विभाग आठरावा : बडोदें ते मूर
भूमिति- गणितशास्त्राचा आरंभ अंकगणित, बीजगणित आणि भूमिती या तीन विषयांनीं होतो. गणितशास्त्राच्या कोणत्याहि अंगाचा अभ्यास करावयाचा असेल तर या तीन विषयांची तरी निदान माहिती पाहिजे. या वरून आपल्याला ‘भूमिती’ या विषयाचें महत्त्व किती आहे तें दिसून येईलच. नांवावरूनच या विषयाचें कार्य ओळखतां येतें. याच विषयाला कित्येकांनीं ‘रेखागणित’ या नांवानें संबोधिलें आहे .पण भूमिती हेंच नांव जास्त बरें दिसतें. कारण हेंच नांव जास्त रूढ व सार्थ आहे.
भूमितीशास्त्राचा उगम यज्ञविधीकरितां ज्या वेदी वगैरे तयार करावयाच्या असत व मंडप आंखावयाचे असत, ते आंखतांना कराव्या लागणा-या क्रियांपासून झाला. शुल्बसूत्रांमध्यें चौरस करणें, एका चौरसाच्या दुप्पट, तिप्पट इत्यादि पटीनें चौरस करणें वगैरे कृती कशा कराव्या यांसंबंधीं नियम दिले आहेत. अर्थात सध्या पायथॅगोरसच्या नांवावर मोडणारा सिद्धांत त्यांस माहित होता (विज्ञानेतिहास, गणितशस्त्राचा इतिहास पृ. ५६४-६५ पहा).
सूत्रकालानंतरच्या आपल्या प्राचीन गणितज्ञांपैकीं आर्यभट्ट ब्रह्मगुप्त व भास्कराचार्य हे तीन प्रमुख होत. हिंदुस्थानांतील गणितशास्त्रांचा इतिहास आर्यभट्टापासूनच सुरू होतो. हा प्रख्यात गणिती शके ४२१ च्या सुमारास होऊन गेला. यानें दशगीतिकापाद नांवाचें एक पुस्तक लिहिलें आहे. त्याच्या गणितपादामध्यें अंकगणित, बीजगणित, भूमिती व त्रिकोणमिती हे विषय आहेत. त्यांत वर्ग, घन, वर्गमूळ, घनमूळ हे अंकगणितचे विषय असून त्रिभुज, वृत्त इत्यदिकांचीं क्षेत्रफळें, घन व गोल यांचीं घनफळें वगैरे भूमितीविषयक माहिती आहे. वृत्ताचा व्यास आणि परिधि यांचें गुणोत्तर आर्यभट्टानें फारच सूक्ष्म दिलें आहे.
चतुरधिकं शतमष्टगुणं द्वाषष्टिस्तथा सहस्त्राणं।
अयुतद्वयविष्कंभस्थासन्नो वृत्तपरीणाहः॥ (गणितपाद)
यांत २००० व्यासाच्या वर्तुळाचा परिघ ६२८३२ दिला असून त्यासहि आसन्नच म्हटलें आहे. हें गुणोत्तर १:३.१४१६ असें येतें. आर्यभट्टानंतरचा ब्रह्मगुप्त हा पहिला बीजगणितकार या नांवानें प्रसिद्ध आहे. याचा ब्रह्मस्फुटसिद्धान्त हा ग्रंथ प्रसिद्ध आहे. भास्कराचार्यानीं आपल्या लीलावती कन्येला गणित सांगण्याचा उपक्रम करून यांत बीजगणित व भूमिती हेहि विषय सांगितले आहेत. भूमितीपेक्षां बीजगणितांतली माहिती जास्त महत्त्वाची आहे व भास्कराचार्यांच्या गणितज्ञानाची थोरवी त्यांत दिसून येते. लीलावतीचें भाषांतर कै. खानापूरकरशास्त्री यानीं केलें आहे. लीलावतींत भूमितीविषयक भाग पुढील आहेतः- (१) क्षेत्र-व्यवहार (२) खात व्यवहार(३)चितिव्यवहार (४) क्रकच व्यवहार (५) राशिव्यवहार व (८) छायव्यवहार. क्षेत्रव्यवहारांत प्रथमच काटकोनत्रिकोणाचा मुख्य धर्म सांगितला आहे. हा सिद्धांत इंग्रजी पुस्तकांतून 'पायथॅगोरस चा सिद्धांत या नांवानें प्रसिद्ध आहे.
काटकोनत्रिकोणाच्या कर्णावरचा चौरस हा दुस-या दोन बाजूंवरच्या चौरसांच्या बेरजेबरोबर असतो हें सांगून काटकोनत्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज ही तिस-या बाजूपेक्षां मोठी असते व हाच नियम चतुरस्त्रालाहि लागू आहे. त्रिकोणाच्या बाजू दिल्या असतां लंब, आबाधा व क्षेत्रफळ कसें काढावें हें सांगितलें आहे. वृत्तस्थ चतुरस्त्राचें क्षेत्रफळ काढून त्याच्या व त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाच्या सूत्रांमधील साम्य दर्शविलें आहे. वर्तुळाचा व्यास व क्षेत्रफळ यांमधील परस्परसंबंध सांगून गोलपदार्थांचें घनफळ काढण्याची रीत दिली आहे. वर्तुळांत काढलेल्या कोणत्याहि समभुजाकृतीच्या भुजांची लांबी काढण्याची रीत दिली आहे.
क्षेत्रव्यवहार जितका सविस्तर दिला आहे तितका दुसरा कोणत्याहि भूमितींतील भाग भास्कराचार्यांनीं लीलावतींत सांगितला नाहीं. पुढील भागांतून खळग्याचें घनफळ, त्यावरून कोणत्याहि पदार्थाचें घनफळ, जमिनीवर धान्य ओतलें असतां निरनिराळ्या वेळच्या राशींच्या उंचीचें व परिधीचें गुणोत्तर वगैरे विषय आहेत. आतां ‘आपण ग्रीक लोकांपासून भूमितीशास्त्राचीं तत्त्वें घेतली’ या वादाकडे वळूं. या वादाचा निकाल पुढील मुद्दे वाचल्यावर एका क्षणांत लागेल. ग्रीक लोकांनीं लिहून ठेविलेल्या भूमितीमध्यें ‘कोन’ ही प्रधान कल्पना आहे. पण आमच्या पूर्वींच्या भूमितींतून या कल्पनेला बिलकुल थारा नाहीं. महत्वमापनाला अगर व्यवहाराला जरूर तेवढीच भूमितीची वाढ आपल्यांत झालेली आहे. त्याच्यापुढें विचार कोणीहि केला नाहीं, अर्थात ही खेदाची गोष्ट आहे. तसेच ग्रीक गणित्यांचा स्पर्शरेषेवर जितका भर आहे. तितकाच त्याच्या उलट अर्धज्यांवर भर आमच्या पूर्वींच्या भूमितींतून दिसून येईल. त्याचप्रमाणें आमच्या भूमितींत दीर्घवर्तुळ वगैरे वक्रांचा नामनिर्देश देखील आढळणार नाहीं(गोलत्रिकोणमिति आणि इतर थोड्याशा मूलभूत कल्पना होत्या पण त्यापुढें ते गेलेले नव्हते) सर्वांत महत्वाचा मुद्दा म्हटला म्हणजे जसें आपल्या राष्ट्रांत यज्ञयागादिक कर्में करीत त्याप्रमाणें दुस-या कोणत्याहि राष्ट्रांत हीं कृत्यें होत नव्हतीं व म्हणूनच यज्ञयागांतील कुंडें आंखण्याच्या रीती दुस-या कोणीहि सांगणें शक्य दिसत नाहीं. या रीती शुल्बसूत्रांमध्यें दिल्या आहेत. त्यांमध्यें एखाद्या रेषेवर चौरस काढणें, एखाद्या चौरसाबरोबर आयात काढणें व वर दिलेला काटकोनत्रिकोणाचा मुख धर्म वगैरे विषय आहेत. यावरूनच पूर्वीं जी कांहीं भूमितीविषयक माहिती होती ती उसनी नव्हती, तर ती स्वतंत्र मार्गानें मिळाविलेली होती हें सिद्ध झालें. पण इतर राष्ट्रांनीं या विषयांत आपल्यापुढें फारच झपाट्यानें मजल मारली व आपण मात्र होतों त्या ठिकाणींच नव्हे, त्याच्यामागें गेलें हें कबूल केल्यावांचून गत्यंतर नाहीं. मागें गेलों म्हणण्याचें कारण आपलें पूर्वींचें ज्ञान काय होतें हेंहि आपण विसरलों होतों. अर्थात हें असें होण्याला केवळ आपला आळसच कारण असेल असें नाहीं. एक तर आपल्यामध्यें जेवढें जरूर आहे तेवढें मिळालें म्हणजे स्वस्थ बसण्याची प्रवृत्ति अद्यापहि आढळून येते. अन्य कारणांपैकीं आपल्या देशावर दुसरीं अशीं अनेक संकटें आलीं कीं या विषयाकडे पहावयास लोकांनां अवसर मिळाला नाहीं.
सध्यां हिंदुस्थानांत या विषयाचा अभ्यास बहुश: इंग्रजी पुस्तकावरूनच होत आहे, अर्थात मराठी वाचकांकरितां म्हणून इंग्रजी पुस्तकांचीं आतांपावेतों दोनतीन भाषांतरें झालीं आहेत. हीं भाषांतरें केवळ पुणें येथील ट्रेनिंग कॉलेजची गरज भागविण्यासाठीं आधिका-यांच्या हुकुमावरून झालेलीं आहेत. असें पहिलें शुद्ध मराठी भाषांतर म्हणजे गोविंद विठ्ठल करकरे व कृष्णशास्त्री गोडबोले यांनीं १८७४ सालीं केलें. याचीच सुधारलेली व भर घातलेली आवृत्ति देवकुळे यानीं १८८५ सालीं काढली. दरम्यान नानाशास्त्री आपटे यांनीहि एक भाषांतर केलें होते. देवकुळे यांचें भाषांतर सर्वतोपरी बरें असल्यामुळें तेंच बरेच दिवस चालू होतें पण ज्या इंग्रजीं पुस्तकाचें (युक्लीडचें) तें भाषांतर होतें तें मूळ इंग्रजी पुस्तकच कालप्रभावामुळें व पुढें झालेल्या प्रगतीमुळें टाकाऊ ठरलें, त्यामुळें रा. गोखले व कोल्हटकर यांनीं १९१८ सालीं नवीन धर्तीवर जरी केवळ भाषांतर नव्हे तरी इंग्रजींत पुस्तकांचा अनुवाद केला. या दोघांनीं अर्थात ट्रेनिंग कॉलेजला जरूर तेवढेच भाग प्रसिद्ध केले आहेत. या भाषांतरांत युक्लीडच्या चार पुस्तकांपलीकडे कांहीं मजल गेली नाहीं. अंकगणितावर जशीं बरींच पुस्तकें लिहिलीं गेलीं आहेत व बीजगणितावरहि लिहिण्याचा उपक्रम चालू आहे तसा या विषयावर लिहिण्याचा उपक्रम दिसत नाहीं. ओक व देसाई यांनीं जसें स्वतंत्र रीतीनें बीजगणितावर पुस्तक लिहिलें तसें एखादें पुस्तक या विषयावरहि लिहून मराठी वाङमयांत भर घालणें जरूर आहे.
आतां आपण भूमिती या विषयांत काय काय येतें तें पाहूं. भूमितीचीं मुख्य तत्त्वें द्यावयाचीं म्हणजे युक्लीड या ग्रीक गणित्यानें अत्यंत परिश्रम करून (खिस्तपूर्व ३ रें शतक) एके ठिकाणीं लिहून ठेवलेल्या सिद्धान्ताचा थोडक्यांत अनुवाद करणें होय. युक्लीडच्या पहिल्या चार पुस्तकांत रेषा कोन, सरलरेषाकृती वगैरे एकाच सरळ पातळींत असणा-या आकृतींचे गुणधर्म सांगितले आहेत. पांचव्या पुस्तकांत गुणोत्तर व प्रमाण यांचे कांहीं धर्म सांगून त्यांचा उपयोग सहाव्या पुस्तकांत केला आहे. अकराव्या व बाराव्या पुस्तकांतून घनाकृतींचा विचार केला आहे. तेरावें, चवदावें व पंधरावें यांत पाचं नियमित घनाकृतींविषयीं विशेष विचार केला आहे.
भूमितीशास्त्राचा नियम म्हणजे एखाद्या आकृतीच्या किंवा पदार्थाच्या बाजू, कडा, बाजूचें क्षेत्रफळ घनफळ वगैरेंच्या परस्पर संबंधाविषयीं नियम सिद्ध करणें हा होय. कांहीं परिमेयें प्रत्यक्ष मोजतां येतील परंतु बरीचशी अनुमानद्वाराच ठरवावीं लागतील. जीं परिमेयें प्रत्यक्ष मोजतां येत नाहींत किंवा प्रत्यक्ष मोजण्यास मोठा यत्न करावा लागतो अशी कांहीं परिमेयें अनुमानाद्वारा मोजण्याच्या अतिसुलभ रीती शोधून काढणें व तीं मोजण्याच्या कामीं त्या रीतींची योजना करून दाखविणें हा गणिशास्त्राचा विषय होय.
भूमितीचा आरंभ करण्यास प्रथम रेषा, कोनबिंदू वगैरेच्या कल्पना नीट समजल्या पाहिजेत. आपण एक वीट घेऊं. या घन पदार्थाला लांबीं, रुंदी व जाडी अशीं तीन परिमेयें आहेत. विटेची जाडी जर तीन फुट असली तर आपण ती घांसून कमी करुं. दोन फूट, एक फूट अर्धा फूट व पाव फूट अशा रीतीनें ती कमा केल्यावर अशी एक स्थिति प्राप्त होईल कीं, त्या वेळेचा विटेला जाडीच राहणार नाहीं. अर्थात् या स्थितीची कल्पनाच करावी लागेल. अशा या जाडीरहित विटेच्या भागाला सरळ पातळीचा भाग म्हणतात. जमिनीच्या पृष्ठभागास पातळी म्हणतां येईल पण सरळ पातळी म्हणतां येणार नाहीं. त्याचप्रमाणें चेंडूच्या पृष्ठभागास देखील पातळी म्हणतात याला आपण वक्र पातळी म्हणूं यालाच (पातळीला) संस्कृत ग्रंथांतून घरातल असें नांव आहे. जाडीविरहित विटेच्या भागाची आपण आतां रुंदी कमी करुं. ती रुंदीं अगदीं नाहींशी झाल्यावर जो कांहीं विटेचा भाग राहील त्यावरून रेषेची कल्पना येईल. अशा या रुंदी व जाडीविरहित विटेच्या भागाला रेषा म्हणतात. केंस ताणून धरला असतां रेषेसारखा दिसेल पण त्याला देखील कांहींतरी जाडी असतेच. म्हणून रेषा ही कल्पनेनेंच समजून घ्यावी लागेल. आतां या रेषेची लांबीं कमी कमी केली व ती नाहींशी झालीं म्हणजे जें कांहीं उरेल त्याला बिंदू म्हणतात. सूईचें टोक पाहून बिंदूची कल्पना देईल. पण हा भूमितींतला बिंदु अगदीं बारीक टोंकापेक्षांहि लहान आहे. म्हणजे तो परमाणु आहे. जशा पातळ्या दोन प्रकारच्या असतात, त्याप्रमाणेंच रेषाहि सरळ व वक्र अशा दोन प्रकारच्या आहेत. आतां दोन सरळ रेषा अगर वक्ररेषा एकमेकीला मिळाल्या म्हणजे त्यामधील कलास किंवा झोकांस कोन म्हणतात. एक मोठें घड्याळ घेऊं त्यांतील अवरकांटा फिरत नाहीं अशी कल्पना करुं. अवकरकाटां व मिनिटकांटा हे दोन्ही जर बारावरच असले तर त्यामध्यें कांहीं कोन नसतो. पण मिनिटकांटा फिरावयास लागला (व अवरकांटा स्थिरच आहे) तर त्या दोहोंमध्यें कोन उत्पन्न होतो. जसजसा कांटा जास्त फिरतो तसतसा त्यामधील कोन वाढत जातो. ज्याप्रमाणें रेषा मोजण्यास प्रथम परिमाण ठरवावें लागतें व लहान रेषा मोजण्यास मोजपट्टी व मोठ्या रेषा मोजण्यास सांखळ्या तयार करतात, त्याप्रमाणेंच कोन मोजण्यास देखील कोनमापक नांवाचें उपकरण तयार करतां येतें. भूमितींत कोन मोजवयाचें परिमाण अंश हें आहे. मिनिटकांटा तीन या आंकड्यावर आला म्हणजे त्या दोन कांट्यामधील कोन ९० अंश किंवा एक काटकोन झाला असें म्हणतात; सहा या आंकड्यावर आला म्हणजे १८० अंश, किंवा दोन काटकोनाबरोबर त्या दोन कांट्यामधील कोन होतो. या वेळेला ते दोन कांटे एकाच रेषेंत असतात. ९ या आंकड्यावर मिनिटकांटा गेला म्हणजे तो कोन २७० अंश होतो व फिरून वारा या आंकड्यावर मिनिटकांटा गेला म्हणजे ३६० अंश अगर चार काटकोनांतून तो कांटा फिरला असें म्हणतात. भूमितींत याच्यापेक्षां जास्त अंश असलेले कोन असत नाहींत. ही कल्पना त्रिकोणमितींत आहे. काटकोनाहून कमी असणा-या कोनास लघुकोन व काटकोनाहून मोठा असणा-या कोनास विशालकोन म्हणतात.
वर सांगितलेंच आहे कीं, ज्या वेळेस त्या दोन कांट्यामध्यें १८० अंशांएवढा कोन असतो त्या वेळेस ते दोन कांटे एकत्र सरळ रेषेंत असतात. यावरून कोणत्याहि रेषेनें जर दुसरी रेषा छेदिली तर त्या रेषेनें होणा-या दोन कोनांची बेरीज दोन काटकोनांत किंवा १८० अंश असतें हें उघड आहे. अशा दोन कोनांनां संलग्न कोन म्हणतात. (आकृति नं. १ पहा) येथें अबड या रेषेला बक ही रेषा मिळाली आहे म्हणून अबक व कबड या कोनांची बेरीज दोन काटकोन आहे. अबक व बकड या कोनांनां संलग्नकोन म्हणतात.
वरील विवराणावरून हें दिसून येईलच कीं, कोनाला दोन बाहू व एक शिरोबिंदू असतो. अबक या कोनाचे अब व बक हे बाहू आहेत व ब हा त्याचा शिरोबिंदू आहे. कोनाला नेहमीं नांव देतांना शिरोबिंदू दाखविणारें अक्षर हें मध्यें लिहितात. वर लिहिलेल्या सिद्धांताच्या उलट दोन संलग्न कोनांची बेरीज जर दोन काटकोन असेल तर त्या कोनांचे असाधारण बाहू एकाच रेषेंत असतात.
अब व कड या रेषा एकमेकांस छेदतात व अमक व बमड या कोनांनां समोरासमोरचे शिरोभिमुख कोन असें म्हणतात. याच आकृतींत (आ. नं. २ पहा) बमक व अमड ही समोरासमोर कोनांची दुसरी जोडी होय. असे समोरासमोरचे कोन सारखे असतात.
या आकृतींत (नं. ३ पहा) १, २, ३, ४ इत्यादी आंकड्यांनीं दर्शविलेले एकंदर आठ कोन आहेत. यांतील ४ व ६ नंबरचे कोन एकमेंकाचे व्यत्क्रम कोन होत. त्याचप्रमाणें ३ व ६ नंबरचेहि कोन व्युत्क्रम आहेत. २ व ६ नंबरचे कोन एकमेंकास सद्दश आहेत म्हणून या जोडील सद्दशकोन असें नांव देतात. त्याचप्रमाणें १ व ५, ४ व ८, ३ व ७ या सद्दश कोनांच्या दुस-या तीन जोड्या होत. मन ही रेषा अब व कड या रेषांनां छेदते म्हणून हिला छेदिनी म्हणतात. ज्या वेळेस व्युत्क्रम कोन बरोबर असतात. तेव्हां तया रेषा समांतर असतात.
ज्या रेषा कोणत्याहि बाजूस कितीहि वाढविल्या तरी एकमेकीस मिळत नाहींत. त्या रेषांनां समांतर रेषा म्हणतात. चौकोनी टेबलाच्या समोरच्या बाजू समांतर असतात.
सिद्धांतांची सिद्धता निरनिराळ्या प्रकारांनीं करावीं लागते. ज्या वेळेस एका सिद्धांतचा आधार घेऊन दुसरा सिद्धांत सरळ सिद्ध करतां येतो किंवा प्रत्यक्ष रीतीनें तें सिद्ध करून दाखविता येतें त्या वेळेस ती सिद्धता सरळ होय. ज्या वेळेस आडमार्गानें जाऊन एखादा सिद्धांत सिद्ध करतात त्या वेळेस त्याला व्यस्तविधी किंवा व्यत्याससिद्धता म्हणतात. हा प्रकार बहुतेक व्यत्याससिद्धांतांत योजावा लागतो. प्रत्येक सिद्धांतांत कांहींतरी दिलेली गोष्ट असते तिला कल्पितार्थ म्हणतात व त्यावरून जें सिद्ध करावयाचें असतें त्याला साध्य म्हणतात. कल्पितार्थ व साध्य यांची उलटापालट करून जो सिद्धांत बनतो त्याला त्याचा व्यत्याससिद्धांत म्हणतात. पहिला व दुसरा सिद्धांत हे एकमेकांचे व्यत्यास सिद्धांत आहेत. वर दिलेला चवभा सिद्धांत सिद्ध करण्याला छेदिनीचा जो त्या दोन रेषांमध्यें भाग असतो त्याच्या मध्यबिंदुभोंवतीं सर्व आकृति फिरवावी लागते.
जेव्हां दोन सद्दश कोन बरोबर असतील किंवा छेदिनीच्या एकाच बाजूस असलेल्या अंतर्गत कोनांची बेरीज दोन काटकोनाबरोबर असेंल तेव्हां त्या दोन रेषा समांतर असतात. ४ व ५ यांच्या व्यत्यासः-
जेव्हां एखादी छेदिनी दोन समांतर रेषांनां छेदते तेव्हां (अ) व्युत्क्रम कोन बरोबर असतात, (आ) सद्दश कोन बरोबर असतात व (इ) छेदिनीच्या एकाच बाजूस असलेल्या अंतर्गत कोनांची बेरीज दोन काटकोन असते.
जेव्हां दोन किंवा अधिक रेषा एकाच रेषेला समांतर असतात तेव्हा त्या परस्परांशीं समांतर असतात.
दोन सरळ रेषा कोणतीहि जागा व्यापूं शकणार नाहींत. एखादी जागा व्यापण्यास तिसरी रेषा पाहिजे. अशा आकृतीला त्रिकोण म्हणतात त्रिकोणाच्या तीन भुज व तीन कोन असतात. भुजांवरून त्रिकोणाचे तीन प्रकार आहेतः- (अ) समभुज त्रिकोण, (तिन्ही भुज सारखे) (आ) समद्विभुत्रिकोण (दोन भुज सारखे) व (इ) विषमभुजत्रिकोण.
कोनांवरूनहि तीन प्रकार आहेतः- (१) त्रिकोणाचा एखादा कोन काटकोन असेल तर काटकोन त्रिकोण, (२) एखादा कोन विशाल असेंल तर विशालकोनत्रिकोण आणि सर्वच लघुकोन असतील तर (३) लघुकोनत्रिकोण.
एका त्रिकोणाला तीन बाजू व तीन कोन असतात. या तीन कोनांची बेरील दोन काटकोन असते.
त्रिकोणाची जर एखादी बाजू वाढविली तर तो बहिःकोन होतो. तो त्याच्या समोर असलेल्या त्रिकोणाच्या आंतील कोणत्याहि कोनाच्या पेक्षां मोठा असतो. व तो बहिर्गत कोन त्याच्या समोर असलेल्या अंतःकोनांच्या बेरजेबरोबर असतो.
एका त्रिकोणाच्या दोन्ही बाजू व त्यांमधील कोन जर दुस-या त्रिकोणाच्या दोन बाजू व त्यांमधील कोन यांच्याबरोबर असतील तर ते दोन त्रिकोण एकरूप असतात.
एका त्रिकोणाची बाजू व दोन कोन जर दुस-या त्रिकोणाच्या सद्दश बाजू व दोन कोनांबरोबर असतील तर ते दोन त्रिकोण एकरूप असतात.
समद्वविभुज त्रिकोणांत सारख्या बाजूंच्या समोरचे कोन सारखे असतात.
एखाद्या त्रिकोणांत जर दोन कोन सारखे असले तर त्यांच्या समोरील बाजू सारख्या असतात.
एका त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू जर दुस-या त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजूंबरोबर असल्या तर ते त्रिकोण एकरूप असतात.
एका काटकोन-त्रिकोणाचा कर्ण व एक बाजू जर दुस-या काटकोन त्रिकोणाच्या कर्ण व बाजूबरोबर असतील तर ते त्रिकोण एकरूप असतील.
आतांपर्यंत त्रिकोणाचे भाग व त्यांचे गुणधर्म यांचें विवरण झालें. भूमितींत आकृति काढणें हें देखील महत्वाचें आहे. पूर्वीं कशा तरी आकृती काढून गुणधर्म सिद्ध करीत असत. पण अलीकडे आकृती अगदीं बरोबर काढूं लागले आहेत. व त्याकरितां भूमितींत कृत्य-प्रकरण म्हणून आहे. हें प्रकरण पुर्वीं देखील होतें. पण त्याचा उपयोग नेहमीं करीत नसत. या वर सांगितलेल्या त्रिकोणाच्या गुणधर्मांवरून पुढील कृत्यें करतां येतील आणि तीं सिद्ध करतां येतात. हीं सर्व कृत्यें करण्याला पूर्वीं सांगितलेलीं (१) फूटपट्टी व (२) कोनमापक हीं उपकरणें लागतात आणि (३) कम्पास या नांवाचें एक उपकरण वर्तुळ काढण्यास लागतें. याशिवाय दोन त्रिकोनी गुण्यांचाहि उपयोग करतात. हा भाग व्यवहारांत फार उपयोगी आहे. सुतार काम, बांधकाम वगैरे सर्व कामांत या भागाचा फार उपयोग आहे.
(१) एका कोनाएवढा दुसरा एक कोन काढणें (याचांच सर्वत्र उपयोग करावा लागतो)
(२) तीन बाजू दिल्या असतां त्रिकोन काढणें.
(३) (अ) कोन दुभागणें; (आ) नियमित रेषा दुभागणें.
(४) एखाद्या रेषेशीं काटकोन करणा-या रेषेला लंब म्हणतात. असा लंब एकाद्या रेषेला (अ) तिच्यांत असलेल्या बिदुंतून काढणें; (आ) तिच्या बाहेर असलेल्या बिंदूपासून काढणें व (इ) एका टोंकाला काढणें.
(५) एखाद्या रेषेला समांतर रेषा काढणें.
(६) दोन बाजू व त्यांच्यामधील कोन दिला असतां त्रिकोण काढणें.
(७) एक बाजू व दोन कोन दिले असतां त्रिकोण काढणें.
(८) काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण व एक बाजू दिली असतां काटकोनत्रिकोण काढणें.
(९) दोन बाजू व एकीसमोरील कोन दिला असतां त्रिकोण काढणें हा त्रिकोण काढूं लागलें असतां केव्हां केव्हां एकाच्या ऐवजीं दोन त्रिकोण उत्पन्न होतात. अशा रीतीनें संदिग्धता उत्पन्न होते. म्हणून हा प्रकार संदिग्धप्रकार या नांवानें प्रसिद्ध आहे. त्रिकोणाशीं संबंध असलेल्या दुस-या पुष्कळ रेषा व कोन आहेत; त्यांचा जागजागीं उल्लेख येईलच. यांपैकीं कोणतेहि तीन संबंध किंवा परिमेयें स्वतंत्र दिलीं असतां बहुधां त्रिकोण काढतां येतो.
(१०) त्रिकोणाच्या मोठ्या बाजूसमोरील कोन मोठा असतो.
(११) त्रिकोणाच्या मोठ्या कोनासमोरील बाजू मोठी असते.
(१२) त्रिकोणाच्या कोणत्याहि दोन बाजू मिळून तिस-या बाजूपेक्षां मोठ्या असतात व त्यांमधील अंतर हें तिस-या बाजूपेक्षां कमी असतें.
(१३) एका त्रिकोणाच्या दोन बाजू जर दुस-या त्रिकोणाच्या दोन बाजूंबरोबर असतील तर त्यांमधील ज्याचा कोन मोठा असेल त्यांची तिसरी बाजू मोठी असते. व याचा व्यत्यास-एका बिंदूपासून एखाद्या रेषेला मिळणा-या सर्व रेषांमध्यें लंब हा सर्वांत लहान असतो.
चार बाजू असलेल्या आकृतींस चौकोन म्हणतात. या चौकोनाला चार बाजू व चार कोन असतात. सामोरील कोन सांधणा-या रेषेला कर्ण म्हणतात. चौकोनांत असे कर्ण दोन असतात. समोरील बाजूंच्या दोन्ही जोड्या जर समांतर असतील तर त्याला समांतरभुजचौकोन म्हणतात; पण एकच जोडी समांतर असून दुसरी समांतर नसेल तर त्याला समलंब चतुरस्त्र म्हणतात. समांतरभुजचौकोनाच्या चारी बाजू सारख्या असल्या तर त्यास समभुजचौकोन म्हणतात. समांतरचौकोनाच्या चारी बाजू सारख्या असून सर्व कोनहि काटकोन असले तर त्याला चौरस म्हणतात. पण नुसते कोनच काटकोन असले तर त्याला आयात म्हणतात.
(१) समांतर भुज चौकोनाच्या समोरच्या बाजू सारख्या असतात. समोरचे कोन सारखे असतात. दोन्हीं कर्ण एकमेकांस दुभागून त्या समांतरभुजचौकोनसहि दुभागतात.
(२) एखाद्या चौकोनाच्या (अ) जर समोरच्या बाजूच्या दोन्ही जोड्या सारख्या असल्या तर, (आ) एकच जोडी सारखी व परस्पर समांतर असेल तर, (इ) समोरचे कोन सारखे असतील तर किंवा (ई) दोन्हीं कर्ण एकमेकांस दुभागतील तर तो चौकोन समांतरभुजचौकोन असतो. यावरून आणखी पुष्कळ गुणधर्म प्रत्येक आकृतीचे दाखवितां येतील.
(३) तीन किंवा अधिक समांतर रेषांनां छेदणा-या एखाद्या रेषेचे झालेले भाग जर सारखे असतील तर त्याच समांतर रेषांनां छेदणा-या दुस-या एखाद्या रेषेचे झालेले भाग सारखे असतात.
यावरून दिसून येईल कीं, त्रिकोणाच्या कोणत्याहि दोन बाजूंचे मध्यबिंदू सांधणारी रेषा तिस-या बाजूला समांतर असून तिच्या निम्मी असते. त्रिकोणाच्या शिरोबिंदु व त्याच्या समारे असलेल्या बाजूचा मध्यबिंदु सांधणा-या रेषेला मध्यगा म्हणतात. अशा मध्यगा कोणत्याहि त्रिकोणांत तीन असतात. त्या तिन्ही एकाच बिंदूंतून जातात. व हा बिंदु प्रत्येक मध्यगेचा विभागणारा बिंदु असतो. या बिंदुला त्रिकोणाचा मध्यम संगमबिंदु म्हणतात. हाच त्रिकोणाचा गुरूत्वमध्य असतो.
त्याचप्रमाणें त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांचे दुभाजक एकाच बिंदूंतून जातात व हा बिंदु त्रिकोणांतर्गत वर्तुळांचा मध्यबिंदु असतो. त्रिकोणाच्या एका कोनाचा व दुस-या दोन बर्हि:कोनचे दुभाजक एकाच बिंदूंतून जातात व हा बिंदु देखील त्रिकोणाच्या बहिस्पर्शी वर्तुळाचा मध्यबिंदु असतो.
त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजूंचे दुभाजक लंब एकाच बिंदूतून जातात व हा बिंदु त्रिकोणाच्या परिवेष्टित वर्तुळाचा मध्यबिंदु असतो. त्रिकोणाच्या शिरोकेंद्रापासून समोरील बाजूवर काढलेले लंब देखील एकाच बिंदूंतून जातात व या बिंदूला लंबकेंद्र म्हणतात.
याप्रमाणें त्रिकोण, चतुष्कोण वगैरे आकृतींचे मुख्य मुख्य गुणधर्म सिद्ध करून त्यावरून जीं कृत्यें करतां येतात तींहि करावीं. आतां यापुढें याच आकृतींच्या क्षेत्रफळाचा विचार केला आहे.
क्षेत्रफळ मोजावयाला परिमाण काय असावें व तें कसें मोजतात हें 'अंकगणित' या लेखांत सांगितलेंच आहे. क्षेत्रफळासंबंधीचे सिद्धांत आयताच्या क्षेत्रफळाच्या सिद्धांतावर अवलंबून आहेत. आयताचें क्षेत्रफळ लांबीं रुंदीच्या गुणाकाराबरोबर असतें. हें अंकगणित या लेखांत स्पष्ट दाखविलेंच आहे. त्रिकोणाचें क्षेत्रफळ काढावयाचें असलें म्हणजे कोणत्या तरी एका बाजूला पाया कल्पून त्याच्या समोरील शिरोबिंदूपासून काढलेल्या लंबाला उंची म्हणतात. त्याचप्रमाणें समांतरभुजचौकोनच्याहि कोणत्या तरी एका बाजूला पाया कल्पून त्या व त्याच्या समोरील बाजूमध्यें असलेल्या लंबांहराला उंची म्हणतात एकाच उंचीचे त्रिकोण किंवा समांरभुजचौकोन दोन समांतर रेषांमध्यें बरोबर ठेवतां येतील.
(४) पाया व उंची सारखी असल्यास समांरभुजचौकोन (किंवा त्रिकोन) बरोबर असतात.
(५)पण त्रिकोणाचें क्षेत्रफळ त्याच पायावर व तीच उंची असलेल्या आयाताच्या निम्मे असतें.
(६) त्रिकोणाचे पाये एकाच रेषेंत असून जर ते सर्व बरोबर असले तर त्यांचे एकाच बाजूला असलेले शिरोबिंदू समांतर रेषेंत असतात,
यावरून निरनिराळ्या आकृतीचीं क्षेत्रफळें काढण्याचे नियम बनविलेले आहेत. क्षेत्रफळाच्या या सिद्धांतांचा उपयोग बैजिक स्वरूपवर्गसमीकरणें भूमितीच्या योगानें सिद्ध करण्याकडे होतो.
(७) क्ष(अ ब क...) = अक्ष+ बक्ष+ कक्ष.
(८) (अ ब) = अ२ +२ अब ब२
(९) अ२ – ब (अ – ब) (अ – ब)
(१०) (अ ब)२ (अ ब)२ २अ२ +२ब२
(११) (अ ब)२ - (अ ब)२ = ४ अब.
यांच्या आकृतीवरून सिद्धता लवकरच ध्यानांत येईल. याच पद्धतीवर पायथॅगोरसचा सिद्धांत सिद्ध करतां येतो. व ही युक्ति योजूनच भास्कराचार्यांच्या लीलावतींत तो सिद्ध केला आहे.
(१२) काटकोनत्रिकोणांत कर्णावरचा चौरस दुस-या दोन बाजूंवरच्या चौरसांच्या बरेजेबरोबर असतो.
(१३) याच्या उलट जर त्रिकोणाच्या एका बाजूचरचा चौरस दुस-या दोन बाजूंवरच्या चौरसांच्या बेरजेबरोबर असेल तर तो त्रिकोण काटकोनत्रिकोण असतो.
(१४) विशालकोन त्रिकोणांत विशालकोनाच्या समोरच्या बाजूवरच्या चौरस दुस-या दोन बाजूंवरच्या चौरसांपेक्षां त्या दोन बाजूपैकीं एक व दुसरीची याच रेषेवर लंबछाया यांनीं बनलेल्या अशा आयताच्या दुपटीनें जास्त असतो.
(१५) परंतु लघुकोनाच्या सोमरच्या बाजूचरचा चौरस तितक्यानेंच कमी असतो.
(१६) कोणत्याहि त्रिकोणांत कोणत्याहि दोन बाजूंवरच्या चौरसांची बेरीज ही तिसरीच्या मध्यगेवरील चौरस व तिसरीच्या अर्धावरील चौरस यांच्या बेरजेबरोबर असते.
यावरून निरनिराळ्या आकृतीच्या क्षेत्रफळांचीं सूत्रें बसविता येतात. त्रिकोणाच्या तीन बाजूंची लांबीं नेहमीं 'अ' 'ब' 'क' या अक्षरांनीं दाखवितात. तिन्ही बाजूंच्या बेरजेला परिमिती म्हणातात. या परिमितीचा अर्ध नेहमीं 'स' या अक्षरानें दाखवितात. त्रिकोणाचें क्षेत्रफळ या ग्रीक अक्षरानें दाखविण्याची वहिवाट आहे.
= हे सूत्र प्रसिद्धच आहे. वर जो लंबछायेबद्दल उल्लेख आला आहे याबद्दल पुढें स्पष्टीकरण होईलच.
समांतरभुजचौकोनाच्या कर्णावर एखादा बिंदु घेऊन त्यांतून जर त्याच्या बाजूंनां समांतर रेषा काढल्या तर कर्णाच्या दोन्हीं बाजूंस जे समांतर भुजचौकोन होतात ते सारखे असतात व त्यांनां पूरक समांतरभुजचोकोन असें म्हणतात. क्षेत्रफळांतील कृत्य प्रकरणांत पुढील कृत्यें येतात.
(१) एखाद्या त्रिकोणाबरोबर समांतरभुजचौकोन अगर आयात काढणें हा बाजूंच्या लांबीमध्यें जरी फरक केला तरी काढतां येतो. (अ) एखाद्या त्रिकोणाबरोबर दुस-या एखाद्या रेषेवर त्रिकोण काढणें. (ब) एखाद्या आयताबरोबर दुस-या एखाद्या रेषेवर आयत काढणें वगैरे
(२) एखाद्या दिलेल्या चौकोनाबरोबर त्रिकोण समांतरभुजचौकोन किंवा आयात काढणें. आयताबरोबर चौरस काढावयाला वर्तुळाच्या गुणधर्माचा उपयोग करतात.
(३) त्रिकोणाचे किंवा समांतरभुजचौकोनाचे सारखे भाग करणें.
(४) एखाद्या चौकोनाचे सारखे दोन भाग करणें.
(५) दिलेल्या दोन चौरसांच्या बेरजेबरोबर अगर वजाबाकीबरोबर चौरस काढणें. हें काटकोनत्रिकोणाचा जो धर्म सांगितला आहे त्यावरून करतां येतें. व हें सुल्वसूत्रांत दिलें आहे. अशा त-हेचीं कृत्यप्रकरणें यांत येतात. आतां आपण वर्तुळाकडेक वळूं.
वर्तुळाला एक मध्यबिंदू असतो. त्या मध्यबिंदुपासून परिघावरच्या सर्वबिंदूपर्यंत काढलेल्या रेषा बरोबर असातात अशा वक्राकार रेषेनें व्यापलेला भागाला वर्तुळ म्हणतात व त्या वक्राकार रेषेला परिघ म्हणतात मध्यबिंदूपासून परिघापर्यंत काढलेल्या रेषेला त्रिज्या (ह्या शब्दाचा मूळ अर्थ तीन राशींची ज्या. ह्यावरून हा शब्द त्रिकोणमितीची बरीच माहिती आपल्या पूर्वजांस झालेली होती असें दाखवितो व अशा काळींच तो शब्द प्रचारांत आला असावा) म्हणतात. मध्यबिंदूंतून दोन्ही बाजूंस परिघापर्यंत काढलेल्या रेषेला व्यास म्हणतात. परिघावरच्या कोणत्याहि दोन बिंदूंनां सांधणा-या रेषेला ज्या म्हणतात. या दोन बिंदूंच्यामधील परिघाच्या भागाला कंस म्हणतात. ज्या व तिच्या वरचा वर्तुलभाग यांनीं परिवेष्टित अशा भागाला वर्तुळखंड म्हणतात. दोन त्रिज्या व त्यांमधील कंस यांनीं परिवेष्टित अशा वर्तुळाच्या भागाला द्वित्रिज्यखंड म्हणतात. आकृतींत (नु.४ पहा) पुढीलप्रमाणें स्पष्ट होईल. म = मध्यबिंदू, मक = मख = त्रिज्या; कग = व्यास, कख = कंस कख(रेषा) = ज्या, कगख = वृत्तखंड मखक (शाईनें काळा केलेला भाग) = द्वित्रिज्य खंड.
वर्तुळाकडे पाहिलें असतां एकदम दिसून येईल कीं तें मध्यबिंदुभोंवतीं समप्रमाण आहे. व अशी ही भूमितींत एकच आकृति आहे व वर्तुळ हें कोणत्याहि व्यासाभोंवतींदेखील समप्रमाण आहे. व्यास हा वर्तुळाचा समप्रमाणाक्ष होय. वर्तुळ ज्या कागदावर काढलें असेल त्या कागदाची घडी व्यासाभोंवतीं घातली तर वर्तुळाचा एक भाग बरोबर वर्तुळाच्या दुस-या भागावर पडेल.
(१)वर्तुळांतील एखाद्या ज्येवर मध्यबिंदूंतून जर लंब काढला तर तो त्या ज्येला दुभागतो. याच्या उलट जर एखादा व्यास एखाद्या मध्यांतून न जाणा-या ज्येला दुभागीत असेल तर तो व्यास त्या ज्येशीं काटकोन करतो. किंवा कोणत्याहि ज्येचा लंबदुभाजक व्यास असतो. एकाच सरळ रेषेंत असलेल्या तीन बिंदूंतून वर्तुळ काढतां येत नाहीं.
(२) तेच बिंदू जर एकाच सरळ रेषेंत नसतील तर वर्तुळ काढतां येईल व असें वर्तुळ त्या तीन बिंदूतून काढता येईल एक सरळ रेषा एका वर्तुळाला दोनच ठिाकणीं छेदूं शकेल अशा छेदणा-याला रेषेला छेदिनी म्हणतात.
(३) दोन सारख्या वर्तुळांत जर दोन कंस सारखे असतील तर त्या कंसांसमोरच्या मध्यबिंदूंशीं झालेले कोन सारखे असतात व याचा व्यत्यासहि खरा आहे.
(४) दोन सारख्या वर्तुळांत जर दोन कंस सारखे असतील तर त्यांच्या ज्या, त्यांनीं केलेले चापखंड, वृत्तखंड हे सारखे असतात. व याचा व्यत्यासहि खरा आहे.
(५) दोन सारख्या वर्तुळांत सारख्या ज्या मध्यबिंदूपासून सारख्या अंतरावर असतात व त्याचप्रमाणें व्यत्यास खरा आहे.
(६) एकाच वर्तुळांत अगर दोन सारख्या वर्तुळांत मोठी ज्या मध्यबिंदूच्या जवळ असते. म्हणूनच सर्वांत मोठी ज्या म्हणजे व्यास होय.
(७) एकाच वर्तुळांत एखाद्या कंसासमोरचा वृत्तखंडकोन हा त्याचा कंसासमोरच्या मध्यकोनाच्या निम्मा असतो.
(८) म्हणून एकाच वृत्तखंडांतले सर्व कोन सारखे असतात.
(९) वृत्तार्धांतला कोन काटकोन असतो व वृत्तार्धापेक्षां मोठ्या असलेल्या वृत्तखंडांतील कोन लघुकोन असतो व वृत्तार्धापेक्षां लहान असलेल्या वृत्तखंडांतील कोन विशल कोन असतो.
(१०) एकाच मर्यादित रेषेवर व त्या रेषेच्या एकाच बाजूला जर सारखे कोन असले तर त्यांचे शिरकोन त्या रेषेंच्या टोकांमधून जाणा-या वर्तुळावर असतात.
(११) वर्तुळाकार चार बिंदू घेऊन जर एक चौकोन काढला तर त्याच्या समोरासमोरच्या कोनांची बेरीज दोन काटकोन असते.
(१२) याच्या उलट एखाद्या चौकोनाच्या समोरासमोरच्या कोनांची बेरीज दोन काटकोन असली तर त्या चौकोनाच्या चारी शिराकोनांतून वर्तुळ काढतां येईल.
वर सांगितलेंच आहे कीं, एखाद्या वर्तुळाला एखादी छेदिनी दोनच ठिकाणीं छेदूं शकेल. ही छेदिनी एखाद्या छेदनबिंदूभोंवतीं अगर आपल्याशींच समांतर फिरेल तर कांहीं वेळानें ते बिंदू एकमेकांच्या अगदीं जवळ येऊन एकजीव होऊन जातील. त्यावेळेला ती छेदिनी वर्तुळाला स्पर्श करते व तिला स्पर्शरेषा म्हणतात. त्याचप्रमाणें दोन किवां अधिक वतुळें एकमेकांस स्पर्श करूं शकतील तीं ज्या ठिकाणीं स्पर्श करतात त्याला स्पर्शबिंदू म्हणतात.
(१३) स्पर्शरेषेंतून जाणारी त्रिज्या स्पर्शरेषेशीं काटकोन करते.
(१४) एका वर्तुळाला बाह्यबिंदूपासून दोनच स्पर्शरेषा काढतां येतील व या दोन स्पर्शरेषा सारख्या लांबींच्या असून तो बिंदू व मध्यबिंदु सांधणा-या रेषेशीं सारखे कोन करतात.
(१५) दोन वर्तुळें जर एकमेकांस स्पर्श करतील तर त्यांचा स्पर्शबिंदू मध्यरेषेवर असतो.
(१६) स्पर्शरेषेने एखाद्या स्पर्शबिंदूतून काढिलेल्या ज्येशीं केलेला कोन व्युत्क्रमखण्डांतल्या कोनाबरोबर असतो.
(१७) एखाद्या वर्तुळांत एखाद्या विवक्षित बिंदूतून जाणा-या ज्येचे जे दोन भाग होतात त्यांनीं बनलेल्या आयतांचें क्षेत्रफळ नेहमीं तेंच असतें. हा बिंदु आंत अगर बाहेर असूं शकेल. बाहेर असला तर त्या आयताचें क्षेत्रफळ त्या बिंदूंतून निघणा-या स्पर्शरेषेवरच्या चौरसाइतकें असतें.
याप्रमाणें वर्तुळाचे साधारण गुणधर्म असतात. आतां कृत्य व इतर भाग यांकडे वळूं. कृत्यप्रकरणांत पुढील भाग येतातः- (१) कोणत्याहि तीन बिंदूंतून अगर एखाद्या त्रिकोणाला परिवेष्टित असें वर्तुळ काढणें (२) कोणत्याहि (एकाग्र नाहींत अशा) तीन रेषांनां अगर एखाद्या त्रिकोणाला अन्तस्पर्शी अगर बाह्यस्पर्शी वर्तुळ काढणें. अशीं वर्तुळें एकंदर चार निघतील. (३) एखाद्या वर्तुळाच्या कंसाला दुभागणें (४) एखाद्या वर्तुळाकार दिलेल्या बिंदूतून स्पर्शरेषा काढणें (५) एखाद्या बाह्यबिंदूपासून दिलेल्या वर्तुळाला दोन स्पर्शरेषा काढणें (६) एखाद्या वर्तुळांत दिलेल्या त्रिकोणाशीं समकोनत्रिकोण काढणें (७) एखाद्या वर्तुळाभोंवतीं दिलेल्या त्रिकोणाशीं समकोनत्रिकोण काढणें. (८) एखाद्या वर्तुळांत अगर वर्तुळाभोंवतीं नियमिताकृति काढणें. या नियमिताकृतींच्या क्षेत्रफळावरून वर्तुळाचें क्षेत्रफळ काढतात. पण तें निशेष निघत नाहीं. अदमासें निघतें. निश्चित परिमाण (एकसंविभाज्यसंख्या) म्हणून वर्तुळाचें क्षेत्रफळ नेहमीं = # (त्रिज्या)२ असें लिहितात. येथें (पाय) हें ग्रीक अक्षर आहे. तें विविक्षित आंकडा दाखविण्याकरितां लिहितात. (९) एखाद्या दिलेल्या नियमित रेषेवर दिलेला कोन असणारें वृत्तखंड काढणें. (१०) दोन वर्तुळांनां साधारण स्पर्शरेषा काढणें; त्या दोन प्रकारच्या असून प्रत्येक जातीच्या दोन दोन असूं शकतील. (१२) एखाद्या नियमितकृतीभोंवतीं अगर तिला अन्तःस्पर्शी असें वर्तुळ काढणें.
एखाद्या त्रिकोणांत शिरोकोनापासून समोरच्या बाजूवर काढलेले लंब एकाचा बिंदूंतून जातात हें मागें सांगितलेंच आहे. लंबमूळें सांधून बनणा-या त्रिकोणाला मूलसाधित लंबज त्रिकोण असें म्हणतात.
त्रिकोणाच्या बाजूंचे तीन मध्यबिंदू तीन लंबमूलें व प्रत्येक शिरकोन लंबकेंद्राशीं सांधून बनणा-या रेषांचे तीन मध्यबिंदू अशा नऊ बिंदूंतून एकच वर्तुळ जातें. याला नवबिंदुवर्तुल असें म्हणतात. हें फार महत्वाचें वर्तुळ आहे, हें त्रिकोणाच्या अन्तस्पर्शी व बाह्यस्पर्शी वर्तुळांशीं स्पर्श करतें.
आंतापर्यंत भूमितींत बिंदुमार्ग म्हणून एक महत्त्वाचा भाग आहे. त्याच्याकडे वळतां आलें नाहीं. एखादा फिरता बिंदू जर एखाद्या भौमितिक नियमबद्ध मार्गांनें फिरत असेल तर त्याच्या फिरण्यानें जो मार्ग बनतो त्याला बिंदूमार्ग म्हणतात. हा बिंदूमार्ग सरलरेषात्मक किंवा वक्ररेषात्मक असूं शकेल; उदाहरणार्थ - वर्तुळ ही आकृति एका फिरत्या बिंदूचा बिंदूमार्गच आहे. येथें भौमितिक नियम मध्यबिंदूपासून फिरत्या बिंदूनें सारख्या अंतरावर रहाणें हा आहे.
दिलेल्या दोन बिंदूपासून सारख्या अंतरावर असणा-या बिंदूचा बिंदुमार्ग सरलरेषात्मक असतो. ही रेषा दोन बिंदू सांधणा-या रेषेचा लंबदुभाजक असतो. दिलेल्या दोन परस्पर छेदणा-या रेषांपासून सारख्या अंतरावर असणा-या बिंदूचा बिंदूमार्ग त्या दोन रेषांमधील कोनांचे दुभाजक अशा दोन रेषा असतात.
एखाद्या मर्यादित सरलरेषेवर जर समान कोन उभारले तर त्यांचीं टोके एका वर्तुळ कंसावर असतात, म्हणजे हा त्यांचा बिंदूमार्ग होय. दोन वर्तुळांनां एखाद्या बाह्य बिंदूपासून स्पर्शरेषा काढतां येतील. या स्पर्शरेषा जर समान येतील तर अशा सर्व बिंदूंच्या मार्ग देखील रेषात्मकच असतो. ही रेषा मध्यरेषेशीं काटकोन करते. या रेषेला अक्षरेषा म्हणतात. ही अक्षरेषा दोहोंपेक्षां अधिक वर्तुळांनां जेव्हां साधरण असते तेव्हां या सर्व वर्तुळांनां एकाक्षवर्तुळें म्हणतात. या वर्तुळांपैकीं ज्यांची त्रिज्या शून्य असते. अशीं देखील वर्तुळें-दोन बिंदू असतात त्यांनां अंतिमबिंदू म्हणतात. या अक्षरेषेवर एखादा बिंदू घेऊन तेथून निघणा-या स्पर्शबिंदूएवढ्या त्रिज्येनें वर्तुळ काढलें तर तें एकाक्ष वर्तुळांपैकीं प्रत्येकांशीं काटकोन करतें. परस्परांस छेदणा-या वर्तुळांमधील कोन म्हणजे छेदनबिंदूतून जाणा-या स्पर्शरेषांमधील कोन होय. जी वर्तुळ एकमेकांशीं काटाकेन करतात त्यांनां लंबत्रिज्यक किंवा लंबछेदक म्हणतात.
युक्लीडमध्यें याच्यापुढें गुणोत्तर व प्रमाण यांविषयीं उहापोह केला आहे. पण तो बीजगणितांत येतो म्हणून येथें देण्याची आवश्यकता नाहीं.
कोणत्याहि त्रिकोणांत एखाद्या बाजूला समांतर रेषा काढली असतां ती इतर दोन बाजूंनां समप्रमाणांत छेदते.
एकाच उंचीच्या दोन किंवा अधिक त्रिकोणांचीं क्षेत्रफळें त्यांच्या पायांच्या प्रमाणांत असतात. समकोनत्रिकोण सरूप असतात व सरूपत्रिकोण समकोन असतात.
ज्या आकृतीच्या सद्दश् बाजू सारख्या प्रमाणांत असतात त्या आकृतींनां सरूपाकृती म्हणतात. सर्व सरूप आकृतीं समकोण असतात पण समकोणाकृती सरूप असतातच असें नाहीं. सरूप त्रिकोणाचीं व सरूपाकृतींचीं क्षेत्रफळें सद्दश बाजूंच्या वर्गाच्या प्रमाणांत असतात.
जर एकमेकांच्या सद्दशबाजू समांतर राहतील अशा रीतीनें सरूपाकृती ठेवल्या तर त्यांच्या सद्दश शिरोकोन सांधणा-या सर्व रेषा एकाच बिंदूंतून जातात. व या बिंदूला साद्दश्यमध्य म्हणतात. सर्व सारख्या बाजू असणा-या नियताकृती सरूप असतात. म्हणून सर्व वर्तुळेंहि सरूप होत. कारण वर्तुळ या नियताकृतीला अंनत बाजू आहेत. पण दोन वर्तुळांनां दोन साद्दश्यमध्य असतात त्या दोन वर्तुळांवरचे साद्दश्यबिंदू सांधणा-या सर्व रेषा या दोन साद्दश्यमध्यापैकीं एकांतून जातात. त्रिकोणाच्या एखाद्या कोनाचे अंतर व बाह्य द्विभाजक समोरच्या बाजूचे प्रत्येकी असे दोन भाग करतात कीं, ते भाग बाकीच्या दोन बाजूंच्या प्रमाणांत असतात.
एखाद्या रेषेचें अंतर व बाह्य भाग प्रमाणांत असले तर ती रेषा हरात्मक रीतीनें विभागली आहे असें म्हणतात. हरात्मक विभाग हा एका अलीकडील भूमितीचा महत्वाचा विभाग आह तो पुढें येईलच.
एखाद्या काटकोनत्रिकोणांत काटकोनापासून कर्णावरच्या लंबाच्या वरचा चौरस हा कर्णाच्या भागानीं बनलेल्या आयता बरोबर असतो.
कोणत्याहि चक्रीय चौकोनांत दोन्ही कर्णांनीं बनलेला आयत समोरासमोरच्या बाजूंनीं बनलेल्या आयताच्या बेरजेबरोबर असतो. म्हणजे संमुख भुजयुगलसिद्ध जे दोन आयत होतात. त्यांच्या बेरजेबरोबर होतो. हा सिद्धांत टॉलेमीचा सिद्धांत या नांवानें प्रसिद्ध आहे. यांवर कृत्यें पुढच्या प्रकारचीं येतात (१) कोणतीहि रेषा दिलेल्या प्रमाणांत अंतर् अगर बाह्य रीतीनें विभागणें (२) दिलेल्या तीन रेषांनां चवथें प्रमाण काढणें (३) दिलेल्या दोन रेषांनां मध्य प्रमाण काढणें (४) दिलेल्या आयताबरोबर चौरस काढणें (५) करणीगत संख्या भूमितीनें दाखविणें. (६) त्रिकोणांतर्गत चौरस काढणें (७) दिलेल्या आकृतीला दिलेल्या रेषेवर सरूपाकृती काढणें. (८) त्रिकोणाच्या तीन बाजू दिल्या असतां कोणत्याहि कोनाच्या द्विभाजकांची अगर परिवर्तुळाच्या त्रिज्येची लांबीं काढणें.
एखाद्या रेषेचे जर असे दोन भाग केले कीं एका भागावरचा चौरस संबंध रेषा व दुसरा भाग यांनीं युक्त असा आयताबरोबर असेल तर ती रेषा मध्यप्रमाणांत विभागली आहे असें म्हणतात.
एका समद्विभज त्रिकोणाचा पाया जर दुस-या बाजूच्या मध्यप्रमाण भागांपैकीं मोठा असेंल तर त्याचे कोन ३६, ७२० व ७२० असे असतात. यावरूनच कोनमापकाचा उपयोग न करतां नियंत्रित पंचकोन व दशकोन काढतां येतात.
आ धु नि क भू मि ती.– आतांपर्यंत आपण नुसत्या रेषा, कोन क्षेत्रफळें वगैरेंचा विचार केला पण अलीकडे घनरेषा, ॠणरेषा, घनकोन व ॠणकोन इत्यादि अधिक रीतीनें प्रश्नांचा विचार करतात. रेषा उजवीकडे काढली असतां तिला घनरेषा म्हणतात व डावीकडे काढली असतां ॠण रेषा म्हणतात. हें पूर्वींपासून ठरलेलें आहे. त्याचप्रमाणें घड्याळाचे कांटे ज्या दिशेनें फिरतात त्याच्या उलट दिशेनें फिरून एखाद्या रेषेनें कोन उत्पन्न केला तर तो घनकोन म्हणतात व तो कांट्यांच्या दिशेनें फिरला तर त्यास ॠणकोन म्हणतात.
अ ब क येथें अक आणि कब हे रेषेचे दोन भाग दोन्ही एकाच दिशेकडे मोजले जातात. म्हणून धन आहेत पण खालीं अ ब क अब या रेषेचे अक, कब हे दोन भाग आहेत येथें दुसरा भाग पहिल्याच्या उलट मोजतात. म्हणून एक जर धन असेल तर दुस-या ॠण होय.
जर एखादी रेषा त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजूंनां छेदील तर प्रत्येक बाजूच्या भागांच्या गुणोत्तरांचा गुणाकार एक असतो. पण तो उणा एक असतो. उदा.अम/मबXबत/तकXकन/नअ = -१ (आकृति नं. ५ पहा)
पण जर एकाच बिंदूंतून व त्रिकोणाच्या प्रत्येक शिरोकोनांतून जाणा-या तीन रेषा समोरील बाजूंनां छेदतील तर या ठिकाणीं पूर्वींचा गुणाकार अधिक एक असतो म्हणजे -बम/मकXकन/नअXअत/तब
= १ (आ.नं. ६ पहा)
त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूतून दोन बाजूंशीं प्रत्येकीं समान कोन करणा-या रेषा काढल्या असतां त्यांनां परस्परांच्या एकाग्रक किंवा युग्मरेषा म्हणतात.
मध्यगांच्या जोडीदारांनां उपमध्यगा म्हणतात. याहि एकाच बिंदूंतून जातात. या बिंदूला उपमण्यगाकेंद्र म्हणतात. एकाच रेषेवर अ, ब, क, ड हे चार बिंदू असले तर अबXकड/अडXकब याला वामप्रमाण किंवा असमांतर बाह्मप्रमाण म्हणतात. यांतली मुख्य खूण म्हणजे (१) प्रत्येक अक्षर अंशांत एकदां व छेदांत एकदां येतें; (२) छेद हा अंशातलें पहिलें, चवथें आणि तिसरें व दुसरें अशीं अक्षरें घेऊनच बनतो. ही निष्पत्ति थोडक्यांत (अबकड) अशा रीतीनें लिहितात. अंकपाशपद्धतीनें चार अक्षरांचे गुणाकार २४ त-हेनें मांडतां येतील (मध्य निष्पत्ति खरोखरी सहा प्राकरची होऊं शकेल) पंरतु सर्व गुणाकार लक्षांत घेऊन सहाच मध्य निष्पत्ती होतील.
पुष्कळ बिंदु एकाच रेषेवर असले म्हणजे त्या रेषेला सममध्यनिष्पत्तिविशिष्टमालिका असें म्हणतात व पुष्कळशा रेषा एकाचा बिंदूंतून जात असल्या तर त्या सर्वांनां मिळून वर्तिका किंवा शलाका म्हणतात.
चतुर्बिन्दुमालिकेची छाया जरी घेतली तरी वामप्रमाण कायमच रहातें. या वामप्रमाणाची किंमत ज्या वेळेस उणा एक असतो त्या वेळेस त्या मालिकेरेषेला हरात्मक मालिका म्हणतात (अबकड) = -१
आतांपर्यंत एखाद्या चौकोनाला दोनच कर्ण असतात असें आपण समजत आलों आहोत पण त्याला तिसरा कर्ण असतो अक, बड व इफ असे तीन कर्ण असतात (आ.नं. ७ पहा) प्रत्येक कर्ण दुस-या दोहोंनीं हरात्मक रीतीनें छेदला जातो याला चौकोनाचा हरात्मक गुणधर्म म्हणतात याच्या पुढें चौकट आणि चौकोन अशीं दोन नांवें देऊन फरक दाखवायाचा आहे पण तत्पूर्वीं छायेबद्दल थोडेसें लिहून मग तिकडे वळूं.
छायाप्रकरणासंबंधीं मागें एकदां उल्लेख आला आहे; तत्संबंधीं थोडी जास्त माहिती येथें देत आहें.
पोकळींत कोणताहि अ हा एक बिंदू घेतला व तो दुसरा कोणत्याहि व या बिंदूशीं सांधून ती रेषा वाढविली व ती कोणत्याहि इ या पातळीला व या ठिकाणीं येऊन मिळाली तर व हा बिंदू ब ची इ या पातळीवर अ या शिरोबिंदूची छाया होय. याप्रमाणें वाटेल त्या बिंदूंची छाया वाटेल त्या पातळीवर घेतां येतें. त्यामुळें एखाद्या रेषेची छाया अनंताच्या ठांई देखील घेतां येईल. अशा रीतीनें छाया घेण्यास शिरोबिंदू खुबीनें घ्यावा लागतो.
त्रिकोणाची छाया समत्रिभुजत्रिकोण व चौकोनाची छाया चौरस पडूं शकते. कोणत्याहि शंकुच्छेदाची (याविषयींमाहिती पुढें येणार आहे) छाया वर्तुळ पडूं शकेल. थोडक्यांत सांगावयाचें म्हणजे अनियताकृतीची छाया नियताकृति होते व त्यामुळें नियताकृतीच्या (सोप्या आकृतीच्या) धर्मावरून अवघड आकृतींचे धर्म छायाशास्त्राच्या नियमाप्रमाणें निष्पन्न होतात.
शिरोबिंदूंतून निघणारी रेषा छेदणा-या पातळीशीं जर काटकोन करीत असेल तर तिला लंबच्छाया म्हणतात याचा प्रकारची छाया पहिल्या भागातून समजली गेली आहे.
परिवर्तन.- एखाद्या वर्तुळाच्या पातळींत असणा-या (अचल) दिलेल्या बिंदूतून जाणा-या ज्यां च्या टोंकापासून स्पर्शरेषा काढल्या तर त्याचा छेदनबिंदूच्या बिंदूमार्ग एक रेषा असतो ;जसें (आ. नं. ८ पहा) 'प' या बिंदूतून जाणारी कोणतीहि प अब ही ज्या काढली तर अ आणि बच्या ठिकाणीं काढलेल्या स्पर्शरेषांचा छेदनबिंदू ट आहे. टचा बिंदूमार्ग रेषात्मक असतो. टच्या बिंदूमार्गाला पाची ध्रुवरेषा म्हणतात व पला टच्या बिंदुमार्गाचा ध्रुव म्हणतात. पची ध्रुवरेषा प ही रेषा असली व फची ध्रुवरेषा फ ही रेषा असली तर पफ या रेषेचा ध्रुव प आणि फ या रेषांचा छेदनबिंदू असतो व या अशा बिंदूला प फ अशा खुणेनें दाखवतात. प फ ही रेषा व प फ अशीहि लिहतात.
ज्या अर्थानें पला जुळणारी प ही रेषा म्हणतां येईल त्याच अर्थानें प फ हा बिंदू प फ रेषेला जुळणारा आहे असें म्हणतां येईल. अशा रीतीनें कांहीं बिंदूंनीं व रेषांनीं युक्त अशी आकुति घेतली तर त्या बिंदूशीं व रेषांशीं जुळणा-या रेषा व बिंदू यांनीं युक्त अशी दुसरी आकृति होईल. या एकमेकींच्या आकृती होत. या आकृतींच्या योगानें बरेचसे सिद्धांत परस्परालंबी आहेत असें दाखविता येईल. रेषांकित आकृतीचा गुणधर्म व बिंदुप्रधान अशा आकृतीचा गुणधर्म या दोहोंत साम्य दाखवितां येईल.
व्यु त्क्र म ण- एका वर्तुळाच्या त्रिज्येवर दोन बिदूं घेतले व त्यांच्या मध्यबिंदूपासूनच्या अंतरांनीं बनलेला आयत जर त्रिज्येवरच्या चौरसाबरोबर असेल तर ते दोन बिंदू परस्परांचे व्यत्क्रमबिंदू होत. त्यांपैकीं एक बिंदू जर एखाद्या वक्राकृतीवर फिरेल. तर दुसरा बिंदूहि पण दुस-या एखादा वक्राकृतीवर फिरेल. या दोन वक्राकृतींनां परस्परांच्या म्हणतात. वर्तुळाचा मध्यबिंदु याला व्यत्क्रममध्य बिंदू व वर्तुळाच्या त्रिज्येला व्युत्क्रमत्रिज्या म्हणतात. एखाद्या वर्तुळाची व्यत्क्रमाकृति वर्तुळ किंवा सरळ रेषा असूं शकेल. दोन छेदणा-या आकृतींमधला कोन व त्यांच्या व्यत्क्रमाकृतीमधला कोन हे दोन सारखे असतात
याप्रमाणें आधुनिक भूमितींत पुष्कळ नवीन त-हेची भर पडलेली आहे. त्रिकोणाच्याच बाबतींत पाहिलें तर इतके नवीन बिंदू इतक्या नवीन रेषा व इतके नवीन गुणधर्म निघाले आहेत कीं, तें पाहून मति गुंग होते. हें नुसत्या त्रिकोणापुरतेंच नव्हे तर प्रत्येक आधुनिक प्रगतीबद्दलहि खरें आहे.
एखादा सिद्धांत छायेनें सोडवितां येईल, म्हणजे छायादेखील त्यावर जास्त प्रकाश पाडील. परिवर्तनाच्या योगानें निराळ्या द्दष्टीनें पहातां येईल व व्युत्क्रमणाच्या योगानेंहि कित्येक सिद्धांतांबद्दल नवीन कल्पना सुचतील. या सर्वांवर कडी म्हणजे प्रत्येक सिद्धांताचें सर्वसाधारण रूप निराळेंच असतें इत्यादि अनेक त-हेचे बुद्धिलीलाचमत्कार या भूमितींत देखील आहेत. व यांत देखील मनुष्य दंग होऊं शकतो यांत नवल नाहीं.
बिंदूमार्गाबद्दल फारच प्रागति झाली आहे. निरनिराळ्या त-हेच्या वक्राकृती निघाल्या आहेत. एखादें चाक जमिनीवर फिरत असलें तर त्या चाकावरील एक विविक्षित बिंदूच जर पाहिला तर तो एक चमत्कारिक वक्राकृति तयार करतो. अशा रीतीनें अनेक त-हेनें अनेक बिंदूंचे अनेक बिंदुमार्ग आहेत.
शंकुच्छेद:- मागें वर्तुळाचा उल्लेख करतांना तो एक बिंदू मार्गच आहे असें दाखविलें आहे. शंकुच्छेद म्हणजे परबलय, दीर्घवर्तुळ व अतिपरवलय वर्तुळ हे देखील बिंदुमार्गच आहेत. यांनां शंकुच्छेद हें नांव पडण्याचें कारण या सर्व आकृती निरनिराळ्या त-हेनें शंकु कापला असतां उत्पन्न होतात. दिलेल्या बिंदूपासून फिरत्या बिंदूचें अंतर हीं दोन अंतरें नियतप्रमाणांत असतील तर फिरत्या बिंदूचा बिंदूमार्ग शंकुच्छेद होतो. दिलेल्या बिंदूला केंद्र, दिलेल्या सरलरेषांत नियत रेषा व त्या प्रमाणास केंद्रच्युति म्हणतात. या केंद्रच्युतीची किंमत जेव्हां एका असेल तेव्हां परवलय, एकांपेक्षां कमी असल्यास दीर्घवर्तुळ व एकापेक्षां अधिक असल्यास अतिपरवलय असे तीन प्रकारचे शंकुच्छेद होतात. वर्तुळ व सरल रेषायुति हे देखील यांतलेच भाग आहेत. प्रत्येक शंकुच्छेदाला एक अक्ष असतो. हा अक्ष केंद्रांतून जाऊन नियतरेषेशीं एक काटकोन करतो व या अक्षाभोंवतीं ती आकृति समप्रमाणांत असते. अक्ष आकृतीला ज्या ठिकाणीं छेदतो, त्या बिंदूला आकृतीचा शिरोबिंदू म्हणतात. दीर्घवर्तुळाला व अतिपरवलायाला दोन केंद्रें व दोन शिरोबिंदू असतात. दोन शिरोबिंदूंमधल्या अक्षाच्या भाग मध्य याला अक्षमध्यबिंदू म्हणतात. याच्याभोंवतीं व यांतून अक्षाशीं काटकोन करणा-या रेषभोंवतीं ती आकृति समप्रमाणांत असते या रेषेला तिर्यगक्ष म्हणतात. परवलाया दुसरा केंद्र व अर्थात त्याचा मध्य हे दोन बिंदू अनंताचे ठायीं असतात. सर्वसाधारणपणें शंकुच्छेदाला दोन केंद्रें, दोन नियतरेषा, एक मध्य व दोन अक्ष असतात.
ज्याप्रमाणें त्रिकोण वगैरे साध्या आकृतींचे निरनिराळे गुणधर्म आहेत त्याप्रमाणेंच याहि आकृतींचे आहेत. ते सर्व सविस्तरपणें बीजभूमितींत आले आहेत. म्हणून त्यांचा पुररूच्चार करण्याची जरूरी नाहीं. या आकृतींचे गुणधर्म सिद्ध करण्यांस बीजगणिताचा बिलकुल उपयोग करावयाचा नाहीं, असा कित्येकांचा कटाक्ष होता व याच्या उलट कित्येकांचें मत अशा रीतीनें उपयोग करण्यास हरकत नाहीं. असें होतें बीजगणिताचा उपयोग केला असतां सिद्धता सोपी होते व आकृतीचें कामच पडत नाहीं. म्हणून हें सर्व बैजिक भूमिति या सदरांत घालतात. ग्रहाच्या व धूमकेतूंच्या कक्षा वस्तुतः शंकुच्छेदवृत्तें आहेत, म्हणून ज्योतिर्गणितांत ह्या आकृतींच्या धर्मांचा फार उपयोग होतो.
याप्रमाणें आतांपर्यंत एका पातळींतल्या भूमितींतील आकृतींचीं सर्वसाधारणपणें माहिती झालीं. आतां घन भूमितींतील अगर एकाचा पातळींत नसणा-या आकृतीकडे वळूं.
घनभूमिति- कोणत्याहि घनपदार्थाला तीन परिमेयें असतात. त्याचे पृष्ठभाग कोणत्याहि आकाराचे व कडा सरळ अगर वक्ररेषा असूं शकतील. प्रथम आपण प्रत्येक पृष्ठभाग सरळ पातळींतच आहे असें समजूं म्हणजे कडा देखील सरलरेषात्मक होतील. कोणत्याहि परस्परांस छेदणा-या तीन रेषांतून अगर तीन बिंदूतून अगर दोन समांतर रेषांतून एकच पातळी काढतां येईल; अशा ज्या दोन रेषा असतात कीं, ज्यांतून एक सुद्धां पातळी काढतां येत नाहीं त्यांनां भिन्न किंवा छेदरहित रेषा म्हणतात. दोन पातळ्या किंवा एक पातळी व एक रेषा या कितीहि वाढविल्या तरी जर परस्परास मिळाल्या नाहींत तर त्या समांतर असतात. जेव्हां एखादी रेषा एखाद्या पातळीला ज्या बिंदूंत छेदते त्या बिंदूंतून जाणा-या त्या पातळींतल्या सर्व रेषांशीं ती काटकोन करते. तेव्हा ती रेषा त्या पातळीर लंब असते. वर लिहिलेंच आहे कीं (१) दोन छेदक रेषांतून एकच पातळी काढतां येईल. यावरून पुढील सिद्धांत सिद्ध करतां येतील. (२) दोन पातळ्या एकमेकांस सरळ रेषेंत छेदतात (३) जर एखादी रेषा परस्परांनां छेदणा-या दोन्ही रेषांना छेदनबिंदूच्या ठिकाणीं लंब असेल तर ती रेषा त्या दोन रेषांतून जाणा-या पातळीला लंब असतें. (४) एका सरळ रेषेला तीवरच्या एका बिंदूंतून निरनिराळे लंब काढले तर ते सर्व लंब एकाच पातळींत असतात (५) दोन समांतर रेषांपैकीं एक जर एखाद्या पातळीस लंब असेल तर दुसरीहि लंबच असते. (६) एकच रेषा जर दोन पातळ्यांना लंब असेल तर त्या पातळ्या समांतर असतात (७) दोन समांतर पातळ्यांनां जर तिसरीनें छेदले तर छेदनरेषा समांतर असतात.
वरील सिद्धांत फक्त सरळ पातळ्याविषयीं झाले. ज्याप्रमाणें दोन रेषांमध्यें कोन असतो त्याप्रमाणें दोन छेदणा-या पातळ्यांमध्यें कोन असतो. याला द्विदलकोन म्हणतात व हा त्या दोन पातळ्यांच्या छेदनरेषेवरच्या कोणत्याहि बिंदूपासून छेदनरेषेला तत्पृष्ठगत लंब असणा-या दोन रेषांमधील कोन होय.
दोन किंवा अधिक पातळ्यांच्या मधील बनलेल्या कोनाला घनकोन म्हणतात. याचे त्रिदलकोन, चतुर्दलकोन व बहुदलकेन असे प्रकार आहेत. दोन भिंती व जमीन यांमधील झालेला कोन त्रिदलकोन होय. बहुभुजाकृति पायावर काढिलेल्या सूचीचा शिरोकोन बहुदलकोन होय.
पातळ्या, कोन वगैरे झाल्यावर साधारण घनाकृती पाहूं पोकळीचा भाग जर एक किंवा अधिक पृष्ठभागांनीं वेष्ठिला गेला तर अशा आकृतीला घनाकृति म्हणतात मग पृष्ठभाग सरळ पातळी असो किंवा वक्र पातळी असो. जर पृष्ठभाग सरळ पातळ्या असतील तर त्याला बहुफलक म्हणतात. तीन समांतर भुजचौकोनयुग्मांनीं वेष्ठित अशा आकृतीला समांतरफलक म्हणतात. या समांतरफलकांना चार कर्ण असतात. ते एकाग्र असतात. समांतरफलकाचे पृष्ठ काटकोन चौकोन असतील तर त्याला आयतफलक म्हणतात. तेच जर चौरस असतील तर चौरसफलक म्हणतात. सहा पृष्ठभाग असलेल्या घनाकृतीचे हे प्रकार झाले. एखाद्या घनाकृतीच्या दोन कडेच्या बाजू समोरासमोर समांतर पातळींत असतील व इतर बाजू समांतरभुजचौकोन असतील तर त्या घनाकृतीला चिति म्हणतात. यांत काटकोन चिति व तिर्यक् चिति असे प्रकार आहेत. या दोन बाजू जर वर्तुळें असतील तर त्याला वृत्तचिति म्हणतात; ही घनकृति वर्तुळें असतील तर त्याला वृत्तचिती म्हणतात; ही घनाकृति लांकडाचें पीप अगर हौद होय. एखाद्या घनाकृतीला कोणत्याहि आकाराचा पाया असून बाकीचे पृष्ठभाग एका शिरोबिंदूत साधारण शिरोकोन असणारे त्रिकोण असले तर त्याला बहुभुजसूचि म्हणतात. पाया देखील त्रिकोण असेल थर त्या घनाकृतीला चतुष्फलक म्हणतात. चिति व सूची यांत काटकोन व तिर्यक असे दोन प्रकार आहेत व बहुभुजसूचीचा पाया जर वर्तुळ असेल तर त्याला वृत्तसूचि म्हणतात. आतां गोल व घनाकृति यांची सर्वांनां माहिती आहेच.
या सर्व घनाकृतीचें घनफळ कसें काढावयाचें हा प्रश्न उरला. आयाताचें क्षेत्रफळ जसें लांबींरूंदीचा गुणाकर करून काढतात त्याप्रमाणें आयत फलकाचें घनफळ लांबीं, रूंदी व जाडी यांचा गुणाकार करूंन काढतात. क्षेत्रफळाच्याच धर्तीवर ठोकळे पाडून हें दाखवतां येईल. कोणत्याहि घनाकृतीच्या पृष्ठभागाचें क्षेत्रफळ काढतां येईल. काटकोन चितीचें घनफळ हें पायाचें क्षेत्रफळ व उंची यांच्या गुणाकाराबरोबर असतें.
तिर्यक् चितीच्या बाबतींत लंब उंची घ्यावी लागेल. बहुभुजसूचिस्तंभाचें घनफळ हें पायाचें क्षेत्रफळ व उंची यांच्या गुणाकाराच्या एकतृतीयांशाबरोबर असतें. गुणाकार करतांना हीं सर्व परिमेयें एका जातीचींच पाहिजेत हें सांगावयास नकोच. यावरूनच शंकूचें घनफळ काढतां येईल.
गोलाचा पृष्ठभाग ४ p (त्रिज्या) ९
गोलाचें घनफळ = (त्रिज्या)३
एखाद्या बहुफलकाला प पृष्ठभाग असेल, क कडा असल्या व श शिरोकोन असले तर क +२ = प + श असा नेहमीं संबंध असतो.
सर्व पृष्ठभाग सारखे असले म्हणजे त्याला नियमित फलक म्हणतात. नियमित चतुष्फलकाला ४ पृष्ठभाग, ४ शिरोकोन व ६ कडा असतात. त्याप्रमाणेंच नियमिताष्ट फलक, नियमितविंशतिफलक, चौरस फलक व नियमित द्वादशफलक इतकेच नियमित घनाकृतीचे प्रकार आहेत.
(लेखक प्रो. वि. आ. आपटे)
