान
  महार
  महाराजगंज
  महाराष्ट्र
  महाराष्ट्रीय
  महालिंगपूर
  महावंसो
  महावस्तु
  महावीर
  महासंघ
  महासमुंड
  महिदपूर
  महिंद्रगड
  महिषासुर
  मही
  महीकांठा
  महीपति
  महू
  महेंद्रगिरि
  महेश्वर
  माकड
  माकमइ संस्थान
  माग
  मांग
  माँगकंग संस्थान
  मागडी
  माँगनाँग संस्थान
  माँगने संस्थान
  मांगल संस्थान
  मांचूरिया
  मांजर
  माजुली
  मांझा प्रदेश
  माझिनी
  माँटगॉमेरी
  माँटेग्यू एडविन सॅम्युअल
  माँटेनीग्रो
  मांडक्योपनिषद
  माड्रीड
  माढें
  माणगांव
  मातृकन्यापरंपरा
  माथेरान
  मादण्णा उर्फ प्रदनपंत
  मादागास्कर
  मादिगा
  माद्री
  माधव नारायण (सवाई)
  माधवराव पेशवे (थोरले)
  माधवराव, सरटी
  माधवाचार्य
  मांधाता
  माध्यमिक
  माण
  मानभूम
  मानवशास्त्र
  मानससरोवर
  मानाग्वा
  मानाजी आंग्रे
  मानाजी फांकडे
  माने

  मॉन्स

  मामल्लपूर
  मॉम्सेन
  मायकेल, मधुसूदन दत्त
  मायफळ
  मायराणी

  मॉयसन, हेनरी

  मायसिनियन संस्कृति
  माया
  मायावरम् 
  मायूराज
  मारकी
  मारकीनाथ
  मारवाड
  मारवाडी
  मॉरिशस
  मार्कंडेयपुराण
  मार्क्स, हीनरिच कार्ल
  मार्मागोवें
  मार्संलिस
  मालवण
  मालिआ
  मालिहाबाद
  मालेगांव
  मालेरकोट्ला संस्थान
  मालोजी
  माल्टा
  माल्डा

  माल्थस, थॉमस रॉबर्ट

  मावळ
  माशी
  मासा
  मास्को
  माही
  माहीम
  माळवा
  माळशिरस
  माळी
  मिंटो लॉर्ड
  मित्र, राजेंद्रलाल डॉक्टर
  मिथिल अल्कहल
  मिथिला (विदेह)
  मिदनापूर
  मिनबु
  मियानवाली
  मिरची
  मिरजमळा संस्थान
  मिरज संस्थान
  मिराबाई
  मिराबो ऑनोरे गॅब्रिएल 
  मिराशी
  मिरासदार
  मिरीं
  मिर्झापूर
  मिल्टन, जॉन
  मिल्ल, जॉन स्टुअर्ट
  मिशन
  मिशमी लोक
  मिस्त्रिख
  मिहिरगुल
  मीकतिला
  मीकीर
  मीठ
  मीडिया
  मीना
  मीमांसा
  मीरगंज
  मीरजाफर
  मीरत
  मीरपूर बटोरो
  मीरपूर-माथेलो
  मीरपूर-साक्रो
  मुकडेन
  मुकुंद
  मुक्ताबाई
  मुक्तिफौज
  मुक्तेश्वर
  मुंगेली
  मुंजाल
  मुझफरगड
  मुझफरनगर
  मुझफरपूर
  मुंडा
  मुण्डकोपनिषद
  मुद्देबिहाळ
  मुद्रणकला
  मुधोळ संस्थान
  मुंबई
  मुबारकपूर
  मुरबाड
  मुरसान
  मुरळी
  मुरादाबाद
  मुरार- जगदेव
  मुरारराव घोरपडे
  मुरी
  मुर्शिद कुलीखान
  मुर्शिदाबाद
  मुलतान
  मुलाना
  मुसीरी
  मुसुलमान
  मुस्तफाबाद
  मुळा
  मूग
  मूतखडा
  मूत्रपिंडदाह
  मूत्राशय व प्रोस्टेटपिंड
  मूत्रावरोध
  मूत्राशयभंग
  मूर

 

   

यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान निर्मित महत्वपूर्ण संकेतस्थळे  

   

पुजासॉफ्ट, मुंबई द्वारा निर्मित
कॉपीराइट © २०१२ --- यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान, मुंबई - सर्व हक्क सुरक्षित .