विभाग आठरावा : बडोदें ते मूर

बीजभूमिती - या लेखांत बीजभूमिती या विषयाचा केवळ शास्त्रीय रीती या द्दष्टीनें विचान करावयाचा असून त्यांत फक्त शास्त्राची व्यापकता दर्शविली जाईल. युक्लीडच्या भूमितींतील सिद्धांतांची सत्यता शुद्ध भूमितीच्या रीतीनें झालेंली दुसरीकडे पहावयास मिळेल. या लेखांत शास्त्र भूमितीचेंच पण त्यांतील सिद्धता व्यवस्थितपणानें करूंन दाखविणें हाच उद्देश आहे; व रीतीचेंच वर्णन देऊन सिद्धांत सोडविण्यांत हा शास्त्राचा उपयोग कसा करावयाचा हें दाखविलें आहे.

सध्या गणितांत आकड्यांनीं दर्शविल्या जाणार्‍या संख्यांची कल्पना आहे. १।३।८ इत्यादि विशिष्ट नांवांनीं विशिष्ट संख्या दर्शविल्या जातात. पण या आकड्यांनीं दर्शविल्या जाणार्‍या संख्यांचें परिगणन भूमितींत रेषांच्या लांबींनीं केलें आहे. असा शुद्ध गणिताचा भूमितीशीं संबंध जोडल्यावर धन व ॠण संख्यांच्या दर्शनाकरितां विरूद्ध दिशांनीं होणारें मापन प्रचारांत आलें. धन संख्या एका दिशेनें मोजली जाते व ऋण संख्या त्याच्या विरूद्ध दिशेस मोजतात. १६३७ सालीं डेकाटे यानें त्यास फारच व्यापक स्वरूप देऊन बीजगणितांतील परस्परालंबी संख्यांच्या संबंध देखील भूमितीनें दर्शविण्याची कल्पना काढली. या योगानें भूमितीची सिद्धता करतांनां आकृतींचें फारसें महत्त्व राहीलें नाहीं. साध्या आकृतींचीं देखील काम होऊं लागलें. एकदा दिलेल्या संबंधाचें बैजिक समीकरण मिळावलें म्हणजे झालें; बाकीच्या गोष्टी समीकरणावरून प्रत्यक्ष अगर अप्रत्यक्ष रीतीनें प्राप्त होतात.

शुद्धभूमिती, ही रेषामित, पृष्ठमित व घनमित असून त्यांस १।२।३ परिमाणांच्या भूमिती असें म्हणण्याचा प्रघात आहे. त्यांत रेषामितभूमिती हा पृष्ठमितभूमितीचा अगदीं साधा प्रकार असल्यानें व त्याचें विशिष्टत्व कांहींच नसल्यानें त्याचा निराळा असा विचार करावयाचें कारण नाहीं. पंरतु आपल्या डोळ्यांनीं जरी २ अगर ३ परिणात्मक भूमितीचीच कल्पना ग्राह्य असली तरी बीजगणितदृष्ट्या ४ किंवा त्यापेक्षां अधिक परिमाणात्मक भूमितींची शक्यता आहे; व यामुळें बीजगणित-विषयक द्दष्टीनें तीनपेक्षां जास्त परिमाणांचा विचार करतां येण्यासारखा आहे.

या भूमिती बिंदूंच्या स्थितीमुळें संभवतात. व बिंदूंच्या बनलेल्या निरनिराळ्या आकृतींचा विचार करणें हाच भूमितीचा मुख विषय आहे. पृष्ठमित किंवा घनमित भूमितींत सरळ रेषांनीं बनलेल्या आकृतींचाच विशेष विचार केलेंला असतो. वाटेल त्या आकाराच्या वक्र रेषेच्या गुणधर्माच्या विचाराचा त्यांत अंतर्भाव केल्यानें भूमितीला फारच व्यापक स्वरूप मिळतें व हेंच व्यापकत्व बीजभूमितीच्या महत्त्वाचें मुख्य कारण आहे.

वक्ररेषाकृतींचा विचार करूंन खालील परिभाषा उपयोगांत आणली आहे.

कोणतीहि वक्ररेषाकृति = वक्र (आकृती नं १ पहा).
वक्रावरील दोन बिंदू साधणारी रेषा = छेदनरेषा (कखस) क बिंदू स्थिर कल्पून जर कखस रेषा त्या भोंवतीं फिरविली तर ख बिंदू कच्या अगदीं जवळ जवळ जाईल. या दोन बिंदूंची एकत्रित स्थिति असतांना छेदनरेषेची होणारी स्थिती (कष) = स्पर्शरेषा

स्पर्श बिंदू (क) मधून स्पर्शरेषेस समकोन करणारी रेषा = कोस्पर्शरेषा
एखादें वक्र पुनःच्छेदक असल्यास छेदनबिंदूस पातबिंदु (प). त्याठिकाणीं असणारा वक्रवेष्टित प्रदेश = पातक्षेत्र.
वक्रानें शिंगासारखा बनलेला भाग = शृंग
या शृंगाचा चोचीसारखा होणारा प्रकार = चंचुशृंग (श१) व कोनासारखा होणारा प्रकार = सूचिशृंग.
(अइ) रेषेसंबंधानें (गघच) भागांत सर्वांत उंच असलेला बिंदू = अत्युच्चबिंदु.
त्याच रेषेसंबंधानें (चछज) भागांत सर्वांत खालीं असलेला बिंदू = अतिनीचबिंदु

एकंदर वक्र अनंत अंतरापर्यंत काढतां येत असेंल व क्वचित प्रसंगीं तें एखाद्या दिशेकडे विशिष्ट रेषेच्या अगदीं जवळ जवळ जाईल. परंतु त्या रेषेस केव्हांहि छेदणार नाहीं; ती रेषा केवळ वक्राची दिशादर्शनच करील. अशा स्थळीं त्या रेषेस त्या वक्राची अंनतोपगा (अनंतस्पर्शी) रेषा असें म्हणतात. ही रेषा अनंत अंतरावर असलेल्या बिंदूच्या ठिकाणीं त्या वक्राची स्पर्शरेषा होतें. त्याप्रमाणेच गघच भागांत अब रेषेसंबंधाने ते वक्र अंतर्वक्र आहे म्हणजे त्याचा वक्रभाग त्या रेषेकडे वळलेला आहे व चछज भागांत ते बहिर्वक्र आहे म्हणजे त्याचा वक्रभाग उलट आहे असें म्हणतात. याशिवाय दुसरीहि पुष्कळ व्याख्येस स्थानें त्या त्या वक्राच्या आकृतीप्रमाणें उत्पन्न होतीलृ त्या सर्वांचें परिगणन करण्याचें कारण नाहीं.

बिंदूच्या स्थिती दर्शविण्याची डेकार्टेंची पद्धती अशीः- दोन कोणत्याहि कोन असलेल्या-विशेषतः समकोन असलेल्या रेषा घेऊन त्यांवर दिलेल्या बिंदूपासून लंब काढावे. या दोन समकोन रेषा घेतल्यास व बिंदूची स्थिति (अम, पम) अशी दाखवितात. (आकृति नं.२ पहा) याचा अर्थ असा कीं अक्ष रेषेवर अम अंतर मोजून त्यावर मप येवढा लंब काढल्यास प बिंदु प्राप्त होईल. यांत पहा बिंदु या दोन रेषांनीं बनलेल्या कोणत्याहि भागांत असू शकेल. हीं आतिव्याप्ति टाळावी म्हणून उजव्या हाताकडे मोजलेले अंतर धन व डाव्या हाताकडे मोजलेलें अंतर धन व डाव्या हाताकडे ऋण. त्याप्रमाणेंच वर मोजलेलें धन व खालीं मोजलेलें ॠण अशी संभावना करतात. मागें सांगितल्याप्रमाणें प बिंदूंची स्थिती जर (-३,४) अशी दर्शविली तर त्याचा अर्थ अम=३ डाव्या हाताकडे व पम=४ वर असाच सामान्यत्वें धन किंवा ॠणसंख्यांनीं दर्शविला जाणारा (र,ल) बिंद निश्चित करता येईल.

या ठिकाणीं अ यास आदिबिंदू अक्ष यास क्षचा अक्ष; अय यास यचा अक्ष, यास पचा भुज किंवा क्ष; पम यास पचा कोभुज किंवा य; (अम, पम) अगर (क्ष,य) या दोघांस प बिंदुचे भुजयुग्म अशी नांवें आहेत.

प बिंदुचें भुजायुग्म जर (क्ष, य) असेंल तर त्याचें आदिबिंदुपासूनचें अंतर अप भूमितीनें क्ष२+य२ होईल दुसरा क बिंदू (क्ष१ य१)/(क्ष-क्ष१)२+(य-य१)२ घेतला असतां पफ अंतर होईल पफ रेषेस पफ रेषेस मःम १ या प्रमाणांत विभागणारा बिंदु घेतल्यास त्याचे भुज क्रमानें क्ष=म१ क्ष+मक्ष१/म+म१ य=म१ य+मय१/म+म१
होतील. त्याप्रमाणेंच तिसरा ब(क्ष२य२) बिंदु घेतल्यास प फ ब त्रिकोणाचें क्षेत्रफळ तिन्ही भुजयुग्मांत व्यक्त करतां येतें. या व अशाच रीतीनें बिंदूचा भूमितीविषयक संबंध भुजयुग्मांच्या बैजिक परिभाषेंत लिहिला जातो.

वक्रांचा विचार करतांना बिंदूच्या स्थितीमुळें वक्रें संभवतात असें मागें सांगितलेंच आहे. त्याप्रमाणें प बिंदू जर पया स्थितीपासून पफब या स्थितींनां अनुक्रमें येईल तर त्या बदलणा-या स्थितींत त्याच्या भुजयुग्मांतहि कांहीं विशिष्ट रीतीनें फरक होत जाईल. हा संबंध शोधून काढून त्या संबंधाचें मांडलेलें जें बैजिक वाक्य त्यास त्या वक्राचें बैजिक समीकरण किंवा वक्रबीज असें म्हणतात.

उदाहरणार्थ अक्ष यास व अंतरावर समांतर असणारी रेषा घेतल्यास तिजवरील कोणत्याहि बिंदूचा भुज हा वाटेल तो असू शकेल पण कोभूज हा नियत अंतर व च असतो म्हणून य= व हें समीकरण त्या रेषेवरील कोणत्याहि बिंदूकरतां सत्य असल्यानें य = व हें त्या रेषेचें बीजसमीकरण आहे. अय स ल अंतरावर समांतर असलेल्या रेषेचें समीकरण क्ष = ल असें होईल आदिबिंदूमधून जाणारी एखादी रेषा घेतल्यास व ब हा अक्षविक्षेप आहे असें मानल्यास म्हणजे तिच्यावरील कोणत्याहि बिंदूच्या भुजयुग्मांत य = क्षस्पब हा संबंध असतो. म्हणजे हेंच या रेषेचें समीकरण होय. या ठिकाणीं स्पब या परिमाणास त्या रेषेचें अवतरण असें म्हणतात. दुसरी कोणतीहि रेषा घेतल्यास तिजकडे निरनिराळ्या गृहीत परिमाणांच्या द्दष्टीनें पहातां येईल.
(१)रेषेचा अक्ष शीं होणारा कोन व अय वरचा छेद दिलेला असल्यास य/ककोस्पब+क्ष = स्पब (प्रमाण त्रिकोण मितीनें)
(२) अक्ष व अय वर होणारे छेद (ल, व) दिलेले असल्यास प्रमाणगणितानें:-

ल-क्ष/ल= य/व क्ष/ल+य/व = १ हें समीकरण.
(३) आदिबिंदूपासून काढलेल्या लंबाची लांबी व लंबाचा अक्षविक्षेप दिलेला असल्यास क्ष व य यांचा लंबावर प्रक्षेप करूंन क्षभुब+यकोभुब= प हा नित्य संबंध आहे म्हणून हें समीकरण झालें. त्याप्रमाणें (क्ष१य१) (क्ष२य१) या बिंदूतून जाणा-या रेषेचें समीकरण-
हे होतें व )क्ष१य१) या बिंदूपासून जाणा-या म अवतरणाच्या रेषेचें समीकरण य - य१ = म(क्ष - क्ष१) असें होतें (आ. नं. ४ पहा) याप्रमाणें केवळ सरळ रेषांचाच विचार केला असतां असें आढळून येतें कीं कोणत्याही सरळ रेषेचें समीकरण लक्ष +वय+ क = ० या सामान्य स्वरूपांत घालतां येईल. ह्या सामान्य समीकरणावरून त्या रेषेचे गुणधर्म सांगतां येतात जसें: - लक्ष+ वय+ क = ० हें
१ या प्रकारानें लिहिलें असतां वर (२) शीं तुलना करूंन हे त्या रेषेचे दोन्ही अक्षांवरचे छेद आहेत अगर =
पासून लंब आहे इत्यादि गोष्टी तारतम्यानें सहज जाणतां येतांत. त्याचप्रमाणेंच दोन रेषा

या समीकरणांनीं दर्शविल्या असतां त्यांचा छेदनबिंदू दोन्हीवर असतो अर्थात दोन्ही समीकरणांत त्याचें भुजयुग्म आढळून आलें पाहिजे. याकरितां हीं समीकरणें बीजपद्धतीनें सोडवून: -
क्ष = आणि य =
हें त्या छेदनबिंदूचें भुजयुग्म होय. त्याप्रमाणेंच दोन रेषाचा अवतरण गुणक म१म२ असल्यास त्यामधील कोन व हा त्रिकोणमितीनें स्पब = ह्या समीकरणावरून प्राप्त होईल. त्या रेषा समांतर असल्यास त्यांमधील कोन शून्य होईल. म१ = म२ व त्या रेषा समीकरण करणा-या असल्यास म१म२ + १ = ० यावरून लक्ष +वय+ क ह्या रेषेस वक्ष – लय+ ख ही रेषा समकोन करणारी आहे हें सिद्ध करण्यास कठिण नाहीं. तसेंच लक्ष+वय+क या रेषेवर (क्ष,य) बिंदुपासून काढलेला लंब होईल. अशा रीतीनें एक किंवा अनेक रेषा एकत्र अगर निरनिराळ्या घेऊन त्यांच्या गुणधर्माचा विचार करणें हे फारच मनोरंजक आहे.

वर्तुळाचेहि गुणधर्म याच रीतीनें काढतां येतात. वर्तृळाचा मध्य हा आदिबिंदु घेतल्यास वर्तुळावरील कोणताहि (क्ष,य) बिंदू क्ष२य२ = त्रि२ (येथें त्रि = त्रिज्या) हें समीकरणसिद्ध करील. म्हणून क्ष२+य२= त्रि२ हें त्या वर्तुळाचें समीकरण होय. ह्या वर्तुळाकार प१प२ असें दोन बिंदू (क्ष१य१) (क्ष२य२) ह्या भुजयुग्मांनीं दिले असल्यास प१प२ या छेदनरेषेचे समीकरण होईल. (क्ष१य१) (क्ष२य२) हे

लक्ष्यांत ठेविले पहिजेत हे लक्ष्यांत ठेवून छेदनरेषेचें समीकरण सोडविलें असतां.

क्ष(क्ष१+क्ष१)+य(य१य२)-(क्ष१क्ष२+य१ य२) - त्रि२ = ० असें होतें प२प२ शी एकत्रित झाला असतां वरील समीकरण क्षक्ष१+यय-त्रि१ = ० असें होतें हें (क्ष१य१) या स्पर्शबिंदूच्या ठिकाणीं असणा-या स्पर्शरेषेचें समीकरण होय, या स्पर्शरेषेस (क्ष१य१) बिंदूंतून समकोन करणारी रेषा काढल्यास ती कोस्पर्शरेषा होईल तिचें समीकरण
य१(क्ष - क्ष१) = क्ष१(य - य१) किंवा = असें होतें. हें आद्यबिंदूमधून जाणा-या रेषेचे समीकरण आहे म्हणून ही वर्तुळाची त्रिज्या होय. हाच साध्या भूमितींतील प्रसिद्ध स्पर्शरेषा व त्रिज्या यांच्या संबंधाचा सिद्धांत होय.

लक्ष+वय+क = ० ही कोणतीहि रेषा घेतल्यास तिचें वरील वर्तुळाशीं होणारे छेदनबिंदू ही दोन समीकरणें सोडविल्यानें प्राप्त होतील. म्हणून बीजगणितानें क्षच्या किंमती == त्रि२ या द्विघातसमीकरणाकडून मिळतील. या समीकरणाचीं मूळें काल्पनिक असल्यास तो रेषा वर्तुळास छेदणार नाहीं. तीं समान असल्यास ती रेषा एकाच बिंदूत छेदील म्हणजे नियत रेषा वर्तुळाची स्पर्शरेषा असेंल. आणि तीं मूळें शक्य असल्यास दोन छेदन बिंदू असतील व त्या बिंदूचे भुज तीं मूळें होतील.

इतर कोणत्याहि ठिकाणीं मध्यबिंदु असल्यास वर्तुळाचें समीकरण इतकें साधें होणार नाहीं. (क्ष१य१) मध्य बिंदूचें भुनयुग्म असल्यास वर्तुळावरील कोणत्याहि (क्ष, य) बिंदु (क्ष-क्ष१)२+(य-य १)२ = त्रि२ हें समीकरण सिद्ध करील. हें सोडवून त्यास सामान्य स्वरूप दिल्याचे तें क्ष२+य+२ २गक्ष+२जक्ष+क होईल. यावरूनही उलट जाऊन तें (क्ष+ग)२+(य+ज)२=ग२ ... क असें व्यक्त करतां येईल. अर्थात् तारताम्यानें (-ग,-ज) हा मध्यबिंदु आहे व ही त्रिज्या आहे. या सामान्य समीकरणवर्तुळाची छेदनरेषा काढून त्यावरून स्पर्शरेषेचें समीकरण काढतां येतें. अशा रीतीनें वर्तुळाची स्पर्शच्छेदिका, समकोन करणारीं वर्तुळें, समस्पर्श रेखाक्ष, समस्पर्शखाक्षवर्तुळमाला इत्यादी गुणधर्म- केवळ बैजिक समीकरणें घेऊन त्यावरून काढणें कांहीं नित्य व नैमित्तक संबंध ध्यानांत ठेवून बीजगणितांतील साधारण कुशलतेवर अवलंबून आहे.

याप्रमाणें कोणतेंहि वक्र, अक्षर भूमितीची आकृति दिली असतां त्या वक्राचें समीकरण दिलेल्या भूमितिविषयक संबंधांनीं व्यक्त करतां येतें. अगर वक्राचें समीकरण दिलें असतां त्यापासून त्याचे भूमितीविषयक संबंध काढून इतरहि गुणधर्माची प्राप्ति करतां येते. ह्यांतच वक्राची आकृति काढण्याचा समावेश केला तरी चालेल. हें काढण्याचें निराळेंच एक प्रकरण आहे व त्यास आलेख असें म्हणतात. काढलेली आकृति ही त्या बैजिक समीकरणाचा आलेख होती. जसें य = क्ष हें समीकरण घेतल्यास जर क्ष = १, २, ३, ४ तर य = १, ४,९, १६; यावरून (१,१), (२,४), (३,९),(४,१६) इत्यादी बिंदुश्रेणी त्या वक्रावर आसल्या पाहिजेत, कारण या भुजयुग्यांनीं दिलेलें समीकरण सहज सिद्ध होतें (आ.नं. ५ पहा) दोन अक्ष घेऊन त्यांवर या बिंदूची स्थिति कल्पिली असतां व ते क्रमानें मिळविले असतां य = क्ष२ या समीकरणाचा आलेख तयार झाला. अर्थातच हा आलेख अगदीं शुद्ध स्वरूपांत न येतां अशुद्ध स्वरूपांतच येईल. कारण क्षच्या किंमती केवळ १।२।३ इत्यादीच घेणें उपयोगी नाहीं. तर १,१.१ इत्यादि अखण्ड व अनन्त घेतल्या पहिजेत परंतु समीकरणावरून वक्राची सामान्य आकृति या रीतीनें काढण्यास कोणताच प्रत्यावाय नाहीं. आकृतींत दाखविल्याप्रमाणें (आ.नं.६ पहा) हा आलेख होतो. यास परवलय म्हणतात. = १ हें समीकरण घेऊन त्याचा आलेख काढण्यास क्ष = ० तर य = व, क्ष = ल तर य = ० इत्यादि. हा आलेख लंबवर्तुळ होता. हे अतिपरवलय होतें. याचा सामान्य आकार आकुतींत (नं.७ पहा) दिल्याप्रमाणें होतो.
= ० किंवा = ० किंवा या अतिपरवलयास छेदितात. हें पाहिल्यास बीजगणितानें अनंताच्या ठिकाणीं दोन बिंदूंत छेदतात असें आढळून येतें. यावरून या रेषा अंनतांत बिंदूंतून जातात, म्हणजे तेथें त्या स्पर्श रेषा आहेत व म्हणून त्या अतिपरवलयाच्या अनंतस्पर्शी रेषा म्हणतात.

वर दिलेलीं तिन्हीं वक्रें एकाच सामान्य समीकरणानें व्यक्त करतां येतात. तें सामान्यसमीकरण काढण्याची रीति अशी: भूमितींत शंकुच्छेदांची व्याख्या दिली आहे कीं, शंकुच्छेद म्हणजे ज्या बिंदूचें एका नियतबिंदू (नाभि) पासूनचें अंतर दुस-या एका नियतरेषे(दिग्दर्शका) पासूनच्या अंतराशीं कांहीं एका नियमप्रमाणांत (इ) असतें त्या बिंदूच्या निरनिराळ्या स्थितींनीं कल्पिलेला मार्ग. नाभि (ब, भ) व दिग्दर्शिका लक्ष+वय+क = ० ही घेतल्यास शंकुच्छेदावरील कोणत्याहि बिंदूचें वरील व्याख्येनें समीकरण (क्ष –ब)२ +(य – भ)२ = इ२ होईल. हेंच सोडवून त्याचें सामान्यरूप लक्ष२+वय२+२चक्षय+२गक्ष+२जय+क = ० असें होतें; हें सामान्य द्विघातबैजिक पद आहे. भूमितींत सांगितल्याप्रमाणें जर इ १ असेंल तर त्या मानानें वर दिलेलें सामान्य समीकरण अनुक्रमें लंबवर्तुळ, परवलाय व अतिपरवलय दर्शवितें. मागें दिलेलीं समीकरणें हीं याचा समीकरणाचीं विशिष्ट रूपें होत.

तृतीय, चतुर्थ इत्यादी घातपदांनीं निर्दिष्ट अशा वक्रांच्या आकृतीहि याचप्रमाणें काढतां येतील. त्या सर्वांचा विचार न करतां कांहीं उदाहरणें घेऊन त्यांचीं वक्रें काढून दाखविलीं आहेत. (आ.नं ८ पहा).

य२ = (क्ष – क) (क्ष – ग) क ख ग.
जर क्ष > क तर य च्या किंमती दोन ॠण व धन येतील.
जर क्ष <क> ख तर य२ ॠण येईल व य च्या किंमती काल्पनिक येतील.
जर क्ष <ग तर य च्या दोन किंमती.
जर क्ष ग तर य च्या किंमती पुनः काल्पनिक इत्यादी.
जर = (क्ष – क) (क्ष –ख) (क्ष – ग), क> ख> ग
जर क्ष> क तर य च्या किंमती धन.
क्ष <क> ख तर य च्या किंमती ॠण.
क्ष <ख> ग तर य च्या किंमती धन
क्ष <ग तर य पुनः ॠण इत्यादी.
अशीं अनंत वक्रें तयार होतील (आ.नं ९ पहा.) तीं वक्रें घेऊन त्यांच्या छेदनरेषा, स्पर्शरेषा अनंतोपमा इत्यादी साध्या गोष्टींचाच केवळ विचार करतां येईल असें नाहीं. तर पातबिंदु, शृंगें, अंतर्वक्रता अत्त्युच्च वक्रता, वक्रीयवृत्तें यांचा निर्णय व त्यांचा परस्परसंबंधहि जाणतां येतो. मात्र यांस कलन शास्त्राची फारच जरूरी असल्
यानें त्या शास्त्रांत याबद्दल सविस्तर वर्णन सांपडेल.

ह्या वर सांगितलेल्या प्रकारानें दोन परिणात्मक भूमितीचा विचार झाला. त्यानंतर तीन परिमाणामत्क अगर धन भूमितीचाहि विचार असाच करतां येतो. यांत लक्ष, अय, अज्ञ असें तीन अक्ष घेऊन त्यांवर मोजलेल्या अंतरास त्या बिंदूचें भूजत्रय असें म्हणतात. अक्ष व अय मधून जाणा-या पातळीस क्षय ची पातळी अशीं नावें आहेत. कोणताहि अवकाशांतील बिंदु (क्ष,य,ज्ञ) असा दर्शविला जातो. त्याचें आदिबिंदूपासूनचें अंतर होईल अगर दुसरा (क्ष१ य१ ज्ञ१) बिंदू घेतल्यास ह्या दोहोमधील अंतर होईल. क्षय ह्या पातळीस ल अंतरावा समांतर असलेल्या पातळींतील कोणत्याहि बिंदूसंबंधानें ज्ञ = ल हा नित्यसंबंध असतो म्हणून हें त्या पातळीचें समीकरण होय. इतर मुख्य पातळींस समांतर पातळींचीं समीकरणें याप्रमाणेंच काढतां येतात. इतर कोणतीहि समपातळी घेतल्यास सरळ रेषेचा विचार करतां येईल.

(१) पातळीवर आदिबिंदूपासून काढलेल्या लंबाचें अंतर व तो लंब तीनहि अक्षांशीं करीत असलेले कोन दिलेले असल्यास:-
ह्या कोनांच्या कोभुजांस दिग्दर्शी कोभुज म्हणतात. म्हणून प हा लंब व ल, म, न हे दिग्दर्शी कोभुज मानल्यास कोणत्याहि (क्ष, य, ज्ञ) भुजांचा लंबावर प्रक्षेप करूंन लक्ष+प्रय+जज्ञ=प हें सिद्ध होतें म्हणून हें समीकरण होय.

(२) तीनहि अक्षांवर होणारे छेद ल, म, न दिले असतील तर पातळीचें समीकरण = १ हें होईल.

अशा रीतीनें समपातळींचा विचार करूंन निरनिराळ्या रीतीनें पहिल्यास पातळीचें सामान्य समीकरण लक्ष+वय+कज्ञ+उ = ० येतें. यावरूनहि उलट जाऊन त्या पातळीबद्दल तारतम्यानें कांहीं गोष्टी जाणतां येतात.

दोन पातळीचें छेदन सरल रेषेंत होतें म्हणून दोन पातळ्या ल१क्ष+म१य+न१ज्ञ – प१ = ० व ल२क्ष+म२य+न२ज्ञ – प२ = ० घेतल्या असतां त्यांच्या छेदनरेषेचें होणारें समीकरण ल१क्ष+म१य+न१ज्ञ-प१ = ० ल१क्ष म२य न२ज्ञ – प२ = ० असें लिहितात. यामतें दोन किंवा अनेक रेषांचे परस्परसंबंध अगर त्यांचे इतर दिलेल्या पातळींशीं असणारे संबंध दर्शवून त्या संबंधाचें समीकरण मांडतां येतें. उदाहरण- फ(क्ष१ य१ ज्ञ१) या बिंदूंतून जाणारी व अक्षाशीं ल, म, न कोभुज करणारी रेषा घेतल्यास तिजवरील कोणताहि प(क्ष,य,ज्ञ) बिंदु फ पासून त्रि अंतरावर आहे असें समजा. नंतर पफचा अक्षांवर अनुक्रमें प्रक्षेप करूंन क्ष -क्ष१ = त्रिल, प.य१ = त्रिम.
ज्ञ.ज्ञ१ = त्रिन = त्रि हीं
त्या रेषेंचीं समीकरणें होत ( आ नं. १० पहा ). ह्या समीकरणांचें मागील समीकरणांपेक्षां जास्त महत्त्व आहे. यावरून (क्ष१य१ज्ञ१), या बिंदूमधून जामा-या रेषेचीं समीकरणें आहेत असें दाखवितां येतें. मध्यबिंदु आदिबिंदु कल्पिल्यास गोलकावरहि कोणताही बिंदू आरंभबिंदूपासून त्रिज्येइतक्या अंतरावर असतो म्हणून क्ष२+य२+ज्ञ२ = त्रि२ हें त्या गोलकाचें समीकरण झालें. या वरील कोणतीहि (क्ष१ य१ ज्ञ१) (क्ष२ य२ ज्ञ२) हे बिंदू सांधणारी रेषा छेदनरेषा होईल. तिचे समीकरण हें सामान्य रूपांत

= त्रि असें लिहून ही रेषा गोलकास कोठें छेदित हें पाहण्यास क्ष, य ज्ञ च्या किंमती समीकरणानें सिद्ध झाल्या पहिजेत.
(त्रिल+क्ष१)२+(त्रिम+य१)२(+त्रिन+य,)२+=त्रि२
त्रि२ (ल२+म२+न२)+२त्रि (लक्ष१+यम१+नज्ञ१)+क्ष२,+य१+ज्ञ१=त्रि२.

या समीकरणापासून मिळणा-या क्रिया किंमती ह्या छेदनबिंदूपासूनचीं अंतरें आहेत. पण क्ष१ य१ ज्ञ१ हा बिंदू छेदन बिंदूपैकीं एक असल्यानें त्याचें अंतर शून्य आहे म्हणजे या समीकरणाचें एक मूळ शून्य असलें पाहिजे अर्थात् बीजगणिताने क्ष१२ य२१ ज्ञ२१ब – त्रि२ = ० हें प्रत्यक्ष सिद्ध आहेच. दुसराहि छेदनबिंदू यांच्याशीं एकत्रित होईल तर या समीकरणाचें दुसरें मूळहि शून्य असलें पाहिजे, म्हणून पुनः बीजगणितानें लक्ष१ मय१ नज्ञ१ = ० हें समीकरण सिद्ध होत असल्यास ही रेषा त्या गोलकास एकाच बिंदूत (क्ष१ य१ ज्ञ१) या ठिकाणीं दोनदा छेदील म्हणजे ही रेषा स्पर्शरेषा होईल. यावरून स्पष्टच दिसून येईल की एकाच बिंदूत अनंत स्पर्शरेषा काढतां येतील. ह्या सर्व स्पर्शरेषा एकाच समपातळींत असतांत व त्या समपातळीस त्या गोलकाची (घनाकृतीची) स्पर्शपातळी म्हणतात. या स्पर्शपातळीचें समीकरण क्षक्ष१ यय१ ज्ञज्ञ१ = त्रि असें होतें. या पातळीस (क्ष१य१ज्ञ१) या स्पर्शबिंदूतून लंब काढल्यास त्यास कोस्पर्शरेषा किंवा मुख्य लंब म्हणतात. तिचे समीकरण

किंवा = होतें यावरून ही रेषा गोलकमध्यांतून जाते हें स्पष्ट दिसतें.

गोलकाच्या बाहेरील एखाद्या बिंदूंतून पुष्कळच स्पर्शरेषा काढतां येतील. या स्पर्शरेषांनीं एक सूचीसारखी आकृति बनते तीस त्या बिंदूची स्पर्शसूचि किंवा अन्वालोपसूचि असें म्हणतात. त्याप्रमाणेंच एखाद्या सरळ रेषेस समांतर अशाहि पुष्कळच स्पर्शरेषा काढतां येतील त्या स्पर्शरेषांनीं एक चितीसारखीआकृती होतें. तीस स्पर्शचिति (वक्रस्प) किंवा अन्वालोपचित्ती (वक्रस्प) हें नांव आहे. या व अशाच त-हेने गोलकसंबधीं गोष्टीच्या व्याख्यांकरूंन त्यांचीं समीकरणें काढणें शक्य आहे.

द्विपरिणामात्क भूमितीप्रमाणें यांतहि निरनिराळ्या आकाराच्या वक्रघनाकृती होतील. त्यांचें विशिष्ट भूमितीविषयक संबंध समीकरणानें व्यक्त करतां येतील अगर समीकरणापासून ह्या संबंधींचें अनुमान करतां येईल. यांतहि द्विघातपद सामान्य समीकरणाचें महत्त्व आहे. या ठिकाणीं सामान्य समीकरण लक्ष२+वय२+रज्ञ२+२चक्षय+२गक्षज्ञ+२जयज्ञ+२छक्ष+ २छक्ष+ २खय +२+ फश+ द या रूपांत होतें. त्यांत परवलनाधन (लंबवृत्त प्रकार) ,परिवलयघन (अतिपरवलयप्रकार,) लंबवृत्तघन, परवलयसूचि, लंबवृत्तसूचि, अतिपरवलयसूचि वृत्तसूचि, परवलय, लंबवृत्त, अतिपरवलय, वृत्त इत्यादिकांपासून होणारे चिती (वक्रस्प) इत्यादि घनाकृतींचा अंतर्भाव होतो. त्यांचा विशिष्टपणा लक्षांत यावा म्हणून विशिष्ट ठिकाणीं अक्ष घेतले असतां त्यांचीं येणारीं रूपें अशीं:-

हे लंबवृत्तघन, याच्या कोणत्याहि अक्ष पातळीं होणारे छेद लंबवृत्तें असतांत. व ह्यास समांतर पातळींनीं होणारे छेद हीं लंबवृत्तेंच असतांत (आ.नं.११ पहा).

हें एकातिपरवलयघन, याचे एका पातळीनें केलेंले छेद लंबवृत्त व बाकीच्यांनीं केलेंलीं अतिपरवलयें असतांत.

हे परवलयघन दोन्ही प्रकार इत्यादि. (आ.नं.१२ पहा)
या भूमितींत आकृतीच्या काठिण्यामुळें बरेंच दुर्बोधत्व आलें आहे. परंतु बीजगणित द्दष्ट्या तींत कांहीं विशिष्टत्व नाहीं. केवळ निरनिराळीं तीन परिमाणात्मक समीकरणें घेऊन त्यांचा नित्य व नैमित्तिक संबंधांनीं विचार करावयाचा एवढेंच.

येथपर्यंत केवळ बैजिक संबंधानें दाखवितां येणा-या वक्राचा अगर घनकृतींचा विचार केला. परंतु या भूमितीस या पेक्षांहि घातपदें लाग्रथमपदें इत्यादिकांचा समावेश करूंन अनंत प्रकार उत्पन्न करतां येतील. उदा. य = स्पक्ष. हेंहि एक संबंधदर्शक समीकरण आहे. त्याचा आलेख काढून त्या आकृतीच्या गुणधर्माच्या ह्या रीतीनेंच विचार करतां येईल. या व असल्या विचारांनींच सध्याच्या काळीं या भूमिमीस अग्रस्थान मिळालें आहे. नवीन नवीन शोध लावण्यास लागणा-या प्रत्येक शास्त्राच्या गणितविषयक उहापोहाला या रीतीची आवश्यकता आहेच.

डेकार्टेच्या रीतीशिवाय दुसरी एक रीति आहे. तींत नियमबिंदु नाभि कल्पून त्यांतून जाणारी रेषा आदिरेषा कल्पितात. व या योगानें बिंदूची स्थिती दर्शवितात. प हा बिंदू घेतल्यास त्याची स्थिती नप रेषेनें व अनेप या कोनानें (नप, अनेप) अशी व्यक्त करतात (आ. नं. १३ पहा) .याचा अर्थ न बिंदु पासून आदि रेषेस अनप कोन करणारी रेषा नप इतकी लांब घ्यावी म्हणजे प बिंदू मिळेल. या ठिकाणीं नप यास दिकत्रिज्या (त्रि) व अनेप यास दिक्कोन (स) असें म्हणतात. या दोहोंसहि सनाभिभुजयुग्म म्हणण्याचा प्रघात आहे. या भुजयुग्मांनीं देखील पूर्वींप्रमाणेंच कांहीं सिद्धांत व समीकरणें स्थापित करतां येतील. उदाहरणार्थ - (त्रि१ स१) व (त्रि२स२) या बिंदूचें अंतर त्रिकोणमितीनें त्रि२१ त्रि२२ ...२ त्रि१ त्रि२ कोभु(स१ – स२) होईल. न मधून नअ शीं क कोन करणा-या रेषेचें समीकरण स = क होईल. आदिरेषा स = ० या समीकरणानें दर्शविली जाईल. आदिरेषेस समकोन करणा-या प अंतरावरच्या सरळ रेषवर कोणताहि बिंदु घेतल्यास त्याचें भुजयुग्म त्रिकोभुस = प हा संबंध दर्शवील ह्यणून हे तिचें समीकरण त्रिभुस = फ होईल. कोणतीहि रेषा घेऊन तिजवरील न बिंदुपासूनचा लंब व लंबाचा अदिरेषेशीं होणारा कोन (ब) दिल्यास त्या रेषेचें समीकरण लंबावर प्रक्षेप करूंन त्रिकोभु (स ' ब) = प होईल. त्रि = क हें क त्रिज्येच्या नाभिमध्यबिंदु असलेल्या वर्तुळाचें समीकरण होईल. सामान्य वर्तुळाचें समीकरण मध्याचें भुजयुग्म त्रि१स१) असल्यास
त्रि२ त्रि२१ त्रि९ त्रिकोभु(स-स१) = क२ होईल. या व असल्याच रीतीनें निरनिराळ्या वक्राच्या गुणधर्मांची विचार करतां येईल व त्यांचे आलेख तयार करतां येतील. यांत हे छेदन रेषा, स्पर्शरेषा, अनंतोपगा इत्यादि वक्रानुषंगिक गोष्टींची स्थापना करतां येतें. उदाहरणाकरितां कांहीं वक्रांचे आलेख काढून दाखविले आहेत (आ. नं. १४ पहा

) त्रि = कस. जसजसा स वाढत जाईल तसतशी त्रिहि वाढेल स = ० तर त्रि = ० इत्यादि.

त्रि = लइकस स = ० तर त्रि = क; स वाढेल तशी त्रिहि वाढेल व स कमी होईल तशी त्रिहि कमी होईल, त्रि वाढत वाढत अनंतापर्यंत जाईल परंतु त्रिहि कमी कमी होत गेल्यास शून्याबरोबर स ॠणानन्त असल्याशिवाय होणार नाहीं. म्हणून वक्र मधल्या भागांत नाभीच्या अगदीं जवळ जवळ येत राहील.
= १ इ कोभुस. यांत जर इ = १ असेंल तर हें परवलय होईल; इ १ असेंल तर लंबवृत्त होईल व इ १ असेंल तर हें अतिपरवलय होईल या तीनहि शंकुच्छेदांचा नाभि अक्ष नाभीच्या स्थानीं येतो.

त्रि=ककोभु (३स). स=० तर त्रि= क. स ३० वाढेपर्यंत त्रि लहान होईल आणि स ३० तर तर त्रि =०
स ३० पासून ९० होईपर्यंत त्रि ऋण होईल, व ती वाढत जाऊन पुनः कमी होईल स ९० तर त्रि = ० इत्यादी.

त्रि = ककोभु (४स).स = ० तर त्रि = क. स

होईपर्यंत त्रि लहान होत जाईल. स = तर त्रि = ० इत्यादि.
त्रि = क (१ कोभुस) इत्यादि.

सनाभिरीतीनें त्रिपरिमाणत्मकभूमितीचाहि असाच विचार करता येतो. या ठिकाणीं आदिपातळींत आदिरेषा घेऊन त्या रेषेस असणा-या एखाद्या बिंदूस नाभि कल्पितात व कोणत्याहि इष्ट बिंदूची स्थिती नाभीपासूनचें अंतर जी दिकत्रिज्या (त्रि) दिगषत्रज्येनें आदिरेषेशीं केलेंला कोन (स) व अदिपातळीशीं आदिरेषा व दिकत्रिज्या यांमधून जाणा-या पातळीनें केलेंला कोन (ष) या तीन परिमाणानीं(त्रि, स, ष,) असा दर्शविला जातो. या तीन परिमाणांच्या फलांनीं वक्रपातळींनीं वेष्टित घनाकृती उत्पन्न होतील. त्यांचाहि विचार करतां येतो.

आतांपर्यंत दोन पद्धतींचें थोडेंसें वर्णन दिलें. परंतु या दोनहि पद्धती अगदींच एकमेकीपासून अलग आहेत असें नाहीं. एका रीतीनें दर्शविलेल्या समीकरणाला थोड्याशा श्रमानें दुस-या रीतीनें दर्शवितां येतें. याकरतां जें कृत्य करावें लागतें त्यास संक्रमणसंस्कार असें म्हणतात. उदाहरणार्थ डेकार्टेच्या पद्धतीनें प हा बिंदू (क्ष,य) व अ हा नाभि घेतल्यास तोच बिंदू सनाभिरीतीनें (त्रि,स) असा होईल. या ठिकाणीं त्रिकोणमितीनें क्ष = त्रिकोभु स; य = त्रि भु स

म्हणून क्ष = त्रिकोभुस व य = त्रिभुस हा संक्रमणसंस्कार झाला (आ .नं. १५ पहा) .याचा अर्थ कोणतेंहि क्ष व य चें समीकरण या दोन संस्कारांनीं त्रि व सच्या समीकरणांत व्यक्त करतां येतें. म्हणजे डेकार्टेच्या रीतीपासून सनभितरीतींत जातां येतें. उलट जाण्यासहि हाच संस्कार निराळ्या रीतीनें उपयोगी पडतो. या ठिकाणीं त्रि = क्ष२ य२ आणि स = हा संक्रमणसंस्कार होईल. वर सांतिगतल्याप्रमाणे एका रीतींतून दुस-या रीतींत संक्रमण करतां येतें एवढेंच नव्हे तर रीतींतल्या रीतींत आदिबिंदू, अक्ष इत्यादिक मूलभूत परिमाणांचा बदल करतां येतो, व या करतां लागणारे संक्रमणसंस्कार थोड्याशा श्रमानें सहज शोधून काढतां येतात.

वर फक्त डेकार्टेची पद्धति व सनाभिपद्धति या दोहोंचेंहि वर्णन केलें. पण याशिवाय दुस-याहि बिंदूच्या स्थिती दर्शविण्याच्या पुष्कळ पद्धती आहेत. त्या सर्वांचा विचार असल्याच त-हेनें करतां येतो. म्हणून त्यांपैकीं महत्त्वाच्या कांहीं रीती घेऊन त्यांविषयीं दिग्दर्शन मात्र पुढें केलें आहे.

त्रिरेषापद्धति:- एखाद्या नियम त्रिकेणाच्या तीनहि बाजू मूल रेषा घेऊन त्यांवर दिलेल्या बिंदूपासून लंब काढतात व या तीनहि लंबांच्या लांबीनीं (प,फ,भ) त्या बिंदची स्थिती निश्चित होतें. या ठिकाणीं ह्या तीनहि भुजांत आप बाफ काभ = २ हा नित्य संबंध असतो. (आ, बा, का, या अ, ब, क त्रिकोणाच्या बाजू व हें त्रिकोणाचें क्षेत्र होय.) हाच बिंदु जर (क्ष,य) असा दर्शविला व नियम त्रिकोणाच्या बाजूंचीं समीकरणें अनुक्रमें
क्षकोभुउ२ यभुउ१ –र१ = ० हीं असलीं
क्षकोभुउ२ यभुउ२ –र२ = ०
क्षभोभुउ३ यभुउ३-र३ = ०

तर प = क्षकोभुउ१ यभुउ१ – र१;फ = क्षकोभुउ२ यभुउ२ –र२
भ = क्षकोभउ३ यभुउ३ .. र३ हा संक्रमणसंस्कार होईल.

क्षेत्रपद्धति:- वरीलप्रमाणें मूल त्रिकोण घेऊन इष्ट बिंदु या त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूस मिळवितात. या रेषांनीं बनलेल्या तीन त्रिकोणांच्या क्षेत्रास भुज कल्पून बिंदूची स्थिति (क्षे१क्षे२क्षे३) अशी दर्शवितात. या ठिकाणीं क्ष१ क्षे२ क्षे३ = हा या भुजांत नित्य संबंध आहे.

स्पर्शपद्धति:- या रीतींत सरळ रेषेची स्थिती भुजांनीं व बिंदूची स्थिती समीकरणानें दर्शविली जाते. लप मफ नभ = ० हे त्रिरेखापद्धतीतील समीकरण घेतल्यास प, फ, भं हे नित्य समजून ल, भ, न यांत बदल होतो असें मानल्यास लप मफ नभ = ० हें (प, फ, भ) ह्या बिंदूचें समीकरण होतें व (ल, म, न,) हें त्या बिंदूंतून जाणा-या रेषेचे भुज (दिग्दर्शक परिमाणें) होतात.

बिंदुद्वयपद्धति:- हींत दोन बिंदू आदि कल्पून या बिंदूपासून इच्छित बिंदूच्या अंतरास भुज म्हणतात. त्रि१ त्रि२ हीं दोन्ही बिंदूपासूनचीं अंतरें असल्यास इष्ट बिंदूची स्थिति (त्रि१त्रि२) अशी दर्शवितात, इत्यादि.

याप्रकारें बीजगणिताचा भूमितीविषयक सिद्धांत सिद्ध करण्यांत व भूमितीस व्यापक स्वरूप देण्यांत अतिशय उपयोग होतो. [लेखक मोहिनीराज लक्ष्मण चंद्रोदय.]