प्रस्तावना खंड  

   

सूची खंड  

   
Banners
   

अक्षरानुक्रम (Alphabetical)

   

विभाग विसावा : वऱ्हाड- साचिन  

संख्यामीमांसा- संख्यामीमांसा हें फार जुनें शास्त्र आहे. ख्रिस्ती शकापूर्वी ५०० वर्षें म्हणजे पायथॅगोरसच्या वेळापासून याकडे गणिती लोकांचें लक्ष लागलें आहे. पायथॅगोरसच्या अंकगणिताप्रमाणें प्रत्येक विषम संख्या 'ग्रामन' या संज्ञेनें दर्शविली जात आसे. प्रत्येक विषम संख्या दोन वर्गात्मक संख्यांच्या अंतराबरोबर असते यावरून पहिल्या न विषमय संख्यांची बेरीज न येते हें सिद्ध झालें होतें. २न + २न + १,२न + २न, २न + १ या संख्या काटकोनत्रिकोणाच्या बाजू दर्शवितात. या संख्या पायथॅगोरसच्या संख्या म्हणून प्रसिद्ध आहेत. याहिपेक्षां जास्त साधारण अशा संख्या म + न, २मन, म-न या काटकोनत्रिकोणाच्या बाजू आहेत. पायथॅगोरसच्या संख्यामीमांसेंत तिकोनी व बहुकोनी संख्यांचें विवेचन केलें आहे. जर न १/२ न (न-१) ब यांत ब ला ०, १,२, ३,... ... इत्यादि किंमती दिल्या तर

न, १/२न (न+१), न, १/२न (३न-१)... ... ... इत्यादि संख्या येतात. या संख्या न व्या बहुकोनी संख्या आहेत. पहिल्या प्रतीच्या बहुकोनी संख्या १,१,१... दुसर्‍याप्रतीच्या बहुकोनी संख्या १,३,६,१० ...न (न + १)

दुसर्‍या प्रतीच्या संख्यांनां रेषाकृति संख्या, तिसर्‍या प्रतीच्यांनां तिकोनी व चौकोनी इत्यादि नांवें केव्हां केव्हां देतात. पायथॅगोरसनंतर डायाफंटस यानें कांहीं सिद्धांत याच विषयावर दिले आहेत. त्यानंतर फर्मा (इ.स. १६०१-१६६५) नामक फ्रेंस गणित्याचा हा विषय फार आवडता होता. त्यानें डायाफंटसच्या ग्रंथांची एक आवृत्ति काढली व तींत आपल्या स्वतःच्या पुष्कळ टिप्पणी दिल्या. त्या टिप्पणींत हल्ली माहीत असलेले संख्यामीमांसेचे पुष्कळ सिद्धांत आढळतात पण त्यांतील बहुतेकांची सिद्धता तेथें दिलेली नाहीं. त्यांतून कांहीं मासलेवाईक उदाहरणें पुढें दिलीं आहेत (१) जर पु दृढ संख्या असेल व अ पशीं दृढ असेल तर अप-१-१ =०म(प). (२) विषम दृढसंख्या एकाच तर्‍हेनें वर्गांतर रुपांत मांडतां येतें. (३) दोन वर्गात्मक संख्यांची बेरीज ४न-१ या स्वरुपाची असणें शक्य नाहीं. (४) प्रत्येक ४न +१ या स्वरुपाची संख्या एकाच रीतीनें दोन वर्गांच्या बेरजेबरोबर मांडता येते. (५) जर अ ब क अशा संख्या असतील की, अ२+ब२ = क२ तर अ ब हा गुणाकार वर्गात्मक असणारा नाहीं. (६) नक्ष२ + १ ही संख्या पूर्ण वर्गात्मक होईल अशी क्ष ची किंमत काढा (न ची किंमत दिलेली आहे). (५) व (६) चं उत्तरें नंतर लाग्रांज यानें काढिलीं) (७) क्ष२+२= य३ याचें पूर्णाकात्मक एकच उत्तर आहे (क्ष  ५) व क्ष२  ४  य३ याचीं (क्ष  २ व ११) हीं दोनच उत्तरें आहेत.(हा प्रश्न वालिस व डिग्बी या नांवांच्या इंग्लिश गणित्यांनां कोडें म्हणून सोडवायला दिला होता). (८) क्षन यन  ज्ञन यांत न दोहोंहून मोठा पूर्णाक असल्यास क्ष, य, ज्ञ च्या पूर्णांकात्मक किंमती काढणें शक्य नाहीं. या प्रश्नाविषयीं फारच बोभाटा झाला आहे. फर्मानें आपल्या डायाफंटसवरील पुस्तकांत (समासामध्यें) ह्या प्रश्नाविषयीं इतकेंच लिहिलें आहे कीं, त्या ठिकणीं देण्याइतकी थोडकी त्या प्रश्नाची सिद्धता नाहीं. पण आतांपर्यंत फर्माच्यानंतर इतके मोठे व प्रसिद्ध गणिती होऊन गेले तरी एकाकडून सुद्ध याची सिद्धता केली गेली नाहीं. प्रत्येकाची खात्री आङे कीं, प्रश्न खरा आहे. या प्रश्नामागें गणिती लोक इतके लागले आङेत कीं, १९०७ सालीं बोल्फस्केल नांवाच्या जर्मन गणित्यानें मरतांना एक लक्ष मार्कांचें (एक लाख रुपायंपेक्षां जास्त) बक्षीस ज्या कोणी या प्रश्नाचा पूर्ण उलगडा करील त्यास देण्यांत येईल असें जाहीर केलें व ती रक्कम गॉटिन्जेन जेसेल्शाफ्ट डर विसेन्शाफ्टन नांवाच्या क्लबाकडे अनामत ठेविली आहे. आतांपर्यंत यासंबंधीं प्रयत्न झाले आहेत. आयलर (१७०७-१७८३) यानें न ३ किंवा ४ ची पट घेऊन सिद्धांताची सत्यता दाखविली. डिरिक्ले (१८०५-१८५९) व ला जांड्र (१७५२-१८३३) यानें न ची पट घेऊन सिद्धांत सिद्ध केला. या सर्वांत मोठी कामगिरी क्यूमर (१८०७-१८९३) नांवाच्या गणित्याची आहे. त्यानें १०० पर्यंत सर्व दृढसंख्या घेऊन त्यांची कोणतीहि पट न असल्यास सिद्धतांची सत्यता स्थापित केली आहे; त्यांत त्यानें आधुनिक बैजिक संख्यांच्या तत्वांचा उपयोग केला आहे. पण अद्यापि नच्या कोणत्याहि किंमतीविषयीं कोणीहि सिद्धता दिली नाहीं; म्हणून वर निर्दिष्ट केलेल्या बक्षिसाची मुदत २००७ पर्यंत टेविली आहे व कदाचित तोपर्यंत कोणालाहि प्रश्न न सुटल्यास पुन्हां मुदत वाढवावी लागेल असें पुष्कळांचें मत आहे.

याप्रमाणेंच मर्सेनच्या संख्या प्रसिद्ध आहेत. मर्सेन यानें (१५८८-१६४८) आपल्या कोजिटाटा नांवाच्या पुस्तकाच्या प्रस्तावनेंत असें म्हटलें आहे कीं, २प-१ ही संख्या दृढ असल्यास प च्या २५७ हून मोठया नसणार्‍या अशा किमती फक्त, १,२,३,५,७,१३,१७,१९,३१,६७ (?) १२७, व २५७ आहेत. यांत ६७ अंक ६१ च्या ऐवजीं चुकून पडला असावा. याची प्रतीति बहुतेक संख्या घेऊन पाहिली गेली आहे पण अजून ७१,८९,१०१,०३,१०७,१०९,१२७,१३७,१४९,१५९,१६३,१६७,१७३,१८१,१९३,१९९,२२७,२२९,२४१, व २५७ या प च्या किंमती घेऊन या सिद्धांताची प्रतीति पहावयाची आहे. असें असण्याचा संभव आहे कीं, हा सिद्धांत एखाद्या साधारण बैजिक सिद्धांताचा एखादा विशेष असेल. फर्माच्या मागून आयलरनें (१७०७-१७८३) फर्माच्या कांहीं सिद्धांतांची पूर्तता केली.

लाग्रांज (१७३६-१८१३) च्या वेळेपर्यंत दुसरे विषय फार पुढें आल्यामुळें संख्यामीमांसेला कोणी फारसें विचारीनासें झालें होतें. पण त्यानें संख्यामीमांसेवरहि कांहीं लिहिलें आहे. उदाहरणार्थ प्रत्येक वर्ग नसणारी संख्या दोन किंवा चरा वर्गांच्या बेरजेबरोबर मांडतां येईल, तसेंच विल्सनच्या सिद्धांताची दुसरी रीत, फर्माच्या पुष्कळ प्रश्नांची सिद्धता व क्ष२+  अय२ या रुपांच्या संख्येचें अवयव काढणें इत्यादि गोष्टी यानें केल्या

लाजांड्र (१७५२-१८३३) यानें संख्यामीमांसा आपल्या बीजगणिताच्या साहाय्यानें जितकी पूर्ण करणें शक्य होतें तितकी पूर्ण केली. पण त्यास संख्यामीमांसा ही पुढचें अंकगणित समजली जाऊन गणितशास्त्राचा एक महत्वाचा भाग होईल ही गोष्ट सुचली नाहीं. गौस (१७७७-१८५३) यानें डिस्किझिशन्स अरिथमेटिकी नांवाचा मोठा ग्रंथ लिहिला व आतांपर्यंत त्याच्या जोडीला ग्रंथ झाला नाहीं. त्यानें संख्यामीमांसेचे दोन मुख्य भाग केले ते (१) समशेषता व (२) रुपमीमांसा. हल्लीच्या प्रचलित संख्यामीमांसेचा गौस हा उत्पादक आहे.

याकोबी, डिरिक्ले, आइनस्टाइन, स्मिथ व क्युमर या गणित्यांनीं गौसच्या संख्यामीमांसेंत भर टाकली आहे. रीमननें दोन दिलेल्या संख्यांच्या दरम्यान किती दृढसंख्या असतात हा प्रश्न पुढें आणिला. गौसचा ग्रंथ १८०१ सालीं प्रसिद्ध झाला व त्यानंतर १९ व्या शतकांत संख्यामीमांसेंत फारच प्रगति झाली. हल्लींच्या बीजगणितावरील पुस्तकांत साधारणपणें दिले जाणारे सिद्धांत पुढें एकत्र दिले आहेत.

(१) संख्यामीमांसेंत संख्या म्हणजे धन पूर्णांक असें समजावें. जर एखाद्या १ व ती स्वतः यांखेरीज दुसर्‍या संख्येनें भाग जात नसेल तर त्या संख्येस दृढसंख्या म्हणतात. दृढ नसणार्‍या सर्व संख्या मिश्र किंवा संयुक्त असतात. जर दोन संख्यांनां १ शिवाय दुसरा कोणताहि साधारण अवयव नसेल तर त्या एकमेकांशीं दृढ आहेत असें म्हणतात. दृढ संख्येच्या व्याख्येवरून पुढील स्वतःसिद्ध तत्त्वें निघतातः-

(अ) जर अनें बक या गुणाकारास संक्षेप जात असेल व अ ब शीं दृढ असेल तर अनें कला भाग गेला पाहिजे.

(आ) जर अ या दृढसंख्येनें ब क ड... या गुणाकारास संक्षेप जात असेल तर अनें या गुणाकारांतील एका अवयवाला भाग गेला पाहिजे. तसेंच जर अ या दृढसंख्येनें नला भाग जात असेल तर अनें बला भाग गेला पाहिजे.

(इ) जर ब आणि क या दोन संख्यांनीं नला भाग जात असेल तर अ हा बक या गुणाकाराशीं दृढ असला पाहिजे.

(ई) अ आणि ब या एकमेकांशीं दृढसंख्यांचें धनात्मक घात एकमेकांशीं दृढ असतात.

(उ) अ ब एकमेकांशीं दृढ असल्यास अ/ब व अन/बम हे अपूर्णांक अति संक्षिप्त रूपांत आहेत.

(२) दृढ संख्या अनंत आहेत. कारण प ही सर्वांत मोठी दृढसंख्या आहे असें समजल्यास २,३,५,७,११... प इत्यादि प पर्यंत दृढसंख्यांच्या गुणाकारास २,३,५,७... प या दृढसंख्यांनीं भाग गेला पाहिजे. म्हणून या गुणाकारांत १ मिळविल्यास येणार्‍या संख्येस यांपैकीं कशानेंहि भाग जाणें शक्य नाहीं. म्हणून ती संख्या स्वतः दृढ असली पाहिजे किंवा प पेक्षां मोठया दृढसंख्येनें तीस भाग गेला पाहिजे. कसेंहि झालें तरी प ही सर्वांत मोठी दृढसंख्या होऊं शकत नाहीं.

(३) कोणतीहि बैजिक अकरणिगतसारणी केवळ दृढसंख्याच दाखवीत नाहीं. शक्य असल्यास अ+बक्ष+कक्ष२ ... इत्यादि सारणी केवळ दृढपूर्णांकच निदर्शित करते असें जेव्हां क्ष= म, तेव्हां फलाची किंमत प होती असें समजल्यास -
 प = अ+बम+कम२ = ... ...
तसेंच क्ष= म +नप घातल्यास
फल = अ (म+नप) +क (म+नप)२+ ... ...
= अ+बम+कम२ +...     ...    ...    ...
+ पची पट
= प+पची पट
म्हणजे फलाला प नें संक्षेप जातो.
म्हणजे फल नुसत्या दृढसंख्याच निदर्शित करीत नाहीं.

(४) दिलेल्या संख्येचे दृढ अवयव एकाच प्रकारानें मांडतां येतात. शक्य असल्यास
न = अबकड...  ...  =  आबाकाडा ... ... ... असें समजा (अ,ब,क,ड आ,बा,का,डा दृढ संख्या आहेतः आतां अबकड... ...   = आबाकाडा... ...

अ नें आबाकाडा... ... इत्यादि गुणाकारास संक्षेप गेला पाहिजे. पण आबाकाडा यांतील सर्व गुणक दृढ असल्यामुळें अ चा त्यांतील एकाशीं संक्षेप गेला पाहिजे. समजा कीं, अचा आशीं भाग जातो पण अ व आ या दोन्ही दृढ संख्या असल्यामुळें अ व आ एकच असलें पाहिजेत.

ब क ड ... ....   =  बा का डा ... ....
पुन्हां वरच्याप्रमाणें अनुमानिल्यास ब = बा, क = का... इत्यादि समीकरणें येतात. म्हणजे न चे दृढावयव एकाच त-हेनें मांडणें शक्य आहे.

(५) दिलेल्या संयुक्त संख्येच्या भाजकांची संख्याः -
न = अप बक सर ... ... व अ ब स इत्यादि दृढ संख्या आहेत असें समजा
आतां (१ +अ + अ२ +... ... अप) (१ + ब ... बक) (१ + स + स२ + ... ... सर) या गुणाकारांतील प्रत्येक पदानें बला भाग जाईल हें उघड आहे व अशा पदांची संख्या
(प+१) (क+१) (र+१) ... ... इतकी आहे. म्हणून न च्या सर्व भाजकांची संख्या (प+१) (क+१) (र+१) ... ... आहे. (यांत १ व न चा समावेश झाला आहे).

(६) नच्या सर्व भाजकांची बेरीज वरच्या गुणाकारांतील सर्व पदांच्या बेरजेइतकी आहे म्हणजे
अप + १-१    बक + १-१     सर +१-१
----------    ---------    ---------
अ-१        ब-१        स-१
उदाहरणार्थ - २१६०० = १०२ ६३
        = १०२ x  २३ x ३३
        = २५३३.५२.
भाजक संख्या = (५+१) (३+१) (२+१) = ७२.
सर्व भाजकांची बेरीज     = २६-१    ३४-४    ५३-१
               २-१    ३-१    ५-१
            = ६३ x ४० x ३१
            = ७८१२०.

(७) दिलेल्या संयुक्त संख्येचे दोन अवयव पाडण्याच्या तर्‍हा–
न ही दिलेली संख्या मानली व न = अपबकसर... ... असें मानलें तर (१+अ+अ२ ... अप) (१+ब +ब२ ... बक) (१+स+स२..सर)

या गुणाकारांतील प्रत्येक पद न चा भाजक असतो हें वर सिद्ध केलें आहे. पण न च्या दोन अवयव पाडण्याच्या एका रीतीशीं संबद्ध दोन भाजक असतात. म्हणून दोन अवयव पाडण्याच्या तर्‍हांची संख्या भाजकांच्या संख्येच्या निम्यानीं म्हणजे १/२ (१ + प) (१ + क) (१ + र)... इत्यादि. हें व पूर्णवर्गात्मक संख्या नसेल तर खरें आहे. पण न पूर्णवर्ग असल्यास न x न हा अवयव पाडण्याची तर्‍हा व न हा एकच भाजक एकमेकांशीं संबद्ध आहेत. म्हणून जर हा भाजक सोडला तर दोन अवयव पाडण्याच्या तर्‍हा = १/२ ((१+प) (१+क) (१+र)... ... -१ ) होतात. व यांत जर न न ही तर्‍हा मिळविली तर न पूर्णवर्गात्मक असल्यास दोन अवयव पाडणार्‍या तर्‍हा
= १/२ (१+प) (१+क) (१+र) ... ... +१)

(८) दिलेली संयुक्त संख्या एकमेकांशीं दृढ अशा दोन अवयवांच्या गुणाकरांबरोबर किती त-हांनीं मांडतां येईल हें काढा.

पूर्वीप्रमाणें न =अपबकसर ... ... समजल्यास, दोन अवयवांपैकीं एकांत अप आला नाहीं तर एकीकडे अचे कांहीं घात व दुस-यांत अचे बाकीचे घात येतील व त्यामुळें अवयव एकमेकांशी दृढ होणार नाहींत. तसेंच बक सुद्धां एकाच अवयवांत आला पाहिजे. म्हणून अबक... ... इत्यादि गुणाकारांच्या दोन एकमेकांशीं दृढ असे अवयव पाडण्याच्या जितक्या त-हा आहेत तितक्याच आपणास हव्या असल्यास त-हा आहेत
म्हणजे १/२ (१+१) (१+१) (१+१) ... ... = २न-१ (न चे न दृढ अवयव आहेत असें समजतात).

(९) न! मध्यें मावणारा अ या दृढसंख्येचा सर्वांत मोठा घात - न/अ मधील पूर्णांक पू (न/अ) या चिन्हानें दाखवूं.

१,२,३,४, ... ... न या संख्यांत ज्यांत अ निदान एकदां तरी मावतो अशा संख्या पू (न/अ) आहेत (उदाहरणार्थ अ, २अ, ३अ, ४अ इत्यादि). तसेंच ज्यांत अ२ एकदां तरी मावतो अशा संख्या पू (न/अ२) आहेत.

अ३ ... ... ....................... पू (न/अ३) ... म्हणून अ चा न ! मध्यें मावणारा सर्वांत मोठा घात पू (न/अ) +पू (न/अ२) +पू (न/अ३)+ ... इतका आहे.

(१०) लागोपाठ येणा-या र क्रमिक संख्यांच्या गुणाकाराला र! नें भाग जातो. समजा पन = न (न+१) (न+२)... ... .. (न+र-१) म्हणजे न पासून पुढच्या र संख्यांचा गुणाकार पन नें दर्शविल्यास. पन+१ (न+१) (न+२) (न+३)... ... (न+र).
\न पन + १ (न + र) पन व पक्षांतरनयन करून न नें भागिलें असतां पन+१ - पन   = पन/न x र
=  र x (२-१) क्रमिक संख्याचा गुणाकार म्हणून जर (र-१) क्रमिक संख्याच्या गुणाकारास र-१ ने भाग जात असेल तर पन + १-पन र x र-१! ची पट
 = र! ची पट
आतां प१ र! व \प२  र! ची पट \ प३प४प५ = र! ची पट.

यावरुन हें सिद्ध झालें कीं जर र-१ क्रमिक संख्यांच्या गुणाकारास र-१! नें भाग जात असेल तर र क्रमिक संख्यांच्या गुणाकारास र! नें भाग गेला पाहिजे. पण प्रत्येक दोन क्रमिक संख्याच्या गुणाकारास २! नें संक्षेप जातो. \तीन क्रमिक संख्यांच्या गुणाकारास ३! नें संक्षेप गेला पाहिजे म्हणून चार क्रमिक संख्यांच्या गुणाकारास ४! नें भाग गेला पाहिजे व शेवटीं र क्रमिक संख्यांच्या गुणाकारास र! नें भाग गेला पाहिजे.

केव्हां केव्हां “म ची पट” यांच्या ऐवजीं प (म) लिहिणें सोईचें होईल.

(११) जर म ही दृढसंख्या असेल तर (अ+ब)म याच्या विस्तारांतील पहिल्या व शेवटच्या पदांच्या गुणकांखेरीज इतर सर्व गुणकांनां म नें भाग जातो. पहिल्या व शेवटच्या पदांचे गुणक सोडले तर प्रत्येक गुणक
म (म-१) (म-२)... ... (म-र+१)
र!

या रुपाचा असतो. हा पूर्णाकात्मकच असला पाहिजे. पण ज्या अर्थी म दृढ आहे त्या अर्थी म, र पेक्षां मोठा असतो म्हणून म ला र! पैकीं एकाहि अवयवानें संक्षेप जाणें शक्य नाहीं. म्हणून प्रत्येकांत म हा अवयव आहे म्हणजे प्रत्येक गुणक म ची पट आहे...
उपप्रमेय - म दृढ असल्यास,
(अ+ब+क+ ...) म=अ म +ब म +क म +  ... ....+प (म).

(१२) फर्माचा सिद्धांत - जर म दृढसंख्या असेल व न मशीं दृढ असेल तर नम-१ - १ = प (म)
(अ+ब+क+...)म अम+बम+कम+ ... +प (म.).
यांत अ = ब = क =  =  =  १ घातलें असतां व अ ब क ड इत्यादि व अक्षरें आहेत असें समजून नम न प (म) असें समीकरण येतें.
\ न (नम-१ -१) = प (म)
पण दिलेल्या अटीप्रमाणें न, मशीं दृढ आहे म्हणून नम-१ -१ च म ची पट असायला पाहिजे.
उपप्रमेय - जर प (२ खेरीज) दृढ असेल तर प-१ सम संख्या असली पाहिजे म्हणून

याठिकाणी जास्त सिम्बोल आहेत म्हणुन तो पॅरेग्राफ नाही घेतला.
म-१/२ म-१/२ = प (म)
न + १  न - १
म्हणजे नम-१ /२ + १


यापैकीं एकाला म नें भाग केला पाहिजे

\न म-१/२  प (म) + १
फर्माच्या सिद्धांतात नम-न यास म नें भाग गेला पाहिजे हें सिद्ध झालें आहे व असें असण्यास न मशीं दृढ असण्याची आवश्यकता नाहीं.
उदाहरणार्थ \न७-न ला ४२ नें भाग गेला पाहिजे.
कारण ७ ही दृढसंख्या आहे व
न७न-न = न (न-१) (न+१) (न३+न२+१).
व (न-१) (न+१) यास ३! म्हणजे ६ नें भाग गेला पाहिजे व न७-न ला फर्माच्या सिद्धान्तावरून ७ नें भाग गेला पाहिजे हें उघड आहे.

पूर्णांकांचे साधारण गुणधर्म.
(१३) समशेष संख्याः- जर म हा कोणताहि धन पूर्णांक घेतला व त्यानें म व न या दोन संख्यांस भागिलें असतां शेष एकच रहात असले तर म व न यां म या मध्यगुणकांशीं समशेष संख्या म्हणतात.
म्हणजे म = पम+र व
न = कम+र
असें असेल तर म व न म या मध्य गुणकाशीं समशेष आहेत. हीच गोष्ट
म = न (मध्यगुणक म).
किंवा मध्यगुणक माहीत असल्यास नुसतें
म = न असें लिहून दर्शवितात.

उपप्रमेयः- वरील व्याख्येवरून उघड आहे कीं, जर म या मध्य गुणकाशीं म व न समशेष असतील तर म व न चें अतंर म च्या पटीबरोबर असलें पाहिजे. तसेंच म व न यांपैकी एकाचा मशीं साधारण असा अवयव असल्यास तोच अवयव दुस-याचा असला पाहिजे व जर एक मशीं दृढ असेल तर दुसराहि मशीं दृढ असला पाहिजे.

(१४) जर म हा मध्यगुणक मानला सर्व पूर्णांकांचे अशा रीतीनें समुच्चय बनवितां येतील कीं प्रत्येक समुच्चयांत म संख्या असतील व त्यांतील प्रत्येक संख्या ०, १, २, ३, ... म-१ यांपैकीं फक्त एकाशींच समशेष असेल.

(१५) जर ब,क,अ या मध्यगुणकाशीं समशेष असतील तर पब व पक या दोन संख्या समशेष असतील कारण ब,क हे अ या मध्यगुणकांशीं समशेष असल्यामुळें
ब-क = अची पट
\ पब-पक पxअ ची पट
 = अ ची पट
\ पब, पक अ मध्यगुणकाशीं समशेष आहेत.

(१६) जर अ बशीं दृढ असेल तर
अ, २अ, ३अ, ... .. (ब-१) अ
यांनां जर ब नें भागिलें तर सर्व शेष निराळे येतील. कारण मअ, व मअ बशीं समशेष आहेत असें मानल्यास
मअ = कब+र
मअ = कब+र
(म-म) अ (क-क) ब
म्हणजे (म-म) अ ला बनें भाग जातो व ब अ शीं दृढ आहे म्हणून बनें म-म ला भाग गेला पाहिजें. पण हें शक्य नाहीं कारण म व म दोन्ही ब पेक्षां कमी आहेत

म्हणून अ, २ अ, ३अ.... .. (ब-१) यांस बनें भागून येणारे शेष सर्व भिन्न आहेत व यांपैकीं एकालाहि बनें बरोबर भाग तुटणें शक्य नाहीं. म्हणून शेष १,२,३,४... ब-१ या श्रेणींतील पदांचेच झाले असले पाहिजेत. पण या क्रमानेंच येतील असा कांहीं नेम नाहीं. १,२,३... (ब-१) यांचे चक्रपरिवर्तन क्रमानें जर प्रस्तार केलें तर त्या प्रस्तारांपैकीं एखाद्या क्रमानें हे शेष येतात.

उपप्रमेय - जर अ बशीं दृढ असेल व क ही कोणतीहि संख्या असेल तर क,क+अ, क+२ अ, ... ... क (ब-१) अ या गणितश्रेढींतील सर्व पदांनां बनें भागून येणारे शेष व बनें
क, क+१, क+२,... ... ... क +(ब-१) इत्यादिकांस भागून येणारे शेष एकच असतात.

(१७) फर्माचा सिद्धांत सिद्ध करण्याची दुसरी त-हाः-  न व प एकमेकांशी दृढ आहेत.
न, २न, ३न.. ... ... (प-१) न
यानां पनें भागिलें तर
१,२,३,४.... ... .. प-१
असे शेष येतील. अर्थात क्रम भिन्न असेल. पण शेष उपरिनिषर्दष्ट संख्यांचेच असले पाहिजेत.

म्हणून पहिल्या सर्व संख्यांचा गुणाकार दुस-या (सर्व शेषां) च्या गुणाकाराबरोबर समशेष आहे. प हा मध्यगुणक आहे.
\प-१! नप-१  = प-१! ((मध्यगुणक प)
\प-१! (प-१) (न-१) = ० (मध्यगुणक प) = प ची पट
पण प-१! व प एकमेकांशी दृढ आहेत, कारण प ही दृढसंख्या आहे. म्हणून
नप-१ -१ = प ची पट.

(१८) दिलेल्या न संख्येपेक्षां कमी व तिच्याशीं दृढ असणा-या पूर्णांकांची संख्या आपण जर दृ(न) या चिन्हानें दर्शविली तर
दृ(२) =१ , दृ(७) =६, दृ (१३) =१२, दृ (१८) = ६. यावरून १ ही संख्या दिलेल्या संख्येपेक्षां कमी व तिच्याशीं दृढ अशा संख्यांतच धरली जाते.

(१९) अ ब क ड एकमेकांशीं दृढ असल्यास दृ (अ ब क ड ... ...) दृ (अ) x दृ (ब) xदृ (क)...
प्रथम अब हा गुणाकार पाहूं. व अ ब पर्यंत येणारे सर्व पूर्णांक प्रत्येक ओळींत अ येतील अशा रीतीनें मांडून
१,    २    ...    क....    अ,
अ+१,    अ+२    ...    अ+क    अ+अ
२अ+१    २अ+२    ...    २अ+क    २अ+अ
...    ...    ...    ...    ...
...    ...    ...    ...    ...
(ब-१) अ+१, (ब-१) अ+२... (ब-१) अ+क.. (ब-१) अ+अ कनें आरंभ होणा-या उभ्या ओळीचा विचार केला तर त्यांतील संख्या गणितश्रेढींत आहेत म्हणून बनें त्या संख्यांस भागिलें असतां वरच्या (१६) च्या उपप्रमे यावरून शेष ०,१,२,३,... ... ... ब-१ येतील.

म्हणून या उभ्या ओळींत दृ (ब)पूर्णांक बशी दृढ आहेत..

आणखी क अशीं दृढ असेल तर उभ्या ओळींतील सर्व संख्या अ शीं दृढ असणार व क अशीं दृढ नसेल तर त्या उभ्या ओळींतील सर्व संख्या अ शीं दृढ नसणार. पण पहिल्या आडव्या ओळींत दृ (अ) पूर्णांक असे आहेत कीं जे अ शीं दृढ आहेत म्हणून एकंदर पूर्णांकांपैकीं =दृ(अ) =दृ(ब) इतके पूर्णांक अब शीं दृढ आहेत म्हणून
दृ(अब) =दृ(अ) =दृ(ब)
हीच अनुमानपद्धति (अब) x क या गुणाकारास लाविली तर दृ (अब क) =दृ(अ) xदृ(ब) xदृ(क) इत्यादि.

(२०) दिलेल्या न या संख्येपेक्षां कमी व न शीं दृढ पूर्णांकांची संख्या काढा. समजा न अपबकसर... ... ... दिसून येतें कीं १,२,३,४,... ... अप-१, अप यांपैकीं अ शीं दृढ नसलेलें पूर्णांक फक्त
अ, २ अ, ३ अ, (अप-१ -१) अ, (अप-१ -१) अ आहेत याची संख्या अप-१ आहे.
म्हणून दृ(अप) = अप-अप-१ =अप (१-१/अ)

आतां अप, बक, सर... इत्यादि एकमेकांशीं दृढ आहेत म्हणून
दृ (अपबकसर...) =दृ (अप) =दृ (बक) =दृ(सर)...
\ दृ (न) =अप (१-१/अ) बक (१-१/ब) सर (१-१/स)...
 =न (१-१/अ) (१-१/ब) (१-१/स)....

(२१) न पेक्षां कमी व न शीं दृढ अशा सर्व पूर्णांकांची बेरीज न/२ दृ (न) असते. जर क्ष हा पूर्णांक न शीं दृढ असेल तर न-क्ष सुद्धां न शीं दृढ असतो.

समजा कीं १, प,क,र... .. इत्यादि पूर्णांक न पेक्षां कमी व न शीं दृढ आहेत. या सर्वांची बेरीज स येते असें समजा.
\ स = १+प+क+र ... ... +(न-र) + (न-क) + (न-प) उलट क्रमानें लिहून पुन्हां ... +(न-१)
स = (न-१) + (न-प) + (न-क) +.. र+क+प +१ या दोहोंची बेरीज केली असतां
२स = न+ न + न + ...... दृ(न) पदें
\स = न/२ दृ (न)

(२२) आतां समशेष संख्यांच्या तत्वांचा उपयोग करुन प्रसिद्ध विल्सनचा सिद्धांत सिद्ध करूं.

व्याख्याः- जर दोन संख्यांच्या गुणाकारास म नें भागून शेष १ रहात असेल तर म या मध्यगुणकाशीं या दोन संख्यांची मैत्री आहे असें ऑयलरनें म्हटलें आहे व अशा दोन संख्यांनां मित्रसंख्या ही संज्ञा दिली आहे.

१,२,३,४, ... .. म-१ इत्यादि संख्या म पेक्षां कमी व म दृढ समजून आपण हें सिद्ध करुं कीं, पहिली १ व शेवटची म-१ या दोन संख्यांखेरीज बाकी सर्व मित्रसंख्यांच्या जोडयांच्या रुपानें मांडतां येतील. समजा कीं, यांपैकीं एक र ही संख्या घेतली तर र मशीं दृढ असल्यामुळें
र.१, र.२, र.३.... .. र (म-१)
यानां म नें भागिलें तर

१,२,३,... ... म-१ हे शेष (कोणत्या तरी एका प्रस्ताररूपानें) येतील. म्हणून या गुणाकारांपैकीं एक असा असला पाहिजे कीं त्यास म नें भागिलें असतां १ शेष राहिल. समजा कीं र र तसा आहे. म्हणजे र व र मित्र आहेत. दिलेल्या र या संख्येला दोन मित्र असणें शक्य नाहीं कारण सर्व शेष भिन्न आहेत. तसेंच र = १ किंवा र = म-१ असल्याखेरीज , र व र बरोबर असणें शक्य नाहीं कारण र२ = पम+१
\र२-१ = पम
(र+१) (र-१) =पम

म्हणजे (र+१) (र-१) यास म नें भाग गेला पाहिजे. पण म दृढ असल्यामुळें र+१ किंवा र-१ ला म नें भाग गेला पाहिजे. व ज्या अर्थी र मपेक्षां लहान आहे त्याअर्थी र-१ ला, र = १ असल्याखेरीज मनें भाग जाणें शक्य नाहीं. तेव्हां एक तर र+१ म किंवा र = १ म्हणून १ व म-१ या दोन संख्या सोडल्या तर बाकीच्या २, ३,... ... म-२ संख्यांच्या मित्रसंख्यारूपी जोडया बनवितां येतील. आतां दोन मित्रसंख्यांचा गुणाकार म ची पट+१ या स्वरूपाचा असला पाहिजे. म्हणून २.३.४... (म-२) हा गुणाकार (प१म+१) (प२म+१) .. ... ... या स्वरूपाचा असला पाहिजे.
\ २.३.४... .. (म-२) = म ची पट+१
दोन्ही पक्षांस म-१ नें गुणून
१.२.३.४... (म-१) =म पट (म-१) + म-१ म = ची पट - १
किंवा म - १ | १ = म चौपट.
म्हणून म ही दृढ संख्या असल्यास
म - १ | + १ यास मनें संक्षेप जातो.
तसेंच म दृढ नसल्यास म - - १ । + १ ला मने भाग जाणार नाही. कारण मचे अवयव म - - १। ला संक्षेप देतील व म्हणून म- -१ । + १ ला त्यांतील एकानेहि संक्षेप जाणार नाही.

(२३) जर (क्ष + १) (क्ष + २) ........ (क्ष + प) = क्षप-१ + अ१ क्षप-२ + ... अप-२ क्ष + अप-१ व प दृढ असेल तर अ१, अ२, अ३, ....... अप-२ या सर्वास पने संक्षेप जातो. (लाग्रांजचा सिद्धांत)

कारण
(क्ष + प) { क्षप -१ + अ१क्षप-२ + … अप-२ क्ष + अप-१}
= (क्ष+१) {(क्ष+१)प-१ + अ१ (क्ष + १) प-२ +....
अप.२ (क्ष + १) + अप -१}
किंवा पक्षांतरनयन करून
पक्षप-१ + अ१पक्षप-२ +.... + अप-२ पक्ष + पअप-१
= {(क्ष + १)प -क्षप } +अ१ {(क्ष + १)प-१-क्षप-१}  
+ अ२ { (क्ष+१)प-२ - क्षप-२} + …..
म्हणून गुणकांनी तुलना करून पुढील समीकरणे येतात.
पअ१ = पस२ + प-१ स१ अ१
पअ२ = पस३ + प-१ स२ अ१ + प-२ स१ अ२
पअ३ = प स४ प-१ स३ अ१ + प-२ स२अ२ + प-३ स३ अ३ इत्यादी
पण प दृढसंख्या असल्यामुळे प-१ स१ प-२ स१...
इत्यादी संख्यांना पने संक्षेप जाऊं शकत नाही म्हणून अ१ अ२ अ३ ... इत्यादी गुणकांना पने संक्षेप गेला पाहिजे हे उघड आहे.

उपप्रमेयांत १:- यांत क्ष = १ घातले तर
२.३.४..... प = १ + (अ१ + अ२ + ... अप-२) + अप-१ असे समीकरण येते. यावरून १+अप-१ म्हणजे १+(प-१) | यास प दृढसंख्या असल्यास पने संक्षेप जातो हे उघड आहे (विल्सनचा सिद्धांत).

उपप्रमेय २ रे. लांग्राजाच्या समीकरणास क्षने गुणून व पक्षांतरनयन करून
क्षप-क्ष = क्ष(क्ष+१)... (क्ष+प-१)
... (१+अप-१)क्ष ...(अ१क्षप-१ + अ१क्षप-२+ ... अप-२ क्ष२) असे समीकरण येते. आता क्ष(क्ष+१) ... (क्ष+प-१) हा प लागोपाठ येणा-या संख्याचा गुणाकार आहे म्हणून त्या प ने (म्हणजे पने) संक्षेप जातो. सिद्धांत व १ ले उपप्रमेय यावरून उजवीकडील इतर पदांना पने संक्षेप गेला पाहिजे. म्हणून डाव्या बाजूस म्हणजे   क्षप-क्ष यास प दृढ असल्यास पने संक्षेप गेला पाहिजे यावरून क्ष पशी दृढ असल्यास फर्माचा सिद्धांत उघड आहे.

(२४) विल्सनच्या सिद्धांताचे अधिक सामान्य स्वरूपः - जर २प+१ दृढ संख्या असेल तर (प।)२ (१)प या संख्येस २प + १ ने संक्षेप जातो.

कारण विल्सनच्या सिद्धातांने १ + २ प। = (२ प+१) ची पट.
यांत न = २प+१ किंवा प+१ = न- प घातल्यास
२ प। = १.२.३.४.... प (प+१) (प+२) ..(न-१)
= १(न-१) २ (न-२) ३(न-३) ... प(न-प)
= न ची पट+( --१)प (प।)२
\१ + २प। = न ची पट + १ +(-१)प (प।)२
म्हणून १ + (..१)प (२प।)२ ला न संक्षेप जातो.
म्हणजे (प।)२ + .. १)प ला न म्हणजे २प+१ ने भाग जातो.
(लेखक प्रो. एस.बी बेलेकर)

   

खंड २० : व-हाड - सांचिन  

 

 

 

  वलवनाड
  वल संस्थान
  वल्लभाचार्य
  वल्लभीचा मैत्रकवंश
  वल्लभ्
  वसई
  वसिष्ठ
  वसु
  वसुदेव
  वहना
  वहाबी
  वक्षनिदान
  वाई
  वाकाटक राजे
  वांकानेर संस्थान
  वांगारा
  वांग
  वाग्भट्ट
  वाघ
  वाघरी
  वाघांटी
  वाघेल राजे
  वाघोलीकर, मोरो बापूजी
  वाघ्या
  वाघ्रा
  वाचनालयें
  वाचस्पतिमिश्र
  वाचाभंग
  वांटप
  वाटल
  वाटाणा
  वाडाइ
  वाडें
  वाणी
  वात
  वात्स्यायन
  वांदिवाश
  वाद्यें
  वांद्रें
  वांबोरी
  वामदेव
  वामन
  वामन पंडित
  वामनस्थळी
  वायनाड
  वायलपाद
  वायव्य सरहद्द प्रांत
  वायुपुराण
  वायुभारमापक
  वायूचे रोग
  वारकरी पंथ
  वारली
  वारसा
  वार्सा शहर
  वालखिल्य
  वालपापडी
  वालपोल, होरेशिओ
  वालरस
  वालाजापेट
  वाली
  वाल्मिकि
  वाल्हें
  वाशिंग्टन
  वॉशिंग्टन, जॉर्ज
  वॉशिंग्टन, बुकर टी
  वाशिम
  वासवा
  वा संस्थानें
  वासुकि
  वासुदेव
  वासोटा
  वास्तुसौंदर्यशास्त्र
  वाहीक
  वाळवें
  वाळा
  विकर्ण
  विक्रमपूर
  विक्रमसंवत् व विक्रमादित्य
  विंचावड
  विचित्रवीर्य
  विंचू
  विंचूर
  विंचेस्टर
  विजयगच्छ
  विजयदुर्ग
  विजयादशमी
  विजयानगर
  विजयानगरचें घराणें
  विजयानगरम्
  विजापूर
  विझगापट्टम्
  विटेनबर्ग
  विठ्ठल कवी
  विठ्ठल शिवदेव विंचूरकर
  विठ्ठल सुंदर परशरामी
  विंडबर्ड बेटे
  विंडसर
  विणकाम अथवा विणणें
  वित्तेश्वर
  विदुर
  विदुला
  विदेह
  विद्याधर
  विद्यापीठें
  विद्युत्
  विंध्यपर्वत
  विनायकी लिपी
  विनुकोंडा
  विमा
  विमान
  विरपुर
  विरमगांव
  विरवन्नलूर
  विराट
  विल्यम राजे
  विल्यम्स, सर मोनीयर
  विल्लुपुरसम्
  विल्यन वुड्रो
  विल्सन, होरेस हेमन
  विल्हेल्म्स हॅवन
  विवस्वान्
  विवाह
  विवेकानंद
  विशाळगड किल्ला
  विशाळगड संस्थान
  विशिष्टाद्वैत
  विश्वकर्मा
  विश्वनाथ
  विश्वब्राह्मण
  विश्वसंस्था
  विश्वामित्र
  विश्वासराव पेशवे
  विश्वेदेव
  विश्वोत्पत्ति
  विश्वोत्पत्ति
  विषें व विषबाधा
  विष्णु
  विष्णु गोविंद विजापूरकर
  विष्णुदास नामा
  विष्णुपुराण
  विष्णुस्मृति
  विसनगर
  विसोबाखेचर
  विज्ञानशास्त्र
  विज्ञानेश्वर
  वीरपूर
  वीरवल्ली
  वीरशैव उर्फ लिंगायत
  वीरावळ
  वूलर सरोवर
  वूलवरहॅस्टन
  वूलिच
  वृत्तपत्रें
  वृत्तें
  वृत्र
  वृन्दसंगीत
  वृंदावन
  वृद्धाचलम्
  वृक्षसंवर्धन
  वेंगी देश
  वेंगुर्लें
  वेणूबाई
  वेत
  वेद
  वेदांत
  वेदारण्यम्
  वेद्द
  वेधशास्त्र
  वेरुळ
  वेलदोडे
  वेलन
  वेलबोंडी
  वेलस्टी रिचर्ड कॉली, मार्किंस
  वेलिंग्टन
  वेलिंग्टन, आर्थंर वेलस्ली
  वेल्लाळ
  वेल्लोर
  वेल्स
  वेश्याव्यवसाय
  वेस्टइंडिज बेटें
  वेस्ले, जॉन
  वैतरणी
  वैदु
  वैराट
  वैवस्वत मनु
  वैशंपायन
  वैशाली-विशाल
  वैशेषिक
  वैश्य
  वैष्णव संप्रदाय
  व्यंकटगिरी
  व्यंकटाध्वरी
  व्यंकोजी
  व्यापार
  व्यायाम
  व्रत
  व्हर्जिन बेटें
  व्हर्जिल
  व्हल्कन
  व्हिएन्ना
  व्हिक्टोरिया
  व्हिक्टोरिया निआंझा
  व्हिक्टोरिया फॉल
  व्हिलिंजस्
  व्हेनिस्
  व्हेनेझुएला
  व्हेपिन
  व्हेसुव्हियस
  व्होल्टा अल्सान्ड्रो
  व्होल्टेअर
 
  शक
  शंकराचार्य
  शंकुतला
  शकुनि
  शक्तिसंस्थान
  शंतनु
  शत्रुघ्न
  शनि
  शब्दवाहक
  शरीरसंवर्धन
  शर्मिष्ठा
  शल्य
  शस्त्रवैद्यक
  शहाजहान
  शहाजी
  शहामृग
  शाई
  शांघाय
  शांतीपूर
  शान
  शारीर व इंद्रियविज्ञानशास्त्र
  शारीरांत्र गूहकसंघ
  शार्लमन चार्लस दि ग्रेट
  शालिवाहन राजे
  शालिवाहन शक
  शासनशास्त्र
  शाहू थोरला
  शिकॅगो
  शिखंडी
  शिंगाडा
  शिगात्झे
  शिंदे घराणें
  शिंपी
  शिबि
  शिरपुर
  शिर:शोणित मूर्च्छा
  शिराझ
  शिरूर
  शिरोंचा
  शिलर, जोहान ख्रिस्तोप
  शिलाजित
  शिलाहार राजे
  शिल्पकला
  शिव
  शिवगंगा
  शिवगिरि
  शिवदीनबावा
  शिवाजी
  शिशुपाल
  शिसें
  शिक्षणशास्त्र
  शीख
  शुक
  शुक्र
  शुंग घराणें
  शुजा
  शुन:शेप
  शुंभ निशुंभ
  शुश्रूषा
  शूर्पणखा
  शूलगव
  शृंगवरप्पुकोटा
  शृंगेरी
  शेक्सपिअर विल्यम्
  शेख
  शेखमहंमद
  शेख सादी
  शेगांव
  शेडबाळ
  शेफिल्ड
  शेले, पर्सी बायशे
  शेष
  शेळ्यामेंढ्या
  शैवसंप्रदाय
  शोण अथवा शोणभद्रा
  शोपेनहार
  श्रवणबेळगोळ
  श्रीधरस्वामी
  श्रीनगर
  श्रीरंगम्
  श्रीविल्लीपुत्तूर
  श्रीवैकुंठम्
  श्रीशैलम्
  श्लीपदरोग
  श्लेगेल
  श्वासनलिकादाह
  श्वेतांबर जैन
  श्वेताश्वतरोपनिषद
 
 
  संकटकतनु
  संकरनाइनार्कोयिल
  संकेश्वर
  सक्कर
  सखारामबापू
  संख्यामीमांसा
  संग
  संगड
  संगमनेर
  संगमेश्वर
  सगर
  संगीतशास्त्र
  संग्रहणी
  संघड
  संघसत्तावाद
  सच्छिद्रसंघ
  संजय
  संजारी
  सतलज
  संताळ परगणे
  सती
  सत्नामी
  सत्पंथ
  सत्यभामा
  सत्यवान
  संत्री-मोसंबी
  सदानंद
  सदाशिव माणकेश्वर
  सदाशिवरावभाऊ पेशवे
  संदिला
  संदोवे
  संद्वीप
  संधिपाद
  संधिवातरोग
  सॅन फ्रान्सिको
  सन्निपातज्वर
  संपगांव
  संपथर
  संपात
  संपातचलन
  सपृष्ठवंश
  सप्तशृंगी
  सफीपूर
  संबलपूर
  संभळ
  संभाजी
  संभाजी आंगरे
  समरकंद
  समशेर बहादूर
  समाजशास्त्र
  समाजसत्तावाद
  समीकरणमीमांसा
  समुंद्री
  सम्पत्ति
  सम्राला
  सयाम
  संयुक्त संस्थानें
  सय्यद
  सरकेशियन लोक
  सरगोधा
  सरधन
  सरस्वती
  सरहिंद
  सरक्षक जकातपद्धति
  सरैकेला
  सर्प
  सर्वसिद्धि
  सर्वेश्वरवाद
  सर्व्हिया
  सॅलोनिका
  सवर
  संशयवाद
  ससराम
  ससा
  संस्कार
  संस्कृति
  सस्तनप्राणी
  सहकारी संस्था
  सहदेव
  सहवासी ब्राह्मण
  सहसवन
  सहारा
  सह्याद्रि
  साऊथ वेस्ट आफ्रिका
  साकारिन
  साकोली
  साक्रेटीस
  साखर
  सांख्य
  साग
  सांगला
  सांगली संस्थान
  सागैंग, जिल्हा
  सांगोलें
  साघलीन
  सांचिन

 

   

यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान निर्मित महत्वपूर्ण संकेतस्थळे  

   

पुजासॉफ्ट, मुंबई द्वारा निर्मित
कॉपीराइट © २०१२ --- यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान, मुंबई - सर्व हक्क सुरक्षित .