प्रस्तावना खंड  

   

सूची खंड  

   
Banners
   

अक्षरानुक्रम (Alphabetical)

   

विभाग विसावा : वऱ्हाड - साचिन
   
समीकरणमीमांसा, प्र स्ता व ना.- समीकरण मीमांसा ऐतिहासिक दृष्टया फार अलीकडची आहे. वर्गसमीकरणें सोडविण्याच्या बाबतींत फार लवकर प्रगति झाली. पण घनसमीकरणें व चतुर्घातसमीकरणें सोडविण्याच्या बाबतींत तशी प्रगति झाली नाहीं. पंधराव्या शतकाच्या शेवट पर्यंत घनसमीकरणें सोडविण्याचें काम जवळजवळ अशक्यच मानलें जात होतें. सिपीओ फेरीओ नांवाच्या इटालियन गणित्यानें क्ष + मक्ष = न हें समीकरण सोडविलें होतें असें म्हणतात. पण इ. स. १५०५ मध्यें त्यानें आपली रीत फ्लोरीडो नांवाच्या आपल्या शिष्याला शिकविली. यापलीकडे तिच्यासंबंधीं कांहीं माहिती नाहीं. पुढें टार्टालिया नांवाच्या दुस-या एका गणित्याचें लक्ष घनसमीकरणांकडे गेलें व त्यानें क्ष + पक्ष = क हें समीकरण सोडविलें. हें ऐकून फ्लोरीडोनें आपलें क्ष३ + नक्ष = न हें समीकरण सोडवून तयार असल्याचें जाहीर केलें. इतक्यांत टार्टालियानेंहि फ्लोरीडोच्या समीकरणाचें उत्तर काढलें. त्या दिवसांत आपलें ज्ञान गुप्त ठेवण्याची चाल असल्यामुळें टार्टालिया आपली रीत कोणास सांगेना. पण शेवटीं कार्डननें फार आर्जव करून त्यापासून घनसमीकरणाची रीत समजाऊन घेतली व जरी त्यानें त्यास ती प्रसिद्ध न करण्याचें वचन दिलें होतें तरी १५४५ सालीं आपल्या आर्स मॅग्ना नांवाच्या पुस्तकांत प्रसिद्ध केली. अशा रीतीनें घनसमीकरण सुटल्यावर गणिती लोक चतुर्घातसमीकरणाच्या मागें लागले. कोला नांवाच्या गणित्यानें त्या काळच्या विद्वान लोकांस क्ष + ६ क्ष + ३६ = ६० क्ष हें समीकरण कोडें म्हणून सोडवावयास दिलें होतें. कार्डननें पुष्कळ प्रयत्न केला पण त्यास हें सुटलें नाहीं. पण त्याचा शिष्य फे-याडी यानें दोन्ही पक्ष पूर्ण वर्मांत्मक करून हें समीकरण सोडविलें तसें करण्यांत एक नवीन अव्यक्त द्यावें लागतें व तें अव्यक्त घनसमीकरणाच्या साहाय्यानें काढतां येतें. नंतर सिम्सननें स. १७४० मध्यें एक रीत काढली. पण तींत व फे-यारीच्या रीतींत फारसा फरक नाहीं. त्यानंतर सशर अथवा बीजभूमितीचा उत्पादक डेकार्ट यानें स. १६३७  त चतुर्घातफल द्विघातफलांच्या गुणाकाराबरोबर मांडण्याची रीत दिली. १७७० मध्यें आयलरनें आपली रीत काढली. पुढें सर्व गणिती पक्षघातसमीकरणाचें साधारण बैजिक विवेचन करण्याच्या प्रयत्नास लागले. पण आतांपर्यंत एकजणहि हल्लीं अस्तित्वांत असणा-या बैजिक फलांच्या साहाय्यानें पंचघातसमीकरण सोडवूं शकला नाहीं. चतुर्घातापलीकडील घातांचीं समीकरणें बैजिक रीतीनें सोडविण्याचें काम अशक्य आहे असें अबेल व वान्टझेल या दोघांनीं सिद्ध केलें आहे. पण दैर्घ्यफलां (एलिस्टिक फंक्शन्स) च्या मदतीनें पंचघातसमीकरणाचें उत्तर अर्माईटनें काढलें आहे.

घनसमीकरणें व चतुर्घातसमीरकणें बैजिक रीतीनें सोडवितांना दोन वस्तुतः भिन्न अशा तत्त्वांचा उपयोग केला जातो. पहिलें तत्त्व मूळ एका विशिष्ट करणी स्वरूपाचें असलें पाहिजे अशा समजुतीवर आरंभ करणें हें आहे. दुसरेः- दिलेल्या समीकरणाच्या स्वरूपांत अशा रीतीनें फरक करणें कीं त्याच्या योगानें त्याचे अवयव पडूं शकतील. याशिवाय समप्रमाण फलाचा उपयोग करून समीकरणें सोडविण्याची रीत ही बीजगणितांत अगदीं मूलभूत आहे.

संख्यासमीकरणाचें अपरिमेय मूल काढण्याच्या बाबतींत पहिला प्रयत्न व्हिएटानें १६०० सालीं केला. कार्डननें याच बाबतींत कांहीं नियम काढले होते पण त्यांचें महत्त्व फारसें नाहीं. व्हिएटाची रीत हल्लीं प्रचलित असलेल्या न्यूटनच्या व हॉर्नरच्या मूलसान्निध्याच्या रीतीसारखीच होती. हार्नरच्या कृतींत मुख्य खुबी इतकीच आहे कीं, तद्विषयक गणित आटोपशीर व पद्धतशीर रीतीनें मांडतां येतें. यापलीकडे व्हिएटनें जो शोध लावला त्यांत कांहीं सुधारणा झाली नाहीं असें म्हटलें तरी चालेल. न्यूटनची रीत १६६९ सालीं प्रसिद्ध झाली. हरियटनें स. १६३१ त समीकरणांचा गुणक व मूलें यांत असणारा संबंध शोधून काढला होता. यावरून पुढें असा शोध निघाला कीं, प्रत्येक पूर्णांकात्मक मूल शेवटच्या पदाचा अवयव असलें पाहिजे व स्वाभाविकपणें न्यूटनची भागाकाराची रीत त्यापासून निघाली. त्यानंतर मूलांची मर्यादा काढण्याचे नियम निघाले व डेकार्टनें प्रथम ॠणात्मक व काल्पनिक मूलें व्यवहारांत आणलीं. लाग्रांजनें प्रत्येक मूल सततभिन्नाच्या रूपांत आणण्याचा प्रयत्न केला व तात्त्विक दृष्टया त्याचें विवेचन पूर्ण आहे, पण व्यवहारांत उपयोगी नाहीं. लाग्रांजनंतर फूरिअर, ब्यूडान व स्टर्म हीं तीन नांवें प्रसिद्ध आहेत. तिघांनींहि संख्यासमीकरणाकडे आपले परिश्रम खर्चिले पण स्टर्मचा सिद्धांत सर्वांत श्रेष्ठ आहे. ब्यूडानचा सिद्धांत १८०७ व फूरिअरचा १८३१ सालीं त्याच्या मरणानंतर प्रसिद्ध झाला. स्टर्मचा शोध स. १८३५ त प्रसिद्ध झाला. संख्यासमीकरण सोडविणें, वर्गमूळ किंवा घनमूळ काढण्याप्रमाणें चिकाटीचें काम आहे. पण यांत कांहीं सुधारणा होण्याची तूर्त अशा दिसत नाहीं. कदाचित् कालांतरानें लाग्रतमांच्या कोष्टकाप्रमाणें संख्यासमीकरणाच्या मूलांचीं कोष्टकें निघतील किंवा बेरीजवजाबाकीच्या यंत्राप्रमाणेंयत्रें निघतील तर न जाणो. पण हल्लीं स्टर्म व हार्नर यांच्या सिद्धांताशिवाय गत्यंतर नाहीं.

हा र्न र ची भा गा का रा ची प द्ध ति.- जर अ०क्ष + अक्षन – १ + अक्षन – २ + ...... अ-क्ष + अ या बहुराशिकास क्ष-ह नें भागिलें तर भागाकार व शेष एकदम मांडतां येतो.

अ०     अ     अ     ...     ...     अन-१     अ
    बह    बह    ...    ...    बन-२ह    बन-१
...        ...        ...        ...
    ब    ब    ...    ...    बन-१    शेष
क्ष+अक्षन-१+अक्षन-२+... ... अ यास क्ष-ह नें भागिलें असतां जर भागाकार
क्षन-१+बक्षन-२+...बन-१ येत असेल तर अक्ष+अक्षन-१+अक्षन-२+...    ...    ...
= (बक्षन-१+...बक्षन-२+...बन-१) x (क्ष-ह) + शेष.

या सरूपसमीकरणांतील क्ष च्या समान घातांच्या गुणकांची तुलना करून
= ब
= ब - ब
= ब – ब
= शेष - बन-१

अशीं समीकरणें येतात. त्यांच्यापासून पक्षांतरनयन करून

= अ
=  अ  + ब
= अ + ब  ह
न-१ = अन-१ + बन-२
शेष = अ + बन-१ ह.

म्हणजे वर दिल्याप्रमाणें दिलेल्या बहुराशिकाचे गुणक ओळीने मांडावेत. ब, अ च्या बरोबर आहे. ब काढण्यास ब ला हनें गुणून त्यांत अ मिळविला म्हणजे ब येतो. तसेंच पुढें ब इत्यादि गुणक व शेष येतात. हार्नरची रीत फार उपयोगी आहे. समीकरणाचीं रूपांतरें करतांनां व संख्यागुणक समीकरणें सोडवितांनां हिचा फार उपयोग होतो.

क्ष + अक्षन-१ + अक्षन-२ + ... अन-१क्ष+अ हें अकरणीगत पूर्णांत्मक क्ष चें बहुराशिक नेहमीं फ(क्ष) नें दर्शवितात, म्हणजे फ (क्ष) = ० हें समीकरण न-घातीय पूर्णांकात्मक अकरणीगत समीकरण दर्शवितें.

व्याख्याः- क्षची जी किंमत फ (क्ष) मध्यें घातली असतां फ (क्ष) = ० होतें, त्या क्ष च्या किंमतीस फ (क्ष) = ० या समीकरणाचें मूल म्हणतात.

सिद्धांतः- फ (क्ष) = ० या नमुन्याच्या प्रत्येक समीकरणास एक तरी मूळ असलेंच पाहिजे. मग तें मूल वास्तविक असो किंवा काल्पनिक असो.

याची सिद्धता संकीर्ण संख्यांच्या (कॉप्लेक्स नंबर्स) तत्त्वावर अवलंबून असल्यामुळें प्राथमिक ग्रंथांत हा सिद्धांत गृहीत धरतात. परंतु या सिद्धांतांत काय सिद्ध केलें आहे व काय सिद्ध करतां येण्याजोगें आहे याची स्पष्ट कल्पना असणें आवश्यक आहे. जर फ (क्ष) मधील गुणक वास्तविक किंवा काल्पनिक (म्हणजे अ +   व यासारखे) असले पाहिजेत हा निर्बंध काढून टाकला तर तशा समीकरणास वरील सिद्धांत लागू नाहीं व तशा त-हेच्या समीकरणाबद्दल सिद्धतेचें साधनहि नाहीं. वरील सिद्धांताची प्रतिज्ञा अधिक यथार्थ करणें झाल्यास ''प्रत्येक संख्यात्मक समीकरणास एक तरी मूळ असलें पाहिजे'' अशी देतात.

प्रत्येक न-घातीय समीकरणाचीं न मूलें असतात व नपेक्षां जास्त नसतात.

दिलेलें समीकरण फ (क्ष) = ० आहे. फ (क्ष) हें नेहमींच न – घातीय बहुराशिक आहे.

फ (क्ष) = ० याचें वास्तविक किंवा काल्पनिक मूल असलेंच पाहिजे. समजा एक मूल प१ आहे म्हणून

फ (क्ष) = (क्ष - प) फ (क्ष); फ (क्ष) हें क्ष चें (न - १) – घातीय अकरणीगत पूर्णांकात्मक फल आहे.

पुन्हां फ (क्ष) = ० या समीकरणासहि एक तरी मूल असलें पाहिजे. व तें प२ आहे असें समजल्यास

(क्ष) = (क्ष – ) फ (क्ष); व क (क्ष) हें क्षचें अकरणीगत पूर्णांकात्मक (न - २) - घातीय फल आहे. म्हणजे फ (क्ष) = (क्ष - प) (क्ष – प) फ (क्ष). अशा रीतीनें शेवटीं फ (क्ष) = अ (क्ष – प) (क्ष – प) ... (क्ष – प) हें समीकरण येतें.

म्हणून फ(क्ष) = ० या समीकरणाचीं प ... प हीं न मूलें आहेत. तसेंच नपेक्षां जास्त मूलें असणें शक्य नाहीं कारण प ... पयांहून भिन्न अशी क्षबद्दल कोणतीहि किंमत घातल्यास उजवीकडील एकहि अवयव शून्य होत नाहीं.

वरील विवेचनांत प ... प हे सर्व किंवा त्यापैकीं कांही जरी एकमेकांबरोबर असले तरी फ(क्ष) = ० या समीकरणाचीं मूलें न आहेत असेंच म्हणतात. मात्र या बाबतींत तीं भिन्न नाहींत.

ज्या समीकरणांतील गुणक वास्तविक असतात त्या समीकरणांचीं मूलें जोडीनें असतात.

म्हणजे जर प +   फ हें एक काल्पनिक मूल असेल तर प -   फ हेंहि मूल असतें. समजा कीं फ (क्ष) ला (क्ष – प) + फ यानें भागून भागाकार भ येतो असें समजा व शेष र क्ष + र१ राहतो.

म्हणून फ (क्ष) = [(क्ष – प) + फ]भ + रक्ष + र१ या सरूपसमीकरणांत जर क्ष = प +   फ लिहिलें तर ज्या अर्थी प  फ हें फ (क्ष) = ० चें मूल आहे. त्याअर्थी
० = रक्ष + र
   = र (प +   फ) + र हें समीकरण येतें. म्हणजे यांतील वास्तविक व काल्पनिक भाग शून्याबरोबर करून
र प + र = ० व र फ = ०.

पण फ शून्य नाहीं म्हणून र = ०० असलें पाहिजे व म्हणून र१ हि शून्य असलें पाहिजे. म्हणजे र क्ष + र१ = ०. म्हणजे फ (क्ष) ला (क्ष - प)२ + फ२ यानें निःशेष भाग जातो. म्हणजे क्ष - प -   फ व क्ष - प +  फ हे दोन्ही फ (क्ष) चे अवयव आहेत म्हणजे प -   फ हेंहि फ (क्ष) = ० चें मूल असलें पाहिजे.

वरील विवेचनांत फ (क्ष) = ० चीं प +   फ व प -   फ हीं मूलें असल्यास (क्ष - प) + फ हा फ (क्ष) चा अवयव असला पाहिजे हें सिद्ध केलें गेलें आहे. त्यावरून जर फ (क्ष) = ० चीं सर्व मूलें काल्पनिक असतील तर फ (क्ष) धनात्मकच असणार हें उपप्रमेय निघतें. कारण फ (क्ष) हें (क्ष - फ) + फ या स्वरूपाच्या अवयवांचें गुणक फल आहे व असा प्रत्येक अवयव क्ष ला कोणतीहि वास्तविक किंमत दिली तरी धनात्मकच असणार.

करणीगत मूलेंहि जोडीनेंच असतात. म्हणजे प +   हें मूल असल्यास प -  हेंहि मूल असतें.

डेकार्टचा नियमः– फ (क्ष) = ० या समीकरणांत असणा-या चिन्हविपर्यासांच्या संख्येपेक्षां जास्त धनात्मक मूलें त्या समीकरणास असूं शकणार नाहींत.

समजा कीं फ (क्ष) या बहुराशिकांतील पदांची चिन्हें + + - - + - - - + - + - अशी आहेत. आतां + - चिन्हांनीं युक्त अशा द्विपद अवयवानें यांस गुणलें असतां गुणाकारांतील चिन्हविपर्याससंख्या मूळच्या फ (क्ष) मधील त्याच संख्येपेक्षां निदान एकानें तरी अधिक आहे हें दिसून येईल. (क्ष - प) हा अवयव क्ष = प या मूलाशीं संबद्ध आहे म्हणून पया धनात्मक मूलाशीं एक तरी चिन्हविपर्यय संबद्ध आहे. अर्थात धनात्मक मूलांची संख्या चिन्हविपर्यासांच्या संख्येपेक्षां अधिक असणें शक्य नाहीं.

फ (क्ष) मध्यें क्ष च्या ऐवजीं - क्ष लिहून फ + क्ष = ० या समीकरणाच्या धनात्मक मूलांची मर्यादासंख्या काढली असतां फ (क्ष) = ० या समीकरणाच्या ॠणात्मक मूलांची संख्यामर्यादा येते.

डेकार्टच्या नियमानें काल्पनिक मूलांचे अस्तित्व स्थापित करतां येतें व त्यांच्या संख्येस खालची मर्यादा घालतां येते.

उदा०:- क्ष - ३क्ष - क्ष + १ = ०. यांत धनात्मक मूलें फार तर दोन असतील. क्ष ऐवजीं -क्ष लिहून या समीकरणाचीं फार तर दोन ॠणात्मक मूलें असतील हें दिसून येतें. परंतु एकंदर ६ मूलें असलीं पाहिजेत म्हणून निदान दोन तरी मूलें काल्पनिक असलीं पाहिजेत.

जर क्ष हें चल (व्हेरिएयल) अ पासून ब पर्यंत अखंडतेनें फिरेल तर फ (क्ष) सुद्धा फ (अ) पासून फ (ब) पर्यंत अखंडतेनें बदलेल तसेंच जर फ (अ) व फ (ब) यांचीं चिन्हें विरुद्ध असतील तर फ (क्ष) = ० या समीकरणाचें निदान एक तरी मूल अ व ब यांच्यामध्यें असलें पाहिजे व एकाहून जास्त असल्यास मूलांची संख्या विषम असली पाहिजे.

तसेंच जर फ (अ) व ब ची चिन्हें एकच असतील तर अ व ब यांच्या दरम्यान फ (क्ष) = ० या समीकरणाचीं मूलें मुळींच असणार नाहींत, किंवा असलीं तर त्यांची संख्या सम असेल.

मूलें व गुणक यांच्यामध्यें असणारा संबंधः- फ (क्ष) = ० हें समीकरण दुस-या स्वरूपांत म्हणजे

फ (क्ष) = अ० (क्ष – प) (क्ष – प) ... (क्ष – प) = ०
असें मांडतां येतें. यांतील दोन्ही पक्षांतील क्ष च्या घातांच्या गुणकांची तुलना केली असतां

+ प + प ...    प = सर्व मूलांची बेरीज = अ /अ
+ प+... …    = मुलांच्या दोन दोन मुलें घेऊन केलेल्या गुणाकारांची बेरीज = अ /अ
...    ...    ...    ...
...    ...    ...    ...
... पन = (-) अन / अ

राँलीचा सिद्धांतः- (क्ष) = ० च्या अ व ब या दोन क्रमिक वास्तविक मूलांच्या दरम्यान फ३ (क्ष) = ० चें निदान एक तरी वास्तविक मूल असलें पाहिजे.

कारण जसजसें क्ष हें चल अ पासून ब पर्यंत बदलत जातें तसतसें फ (क्ष) हें फल फ (अ) पासून फ (ब) पर्यंत अखंडतेनें बदलतें म्हणून तें वाढून कमी झालें असलें पाहिजे किंवा कमी होत जाऊन पुन्हां वाढलें असलें पाहिजे. म्हणून फ (अ) ते फ (ब) च्या प्रवासांत फ (क्ष) चें निदान एक तरी महत्तम किंवा लघुतम असलें पाहिजे. समजा कीं हें लघुतम किंवा महत्तम क्ष = म असतांना होते पण लघुतम किंवा महत्तम फल होण्यास फलाची तात्कलिक गति त्या ठिकाणीं शून्य असली पाहिजे म्हणजे फ (म) = ० म्हणजे म हें फ (क्ष) = ० या समीकरणाचें असलें पाहिजे.

फ (अ) पासून फ (ब) पर्यंत वाटेंत पुष्कळ महत्तमें व लघुतमें असूं शकतील म्हणून सिद्धांतांत ''निदान एक तरी'' असें म्हटलें आहे.

पुनरावृत्त मूलेः- जर फ (क्ष) = ० च्या एखाद्या मूलाची म वेळां पुनरावृत्ति होत असेल तर तेंच मूल फं (क्ष) = ० च्या बाबतींत (म - १) वेळां पुनरावृत्त असतें.

कारण फं (क्ष) हें फ (क्ष) = (क्ष – प) (क्ष – प) ... (क्ष - पन) असें समजल्यास व फ (क्ष) चें लाप्रतम घेऊन त्याची तात्कालिक गति काढल्यास
  या स्वरूपांत लिहितां येतें.
यांपैकीं प = प = ... = पम असें समजलें तर
 

उजवीकडील पहिल्या पदाखेरीज बाकी सर्व पदांत (क्ष – प)म हा अवयव आहे व पहिल्या पदांत (क्ष – प)म -१ हा अवयव आहे.

म्हणून फं (क्ष) चा (क्ष – प)म - १ हा अवयव आहे. म्हणजे फं (क्ष) = ० चें प१ हें म-१ वेळां आवृत्तमूल आहे.

उपप्रमेयः- फ(क्ष) व त्याची पहिली म-१ व्युत्पन्न फलें मांडलीं असतां फ(क्ष) = ० चें म वेळां आवृत्त मूल फं (क्ष) =०चें (म-१) वेळां पुनरावृत्त मूल असतें; फM (क्ष) = ० चें (म-२) वेळां पुनरावृत्त मूल असतें व पुढें ओळीनें एक एक वेळां कमी होत जातें.

उपप्रमेय दुसरेः- जर क्ष = अ असतांना फ (क्ष) व त्याची (म - १) व्युत्पन्न फलें शून्याबरोबर होत असतील तर अ हें फ (क्ष) = ० चें म वेळां पुनरावृत्त होणारें मूल आहे व (क्ष - अ)म हा फ (क्ष) चा अवयव असला पाहिजे.

दिलेल्या समीकरणाचीं पुनरावृत्त मूलें आहेत कीं नाहीं हें पहावयाचें असल्यास फ क्ष व फं (क्ष) चा दृढभाजक काढला पाहिजे. हें काम बहुराशिक मोठें असल्यास त्रासाचें होतें.

मूलांचें पृथक्करण करण्याच्या कामीं फार महत्त्वाचे दोन सिद्धांत पुढें दिले आहेत.

फ (क्ष) = ० च्या अ या वास्तविक मूलाहून किंचित् कमी अशा अ - ह या किंमतीपासून, त्याच्यापेक्षां किंचित् जास्त अशा अ + ह या किंमतीकडे अखंडतेनें जातांनां, फ (क्ष) व फं (क्ष) या दोहोंची चिन्हें पूर्वी विरुद्ध असतात व नंतर सारखीं होतात. कारण 

फ (अ - ह) = फ (अ) - फं (अ) ह + फ(अ)ह / १.२ ......
फं (अ-ह) = फं (अ) –फ२(अ)ह + …

आतां फ (अ) = ० म्हणून या दोन्हींची किंमत जी पहिल्या पदावर अवलंबून आहे ती विरुद्ध चिन्हात्मक आहे. कारण ह फार सूक्ष्म आहे; ह चें चिन्ह बदलून दोन्ही फलें सारख्या चिन्हांचीं होतात.

उपप्रमेयः- अ हें जरी पुनरावृत्त मूल असलें तरी सिद्धांत खरा आहे.

दुसरा सिद्धांतः- फ(क्ष) फ(क्ष) .... ... फर – १(क्ष) यांच्यापैकीं क्रमानें दोहोंदोहोंस जर वरचें विवेचन लागू केलें तर अ हें फ (क्ष) = ० चें र – पुनरावृत्त मूल असल्यास, अ पेक्षां जरा कमी किंमत दिल्यास वरील फलांचीं चिन्हें आळीपाळीनें धन व ॠण किंवा ॠण व धन होतात व अ पेक्षां थोडी जास्त किंमत दिल्यास सर्वांचीं चिन्हें सारखी होतात व हीं सारखीं चिन्हें फ(अ) च्या चिन्हाचीं असतात.

आत संख्यागुणक समीकरणें सोडविण्याच्या कामीं अत्यंत महत्त्वाच्या सिद्धांताकडे वळूं. पुष्कळ समीकरणांत मूळांची नक्की किंमत काढतां येत नाहीं. तेव्हां अदांजीं उत्तरावरच समाधान मानून घ्यावें लागतें व तो अंदाज जितका जास्त बरोबर किंवा ख-या उत्तराच्या जितका जास्त जवळ जवळ नेतां येईल तितकें चांगलें. अशा त-हेचें जवळ जवळ बरोबर असें संख्यागुणक समीकरणाचें मूल काढण्याच्या कामीं आधारभूत असा स्टर्मचा सिद्धांत आहे. या सिद्धांताच्या साहाय्यानें मूलाचें स्थान हवें तेवढें आकुंचित करतां येतें. मागें सिद्ध केलेंच आहे कीं, बीजगणितांतील दृढभाजक काढण्याच्या कृतीनें पुनरावृत्त मूलें काढणें शक्य आहे. स्टर्मनें त्याच कृतीचा उपयोग मूलांच्या पृथक्करणांत उपयोगी पडणारी एका त-हेचीं फलें काढण्यासाठीं केला आहे.

फ (क्ष) व फ (क्ष) याचा दृढभाजक काढण्याची कृति केली असतां एकामागून एक येणारे शेष कमी कमी घातांकाचें होत जातात व शेवटीं असा शेष येतो कीं, ज्यानें पूर्वीच्या शेषास निःशेष भाग तुटतो किंवा जो केवल संख्यात्मक असतो. जर निःशेष भाग तुटेल तर ती पुनरावृत्त मूलांची बाब आहे. संख्यात्मक शेष राहिल्यास पुनरावृत्त मूलें नाहींत. स्टर्मच्या सिद्धांताचें विवेचन प्रायः दोन भागांत केलेलें असतें.

पहिला भाग- जेव्हां आवृत्तमूलें नसतात; व दुसरा भाग जेव्हां तशीं मूलें असतात.

प्रथम आपण पुनरावृत्त मूलें नाहींत असें समजून स्टर्मच्या सिद्धांताचें विवचेन करूं. पण तसें करण्यापूर्वी स्टर्मचीं फलें कशीं काढावयाचीं हें दाखविलें आहे.

स्टर्मचीं फलेः- स्टर्म, दृढभाजक काढण्याच्या कृतींत येणारे शेष जसेच्या तसे न घेतां प्रत्येक शेषानें पुढें भागाकार करण्याच्या अगोदर त्या शेषाचें चिन्ह बदलतो व प्रत्येक खेपेस तसेंच करीत गेल्यास चिन्ह बदललेले शेष स्टर्मचीं फलें होतात. उदाहरणार्थः -

फ (क्ष) = क्ष - २क्ष - ५ = ० हें समीकरण घेऊं. यांत फ (क्ष) = पहिलें व्युत्पन्न फल = ३ क्ष ...२.

दृढभाजकाच्या रीतीनें पहिला शेष ... ४क्ष ... १५ येतो व याचें चिन्ह बदलल्यास ४क्ष + १५ हें स्टर्मचें फल आलें. पुन्हां ४क्ष + १५ नें ३क्ष - २ ला दृढभाजकाच्या रीतीनें भागिलें असतां – ६४३ बाकी उरतात व याचें चिन्ह बदललें असतां ६४३ हें पुढचें स्टर्मचें फल आलें.

स्टर्मचा सिद्धांतः- फ (क्ष) हें बहुराशिक व त्याचे पहिलें व्युत्पन्न फल व या दोहोंचा दृढभाजक काढतांना येणा-या शेषांचीं चिन्हें बदलून आलेलीं फलें (अशी एकंदर न + १ फलांची श्रेणी)

[फ (क्ष), फ (क्ष) १  फ (क्ष)... ... ...फ (क्ष)] घेऊन त्यांत क्ष च्या जागीं अ व ब लिहिले तर त्या श्रेणीतील पहिल्यांदा म्हणजे (क्ष = अ) घातला असतां व दुस-यांदा म्हणजे क्ष = ब घातला असतां      येणा-या चिन्हविपर्यासांच्या अंतराइतकींच फ (क्ष) = ० चीं वास्तविक मूलें अ व ब यांच्या मध्यें असतात.

स्टर्मची फलें काढण्याच्या कृतीवरून पुढील समीकरणाच्या सत्यतेबद्दल खात्री होईल. ल ... लन-१ हे एकामागून एक येणारे भागाकार आहेत असें मानल्यास,
फ (क्ष) = ल (क्ष) – फ (क्ष)
(क्ष) = ल (क्ष) – फ (क्ष)
...    ...    ...    ...    ..
फर-१ (क्ष) = ल (क्ष) – फर + १ (क्ष)
...    ...    ...    ...    ..
न-२ (क्ष) = लन - १न - १ (क्ष) – फ

जर फ (क्ष) व फ (क्ष) यांनां साधारण असा अवयव असेल तर तो फ२ (क्ष चाहि अवयव असला पाहिजे. दुस-या समीकरणाकडे पाहिलें असतां तोच अवयव फ (क्ष) चाहि असला पाहिजे व तसेंच शेवटीं आपण शेवटच्या शेषापर्यंत येऊन पोहोचूं. जर साधारण अवयव असेल तर हा शेवटचा शेप बहुराशिकच असला पाहिजे. पण आपण फ (क्ष) व फ (क्ष) यांनां साधारण असा अवयव नाहीं असें प्रथम समजूं व म्हणून फ (क्ष) नुसते संख्यात्मक आहे, वरच्याप्रमाणेंच या फलांपैकीं कोणत्याहि लागोपाठ येणा-या दोन फलांनां साधारण अवयव असणें शक्य नाहीं. म्हणून क्ष च्या अ पासून ब पर्यंतच्या प्रवासांत दोन लागोपाठ येणारी फलें एकदम शून्य होणें शक्य नाहीं म्हणून ती गोष्ट वगळली तरी चालेल.

(१) क्ष, फ(क्ष) =० च्या मूलांतून पलीकडे जाईल.

(२) क्ष ला फ ... ... फन-१ यांपैकीं एखाद्याच्या मूलांतून जावें लागेल.

(३) किंवा क्ष ला वाटेंत एखादी किंमत अशी लागेल कीं, ती किंमत फ ... ... फन-१ यापैकीं दोन किंवा जास्त फलांस शून्य करिते. फक्त शून्य होणारीं फलें लागोपाठ नसलीं म्हणजे झालें.

(१) जेव्हां क्ष फ (क्ष) = ० च्या मूलांतून जातो तेव्हां फ व फ१ या दोहोंत एक चिन्हविपर्यास कमी होतो हें मागें आलेंच आहे. कारण अगोदर फ व फ१ चीं चिन्हें भिन्न असतात व मागाहून सारखीं होतात.

(२)  समजां कीं फर (क्ष) = ० च्या एका अ या मूलांतून क्ष जातो.

आतां फर-१ (क्ष) = ल (क्ष) - फर + १(क्ष) यावरून फर - १ (अ) = -फर + १(अ)
आतां फर = ० च्या मूलांतून क्ष जेव्हां जातो तेव्हां आहें एकेरी किंवा विषम वेळां आवृत्तमूल असेल तर फर चें चिन्ह बदलेल. जर अ हें सम वेळां आवृत्त मूल असेल तर फर चें चिन्ह बदलणार नाहीं पण कसेंहि झालें तरी फर-१, फर, फर+१ या तीन फलांच्या चिन्हांच्या विपर्यासांची संख्या कायम राहते; कमी होत नाहीं किंवा जास्त होत नाही. कारण अ पाशीं अपेक्षां किंचिंत् कमी व अपेक्षां किंचित् जास्त असा सूक्ष्म अवकाश घ्या कीं त्या अवकाशांत फर-१ = ० किंवा फर + १ = ० होत नाहीं. म्हणजे फर - १ व फर + १ चें चिन्ह बदलत नाहीं व हीं फलें एकमेकांशीं विरुद्ध चिन्हाचीं असणार. म्हणून फर = ० च्या मूलांतून जेव्हां क्ष जातो तेव्हां फर - १, फर व फर + १ यांमध्यें असणा-या चिन्हविपर्यासांच्या संख्येंत कांहीं फेरफार होत नाहीं.

समजा कीं मूलांतून क्ष च्या जाण्यापूर्वी फर-१, फर व फर +१ यांची चिन्हें + .... होतीं. मूलाच्या पलीकडे वर गेल्यावर एकतर हीं चिन्हें अशींच राहतील किंवा फर चें चिन्ह बदलल्यास ++.... अशीं होतील कसेंहि झालें तरी चिन्हविपर्यासांची संख्या कायम राहते.
(३)    ज्या अर्थी वरील अनुमानपद्धति फक्त शेजारच्या फलांपुरतीच आहे त्या अर्थी (३) मध्यें सुद्धा तिचाच अवलंब करण्यास कांहीं हरकत नाहीं. म्हणून येथें सुद्धां चिन्हविपर्याससंख्या वाढत नाहीं किंवा कमी होत नाहीं.

आतां (१), (२), (३), यांतील अनुमानें एकत्र केलीं असतां एवढें दिसून येईल कीं, जसें क्ष हें चल अ पासून ब पर्यंत जातें तसें वाटतें फ(क्ष) = ० चें मूल लागल्यास एक चिन्हविपर्यास नाहींसा होतो व दुस-या कोणत्याहि कारणाने चिन्हविपर्याससंख्या वाढत नाहीं किंवा कमी होत नाहीं. म्हणून अ व ब या अवकाशांत वरील फ, फ१, फ२, ... फन इत्यादि फलश्रेणींतील जितके चिन्हविर्ण्यास कमी होतील तितकींच फ(क्ष) = ० चीं वास्तविक मूलें अ ब या अवकाशांत असलीं पाहिजेत.

उदाहरण – क्ष३ - ७क्ष + ७ = ० या समीकरणांच्या वास्तविक मूळांची संख्या व स्थान सांगा. यांत फ१ = ३  क्ष२ - ७
फ२ = २क्ष - ३
फ३ = १

म्हणून क्ष = -ळ घातल्यास स्टर्मच्या फलांचे चिन्हविपर्यास असे येतात.

(-ळ)    -    +    -    +
(क्ष = ०)    +    -    -    +
(क्ष = +ळ)    +    +    +    +

क्ष जसें ळ पासून ० पर्यंत बदलतें तसें एक चिन्ह विपर्यास नाहींसा होतो. म्हणून एक ॠणात्मक वास्तविक मूल आहे, तसेंच ० पासून + ळ पर्यंत दोन चिन्हविपर्यास नाहीसे होतात म्हणून दोन धनात्मक मूलें आहेत. एकंदर दोन धन व एक ॠण अशीं तीन वास्तविक मूलें आहेत. याहिपेक्षां अधिक नक्की स्थान पाहिजे असल्यास

(क्ष)    फ    फ१    फ२    फ३
-४    -    +    -    +
-३    +    +    -    +
-२    +    +    -    +
-१    +    -    -    +
१    +    -    -    +
२    +    +    +    +

यांत -४ व -३ यांच्यामध्यें एक मूल असलें पाहिजे व १ व २ यांच्यामध्यें धनात्मक दोन मूलें असलीं पाहिजेत. हें उघड आहे.

स्टर्मच्या सिद्धांताचें पुनरावृत्त मूलें असतांनां विवेचनः - वरच्याप्रमाणें (क्ष - अ)म - १ हा अवयव स्टर्मच्या सर्व फलांनां साधारण असणार. म्हणून हा अवयव काढून टाकल्यास व मागच्याप्रमाणेंच भागून आलेल्या फलांच्या चिन्हविपर्यासांचा विचार केल्यास दुसरा भाग सिद्ध होतो. पुनरावृत्त मूलें असतांना स्टर्मच्या सिद्धांताची प्रतिज्ञा. फ फ१ फ२, ... फर यांच्यांत अ व ब क्ष च्या ऐवजीं घातले असतां जितके चिन्हविपर्यास हरवतील तितकीं वास्तविक मूलें अ व ब यांच्या दरम्यान असणार (यांस प्रत्येक पुनरावृत्त मूल एकच वेळां हिशेबांत धरलें जातें).

मू लां चीं स म प्र मा ण फ लें, न्यूटनचा सिद्धांतः- परिभाषाः- स१ = प१ + प२ + प३ + ... पन
स२ = प२१ इत्यादि मूलांच्या सारख्या घातांची बेरीज गुणाकारांच्या मदतीनें मांडणें.
फ(क्ष) = क्षन + अ१क्षन-१ + अ२क्षन-१ + … + अन-१ क्ष +अन

=  (क्ष-प१) (क्ष-प२) ... ... (क्ष-पन) = ० हें समीकरण आहे असें समजून
फ (क्ष) =  
= न क्षन – १+ (न - १) अ१ क्षन - २ + (न - २) अ२क्षन - ३ + ... २अन - २ क्ष + अन - १
या समीकरणांत   इत्यादि पदांचा हार्नरच्या भागाकारांच्या रीतीनें भागाकार करून समान घातांच्या गुणकांची तुलना केली असतां
स१ + अ१ = ०
स२ + अ१स१ + २अ२ = ०
स३ + अ१स२ + अ२स१ + ३ अ३ = ०
...    ...    ...
...    ...    ...
सन - १ + अ१सन - २ + अ२ सन - ३ + ... ... ...
... अन - २ स१ + (न - १) अन - १ = ०
हीं समीकरणें येतात.   

पहिल्या समीकरणांत स१ ची किंमत निघते. पुढें स१ च्या किंमतीचा उपयोग करून दुस-यापासून स२ ची किंमत निघते. पुढें सन - १ पर्यंत मागच्या समीकरणाचा उपयोग करीत गेल्यास सन - १ ची किंमत येते म्हणून
स१ = -अ१, स२ =  
स३ =   इत्यादि किंमती आल्या. आतां सन, सन + १ सन + २ ... इत्यादि बेरजा कशा काढावयाच्या हें पाहूं.
क्षम - न फ(क्ष) = क्षम + अ१क्षम - १ + अ२क्षम - २ + ... + अनक्षम - न

या सरूपसमीकरणांत क्ष च्या जागीं प१ प२ प३ ... पन इत्यादि मांडून सर्वांची बेरीज केली असतां
सम + अ१सम - १ + अ२सम - २ + ... ... + अनसम - न = ० हें समीकरण येतें.

मला न, न + १, न + २ ... ... इत्यादि किंमती देऊन व स० = न हें ध्यानांत ठेवून मागच्या (सन - १) चा उपयोग करून
सन + अ१सन - १ + अ२ सन - २ + ... + न अन = ०
सन + १ + अ१सन + अ२सन - १ + ... अनस१ = ०
...    ...    ...    ...
इत्यादि समीकरणें येतात.
उदाः- स२ =   स३ =   स४ =   इत्यादि.
उपप्रमेयः- अ२ = १/२     स१ १
            स२ स१,
अ३= -१/३!     स१ १ ०
         स२ स१ २
        स३ स२ स१
अ४ =   इत्यादि.

ह्यावरून मुलांचें प्रत्येक अकरणीगत समप्रमाण फल गुणकांच्या भाषेंत मांडतां येतें हें सिद्ध करितां येतें.
स मी क र णां चीं रू पां त रें. - केव्हां केव्हां समीकरणें दिलेल्या स्वरूपांत सोडविणें सोईचें नसतें तेव्हां त्यांचें स्वरूप बदलून अधिक सोईचें स्वरूप देतां येतें. या लेखांत लागणारीं रूपांतरें पुढें दिलीं आहेत.

(१)    फ (क्ष) मध्यें क्ष च्या ऐवजीं – क्ष लिहिलें असतां जें नवीन समीकरण (फ (-क्ष) = ० येतें त्या समीकरणाचीं मूलें फ (क्ष) = ० च्या मूलांबरोबर असतात पण त्यांचें चिन्ह मात्र निराळें असतें. म्हणजे जर फ (क्ष) = ० चीं मूलें अ१, अ२ .. अन असतील तर फ (-क्ष) चीं मूलें – अ१, -अ२.. – अन हीं असतात.
(२)     दिलेल्या समीकरणाच्या मूलांच्या म पटीबरोबर ज्याचीं मूलें आहेत असें समीकरण काढावयाचें झाल्यास दिलेल्या समीकरणांतील दुस-या गुणकापासून आरंभ करून अनुक्रमानें म, म२, म३, ... ... मन यांनीं सर्व गुणकांस गुणावें. या रूपांतराचा उपयोग प्रथमपदाचा गुणको नको असल्यास काढून टाकण्याकडे होतो.
(३)     कांहीं समीकरणें अशीं असतात कीं, त्यात जर क्ष च्या ऐवजीं १/क्ष लिहिलें तरी समीकरणाचें स्वरूप बदलत नाहीं. अशा समीकरणांस व्यतिहगारसमीकरणें म्हणतात.
(४)     समजा कीं क्ष = य + ह असें फउ (क्ष) = ० मध्यें लिहिलें. दिलेलें समीकरण फ (क्ष) =० अतां फ (ह + य) =० किंवा टेलरच्या सिद्धांतानें विस्तार करून
फ (ह)+फं (ह)य + फ||(ह)य२ + फ||(ह) य३        
               _______       _______ + … =
                  १.२        १.२.३
असें होतें. (फ३ (ह) हें फ (क्ष) चें तात्कालिक गतिफल काढून त्यांत क्ष च्या जागीं ह लिहून येणारें फल आहे.) आतां या य.. समीकरणाचे गुणक काढण्याची एक सोपी रीत आहे. समजा कीं, वर दिलेलें रूपांतर करतांनां
अ० क्षन + अ१ क्षन - १ + ... अन १क्ष + अन = ० चें
अ० यन + अ१ यन - १ + अ२यन - २ + ... अन - १ य + अन = ० असें स्वरूप होतें. पण य = क्ष - ह हें खरें असल्यामुळें य समीकरणांत य च्या जागीं क्ष - ह लिहिलें असतां येणारें समीकरण मूळच्या समीकरणांशीं एकरूप असलें पाहिजे म्हणजे.

अ० (क्ष – ह)न + अ१ (क्ष - ह)न - १ + अ२ (क्ष - ह)न - ३
... अन – १ (क्ष - ह) + अन
हें फ (क्ष) या बहुराशिकांशीं एकरूप आहे.
म्हणून फ (क्ष) ला (क्ष - ह) यानें भागिलें असतां येणारा शेष अन आहे व भागाकार
अ (क्ष – ह)न - १ + अ१ (क्ष - ह)न - २ + अ२ (क्ष - ह)न - ३ ... + अन - १ आहे.

यास जर पुन्हां क्ष-ह नें भागिलें तर शेष अन - १ राहतो व तसेंच पुढें अन  - २ अन - ३ ... अ० वगैरे सर्व गुणक नुसत्या भागाकार करण्यानें काढतां येतात. व्यवहारांत वरील तात्कालिक गतिफलें काढीत बसण्यापेक्षां भागाकाराची रीत जास्त सोईस्कर आहे. उदाहरणार्थ ज्या समीकरणाचीं मूलें क्ष४ - ५क्ष३ + ७क्ष२ - १७क्ष + ११ = ० या समीकरणाच्या मूलांपेक्षां ४ नें कमी आहेत असें समीकरण काढा.

येथें दिलेल्या समीकरणास क्ष - ४ नें भागिल्यास जो शेष येईल तो शेवटचा हवा असलेला गुणक आहे. भागाकारास पुन्हां क्ष - ४ नें भागून येणारा शेष त्याच्या मागचा गुणक आहे. मांडणी पुढें दिल्याप्रमाणें ठेवावी.

१    -५    ७    -१७    ११
    ४    -४    १२    -२०
    -१    ३    -५    -९
    ४    १२    ६०
    ३    १५    ५५
    ४    २८
    ७    ४३
    ४
    ११
म्हणून आपणांस हवें असलेलें समीकरण
य४ + ११य३ + ४३य२ + ५५य - ९ =
(५) वर (४) मध्यें दिलेल्या कृतीचा उपयोग आपणास नको असलेलें पद समीकरणांतून काढून टाकण्याच्या कामीं होतो. क्ष = य + ह या योगानें येणारें समीकरण जर य च्या उतरत्या घातांच्या क्रमानें लिहिलें तर
अ.यन + (न अ०ह + अ१) यन ++ ... + ... ... = ० होतें.जर ह ला न अ०ह + अ१ = ० ही अट घातली तर नव्या आलेल्या समीकरणांत दुसरें पद असणार नाहीं तसेंच ह ला जर
 
ही अट घातली तर नव्या समीकरणांत तिसरें पद येणार नाहीं. चवथें पद नको असल्यास ह ची किंमत घनसमीकरण सोडून काढावी लागेल व शेवटचें पद काढून टाकण्यास फ(ह) = ० म्हणजे मूळचेंच समीकरण सोडवावें लागेल.

पुष्कळ बैजिक कृतींत बहुराशिक फल (१+क्ष) न च्या द्विपदसिद्धांतीय विस्तारामध्यें येणा-या गुणकांनिशीं लिहिणें सोईचें असतें म्हणजें
फ (क्ष) =  
हें फल ऊन या चिन्हानें दाखविल्यास
ऊन-१ = अ० क्षन-१ + (न-१) अ१ क्षन-२ + ...
... + (न-१) अन-२ क्ष+अन-१
ऊन-२ = ...      ...    ...

ऊ३ = अ०क्ष३ + ३अ१क्ष२ + ३अ२क्ष + अ३
ऊ२ = अ०क्ष२ + २अ१क्ष + अ२
ऊ१ = अ०क्ष + अ१
ऊ० = अ०

अशा रीतीनें बहुराशिक फलें लिहिण्याचा एक फायदा असा आहे कीं व्युत्पन्न फलें एकदम मांडतां येतात. ऊन चें पहिलें व्युत्पन्न फल न ऊन - १ आहे. म्हणजे शून्यलब्धींतील क्षन ची तात्कालिक गति काढण्याचा नियम येथें ऊन च्या अंकप्रत्ययास लावला असतां व्युत्पन्न कल येतें.

आतां क्ष = य + ह या समीकरणाच्या साहाय्यानें जर ऊन चें रूपांतर केलें तर जें नवीन य -- फल येईल तें
अ०यन + न अ१यन-१ न (न-१) अ२यन-२ +... ... न अन-१य + अन  
                १.२
होतें असें समजल्यास अ०, अ१, ... अन इत्यादि ऊ०, ऊ१, ऊ२, ... ... ऊन यांमध्यें क्ष च्या जागीं ह स्थानापन्न करून येणारीं फलें आहेत.
म्हणजे अ० = अ०

अ१० = अ०ह + अ०
अ२ = अ०ह२ + २अ१ह + अ२ इत्यादि.
कारण टेलरच्या सिद्धांताप्रमाणें जर फ (य + ह) चा विस्तार केला तर  
                         फ।।(ह)
फ(य + ह) =  फ(ह) + फ (ह) य + -------------- य२ + ... ....
                           १.२
  फन-१ (ह)         फ(न) (ह)
... -------------- यन-१ + ------------- यन
    १.२.३.... (न—१)        १.२.३ ...न
फ(ह) = ऊन मध्यें क्ष च्या जागीं ह लिहून येणारें फल = अन फ। (ह) = पहिलें व्युत्पन्न फल = न अन - १

घनसमीकरणः -
अ० क्ष३ + ३ अ१ क्ष२ + ३ अ२क्ष + अ३ = ०...(१)
यांत जर क्ष = य + ह हें स्थानापन्न केलें तर समजा कीं
अ०य३ + ३ अ१ य२ + ३ अ२य + अ३ = ० हें समीकरण येतें.
अ१ = अ०ह + अ१
अ२ = अ०ह२ + २ अ१ह + अ२ इत्यादि.
जर रूपांतर करून आलेल्या समीकरणांत दुसरें पद नसेल तर
            अ१
अ१ = ० किंवा ह = --- असलें पाहिजे.
            अ
‘ह’ ची किंमत अ२ व अ३ मध्यें लिहून रूपांतर केलेलें समीकरणः-
य३ + ३/अ२ (अ० अ२---अ २/१) य + १/अ x

यांतील   या दोन राशी फार महत्त्वाच्या असल्यामुळें नेहमीं त्यांस च व छ या दोन अक्षरानें दाखवीत जाऊं.
म्हणजे आपलें दुसरें द नसलेलें समीकरण
  = ०    ...(२)

यांच्या मूलांची जर अ० पट केली तर म्हणजे झ = अ०य हें रूपांतर केलें तर झ ... समीकरण
झ३ + ३ च झ + छ = ० असें येतें     ... (३)

(३) मध्यें दिलेलें घनसमीकरणाचें स्वरूपच नेहमीं तात्त्विक विवेचनासाठीं घेतात. तसेंच जर चतुर्घातसमीकरण
अ०क्ष४ + ४अ१क्ष३ + ६अ२क्ष२ + ४अ३क्ष + अ४ = ० हें क्ष = य + ह या समीकरणाच्या साहाय्यानें जर बदललें तर व ह ला अ१/अ० ही किंमत दिली तर
य४+ ६/अ२० च य२ + ४/अ०३ छ य + १/अ०४ x
(अ३/० अ४ –४अ२/० अ१अ३ + ६ अ० अ२/१अ२ – ३ अ४/१) = ० हें समीकरण येतें.हें बहुराशिक आपणांस हवें तर एका अक्षरानें दाखवितां येईल पण तें च व इ (= अ० अ४ – ४अ१ अ३ + ३अ२/२) याच्या मदतीने मांडणें सोईचें होते. वर इ ची व्याख्या केली आहे त्याप्रमाणें.
  याची सत्यता खरी करून पाहणें सोपें आहे.
नवें य समीकरण   यांत जर मागच्याप्रमाणें झ = अ० य घातलें तर झ४+ ६ च झ२ + ४ छ झ + अ२/० इ-३ च२ = ०
हें रूप चतुर्घातसमीकरणाच्या बैजिक विवेचनांत घेतलें जातें.
चतुर्घातसमीकरणाच्या गुणकाचें आणखी एक फल फार उपयोगी आहे. ते आपण ज अक्षरानें दाखवूं.
ज =  
उदाहरणः-  
प्रतयेक घनसमीकरण क्ष३ + क क्ष + र = ० या स्वरूपांत आणितां येतें हें वर सिद्ध केलें आहे. तेव्हां याचीं मूलें जर अ१ अ२ अ३ हीं असतील तर (अ१—अ२)२ (अ२—अ३)२ x (अ३—अ१)२  ही ज्याचीं मूलें आहेत अशीं समीकरणें काढा. अशा समीकरणास लाघवासाठीं वर्गीकृतांतरसमीकरण म्हणूं.
समजा य = (अ२ .. अ३)२ = अ२/१ + अ२/१ + अ २/३ -- अ२/१ --
२ अ१अ२अ३
अ१
आणखी दिलेल्या समीकरणांवरून
 
अ१ अ२ अ३ = ... र
म्हणून अ१ च्या जागीं क्ष लिहिल्यास य व क्ष यांचा संबंध य = २ क ...   किंवा
क्ष३ + (य + २ क)क्ष – २ र = ०
दिलेल्या समीकरणांतून हें वजा केल्यास (य + क) क्ष - ३र = ० किंवा
क्ष =   ही क्ष ची किंमत घालून रूपांतर करून य + ६ क य२ + ९ क२ य + ४ क३ + २७ र२ = ० हें हवें असलेलें समीकरण येतें.
यावरून मूळच्या समीकरणांचीं मूलें अ१, अ२, अ३ असतील तर (अ१- अ२)२ (अ२ – अ३)२ (अ३ – अ१)२ = (२७ र२ + ४क३) हें उघड आहे.
उपप्रमेयः- जर अ१, अ२, अ३ वास्तविक असतील तर २७ र२ + ४क३ हें ॠणात्मक असलें पाहिजे.
म्हणून क्ष३ + क क्ष + र = ० या घनसमीकरणाचीं तिन्ही मूलें वास्तविक असण्याची अट २७र२ + ४ क३ हें ॠणात्मक असलें पाहिजे
म्हणून क्ष३ +क क्ष + र =० या घनसमीकरणाचीं तिन्हीं मूलें वास्तविक असण्याची अट २७र२ + ४क३ हें ऋणात्मक असलें पाहिजे ही आहे. केव्हां ही अट    हें ॠणात्मक असलें पाहिजे या स्वरूपांत देतात.
जर २७र२ + ४क३ = ० वर्गीकृतांतर समीकरणाचें एक तरी मूल शून्य असलें पाहिजे म्हणजे क्ष३ + क क्ष + र = ० याचीं दोन मूलें एकमेकांबरोबर असलीं पाहिजेत.
२७र२ + ४क३ धनात्मक असल्यास रूपांतर करून आलेल्या समीकरणाचें एक मूल ॠणात्मक असलें पाहिजे म्हणून मूळच्या समीकरणाला काल्पनिक मूलांचें एक युग्म असलें पाहिजे, नाहीं तर वर्गीकृतांतर समीकरणाचें मूल ॠणात्मक असूं शकणार नाहीं.
वरच्याप्रमाणें चतुर्घातसमीकरणाचें वर्गीकृतांतर समीकरण काढून मूलनिर्णयप्रमाण काढतां येतें.
न घातीय समीकरणाचें वर्गीकृतांतरसमीकरण काढणें फार त्रासाचें होतें.
घ न स मी क र ण व च तु र्घा त स मी क र ण, बैजिक सारण्याः- वर्गसमीकरणाच्या बाबतींत जसें सारणीच्या रूपानें उत्तर मांडतां येतें तशा प्रकारच्या घन व चतुर्घांत समीकरणांच्या उत्तरांच्या सारण्या तयार आहेत. पण संख्यागुणक समीकरणें सोडविण्यांत त्यांचा वर्गसमीकरणांच्या सारणीप्रमाणें उपयोग होत नाहीं.
पहिली (कार्डनची) रीतः - प्रत्येक घन समीकरण झ३ + ३ च झ + छ = ० या स्वरूपांत आणतां येतें. तेव्हां हें समीकरण सोडविलें म्हणजे मूळचें समीकरण सुटल्यासारखेंच आहे. हें समीकरण सोडविण्यास झ =   असें समजूं.
याचा घन करून व पक्षांतरनयन करून व या झच्या किंमतीचा एकदां उपयोग करून
 
आतां यातील व मूळच्या गुणकांची तुलना केली असतां ३Öप ३ Öफ = -- च, प + फ = छ
म्हणून प = १/२ (-छ + Öछ२ + ४च३)

व फ = १/२ (-छ -- Ö छ२ + ४च३)
आणि जर ३Öफ ची –च/३Ö प ही किंमत लिहिली तर झ = ३Öप+ -च/२Öप हें
झ३ + ३ च झ +छ = ० या समीकरणाचें बैजिक उत्तर आलें. आणखी ३Öप च्या
३Öप, * ळ Öप व ळ२ ३Öप या तीन किंमती आहेत म्हणून झ च्या
३Öप+३ -- च/Öप;  ळ ३Öप+ळ --च/३Öप’ ळ२ ३Öप+ळ --च/३Öप या तीन किंमती आल्या. (येथें *ळ हें १ चें काल्पनिक घनमूळ आहे.)

घनसमीकरण सोडविण्याची वर दिलेली रीत कार्डनची रीत म्हणून प्रसिद्ध आहे व ती त्यानें आपल्या 'आर्स मॅग्ना' नामक ग्रंथांत १५४५ सालीं दिली होती. ही रीत कार्डननें टार्टालिया नांवाच्या गणित्याकडून घेतली होती. परंतु ही रीत १५०५ सालीं सिपिओ फेरीओ नांवाच्या गणित्यानें मूळ शोधून काढिली असावी असें पुष्कळांचें मत आहे.

परंतु जेव्हां घनसमीकरणाचीं तिन्हीं मूलें वास्तविक असतात तेव्हां छ२+४च३ हें ॠणात्मक असलें पाहिजे. व अंकगणितांत ॠणात्मक संख्यांचें वर्गमूळ काढण्याची कांहीं सोय नसल्यानें केवळ अंकगुणक समीकरण सोडविण्याच्या कामीं (तिन्हीं मूलें वास्तविक असल्यास) कार्डनच्या रीतीचा कांहीं उपयोग नाहीं.

या बाबतींत त्रिकोणमितीचा उपयोग करून तिन्ही वास्तविक मूलें अंकगणिताच्या परिभाषेंत मांडतां येतात.

दुसरी रीतः-  झ३ + ३ च झ + छ = ० हें समीकरण डावी बाजू दोन घनांच्या अंतरांच्या स्वरूपांत लिहून सोडवितां येते.

तिसरी रीतः- मूलांच्या समप्रमाणांत फलांचा उपयोग करून घनसमीकरण सोडविण्याची रीति अगदीं मूलभूत आहे. समजा अ क्ष३ + ३ब क्ष२ + ३ क क्ष + ड = ० या समीकरणाची अ१, अ२, अ३ हीं मूलें आहेत. आतां १/३ {अ१ + अ२ + अ३ + भ (अ१ + ळ अ२ + ळ२अ३) + भ२ (अ१ + ळ२अ२ + ळ अ३)}
यांत भ ला अनुक्रमें १, ळ२, ळ या किंमती दिल्यास अ१, अ२, अ३ येतात. म्हणून जर भ(अ१ + ळअ२ + ळ२अ३) व भ२ (अ१ + ळ२ अ२ + ळ अ३) हीं फलें समीकरणाच्या गुणकांच्या भाषेंत मांडतां आलीं तर तें सुटल्यासारखें आहे. यांत अ१ + ळ  अ२ + ळ२ अ३ = त, अ१ + ळ२ अ२ + ळ अ३ = थ असें मांडून
त३ + य३ = .. २७ छ/अ३ व तथ = - ९ च/अ२ असें सिध्द करतां येतें.
व म्हणून त३, थ३ हीं ठ२ + ३३छ/अ३ ट-३६ च३/अ६ = ०

या समीकरणाचीं मूलें आहेत. म्हाजे त व थ च्या किंमती अ ब क ड या गुणकांच्या भाषेंत निघाल्या व त्यांच्या साहाय्यानें अ१, अ२, अ३ हीं सर्व अ ब क ड च्या भाषेंत आणतां येतात.

चतुर्घातसमीकरणें सोडविण्याच्या बैजिक रीतीः पहिली (ऑयलरची) करणात्मक रीति -
अ०क्ष४ + ४ अ१क्ष३ + ६ अ२क्ष२ + ४अ३क्ष + अ४ = ० हें समीकरण झ४ + ६ च झ२ + ४ छ झ + अ२ इ - ३च२ = ० या स्वरूपांत नेहमीं आणतां येतें. झ समीकरण सोडविण्यास कल्पना करा कीं
झ =   याचा वर्ग करून पक्षांतरनयन करून पुन्हां वर्ग करून रुप दिल्यास व मूळच्या झ समीकरणाशीं तुलना केल्यास प + फ + ब = -३च
पफ + फब + बप = ३ च२ अ२इ/४
Öप Öफ Öब = छ/२ म्हणून प, फ, ब हीं ट३ + ३चट२ + { ३च२ .. अ०इ/४} ट-- छ२/४=०
या समीकरणाचीं मूलें आहेत. या घनसमीकरणास ऑयलरचें घनसमीकरण म्हणतात. व छ२ + ४ च३ = (अ२० थ लिहून या समीकरणाचें रूपांतर ४अ३० – इ अ० थ + ज = ० ... ... ... (२) असें घन समीकरण येतें. यास लघु घनसमीकरण (रिड्यूसिंग क्यूबिक) म्हणतात.चतुर्घातसमीकरणें सोडविण्याच्या प्रत्येक रीतींत हें सोडवावें लागतें. याचीं मूलें थ१, थ२, थ३ आहेत अशी कल्पना केल्यास
ट =   याच्या योगानें
प =  
फ =  
ब =  
व म्हणून
झ =  
यांतील करण्यांची सामान्यता पूर्ण नाहीं. या करण्यांनां ± ही चिन्हें दिल्यास एक तर ८ उत्तरें येतील पण
Öप Öफ Öब †   ही अट असल्यामुळें या करण्यांनां पूर्ण स्वातंत्र्य नाहीं म्हणून चारच उत्तरें येतात
दुसरी करण्यात्मक रीतः-

येथें झ = Öप Öफ + Öफ Öब + Öब Öप
अशी कल्पना करून व याचा वर्ग करून पक्षांतरनयन केल्यावर पुनः वर्ग करून मूळ झ समीकरणाशीं तुलना केल्यास मागच्याप्रमाणें प, फ, ब यांची किंमत देणारें धनसमीकरण येतें व त्याचें ऑयलरच्या धनसमीकरणांत किंवा लघुसमीकरणांत रूपांतर करितां येतें व मूळच्या समीकरणाचीं मूलें प फ ब च्या मदतीनें मांडतां येतात. या रीतीचा विशेष इतकाच आहे कीं, यांतील करणीगत राशींनां चिन्हांची पूर्ण स्वतंत्रता आहे.

तिसरी रीत चतुर्घातसमीकरणाचे दोन द्विघातीय अवयव पाडून सोडविण्याची आहे. हिला फे-यारीची किंवा सिम्सची रीत म्हणतात.
यांत अ०क्ष४ + ४अ२ क्ष३ + ६ अ२क्ष२ + ४ अ३क्ष + अ४ = (अ१क्ष२ + २ अ१क्ष + अ२ + २अ० थ)२ - (२ म क्ष + न)२ असें समजतात व दोन्ही पक्षांतील क्ष घातांच्या गुणकांची तुलना करून
म२= अ२/१ - अ०अ२ +अ२०थ
म न = अ१ अ२ – अ० अ३) + २ अ०अ१ थ
न१ = (अ२ + २ अ०थ)३ - अ० अ४
अशीं समीकरणें येतात यांतून म व न काढून टाकिल्यास जें समीकरण येतें तें लघु घनसमीकरणच येतें.
चवथी डेकार्टची अवयव पाडण्याची रीतः - यांत दिलेलें समीकरण
अ० (क्ष२ + २ पक्ष + फ) (क्ष२ + २ पक्ष + फ) या रूपांत लिहितात. व गुणकांची तुलना करून
प + प = २ अ१/अ० १ फ + फ + ४ पप = ६ अ२/अ०
प फ + पफ = २ अ३/अ० व फ फ = अ४/अ०   अशीं चार समीकरणें येतात.
नंतर पपं = थ किंवा फ+ फ = थ अशीं कल्पना करून वरच्या चार समीकरणांच्या मदतीनें पुन्हां  लघुघनसमीकरण येतें.

चतुर्घातसमीकरणें सोडविण्याच्या आणखी दोन बैजिक रीती आहेत.  त्यांपैकीं एकींत चतुर्घातसमीकरणास व्यतिहारसमीकरणांचें रूप देतात व दुसरींत मूलांच्या समप्रमाणफलांचा उपयोग करून समीकरण सोडवितात. पण स्थलाभावास्तव त्यांचे विवेचन येथें करणें शक्य नाहीं.

चतुर्घातसमीकरणांच्या पलीकडे बैजिक सिद्धांताची मजल पोहोंचली नाहीं. चतुर्घातांच्या पलीकडील समीकरणांचें बैजिक सारणीरूपानें उत्तर काढणें शक्य नाहीं हें अबेल नांवाच्या गणितशास्त्रवेत्त्यानें सिद्ध केलें आहे व तें हल्लींच्या गणिती लोकांनीं मान्य केलें आहे. पुढें संख्यागुणकसमीकरण प्रकरणांत दिलेल्या संख्यागुणकसमीकरणाचें एखादें मूळ बहुतांशीं बरोबर कसें काढतां येतें याचा विचार केला जाईल. पण ही गोष्ट ठाम आहे की पंच किंवा अधिक घातसमीकरणाच्या उत्तरांच्या बैजिक सारण्या नाहींत व त्या असणें शक्य नाहीं.

सं ख्या स मी कर ण, मूलसान्निध्यमर्यादाः-
क्षन + अ१ क्षन - १ + अ२ क्षन - २ + ... अन - १क्ष + अन = ०

या समीकरणांत जर पहिला ॠणात्मक गुण -१ अर असेल व सर्वांत मोठा ॠणात्मक गुणक -अक असेल तर रÖअक+१  यापेक्षां मोठें धनात्मक मूल त्या समीकरणास असणार नाहीं.

ज्या क्ष च्या किंमतीनें क्षन > अक (क्षन - र + क्ष न - र - १ + (क्ष + १) > अक क्षन-र+१-१/क्ष-१
होईल त्या किंमतीने फ (क्ष) घनात्मक खास होईल. क्ष च्या १ हून अधिक किंमतींचाच विचार केला असतां क्षन > अक क्षन-र+१/क्ष-१
किंवा क्षन + १ ... क्षन > अक क्षन - र - १
किंवा क्षर - १ ... (क्ष - १) > अक  ही अट पुरी झायास मूळची अट पुरी होईल.
पुन्हां शेवटची अट (क्ष - १)र - १ (क्ष - १) = किंवा > अक असल्यास पुरी होईल. म्हणजे क्ष = किंवा > १ + र अक असला तरी पुरे आहे.
दुसरा मर्यादासिद्धांतः-
जर समीकरणांतील प्रत्येक ॠणात्मक गुणक धनात्मक मानून त्यास त्याच्या आधीं येणा-या सर्व गुणात्मक गुणकांच्या बेरजेनें भागिलें तर अशा रीतीनें सर्वांत मोठा जो भागाकार येईल तो धनात्मक मूलांची वरची मर्यादा असतो.

तिसरा सिद्धांतः- जर क्ष च्या जागीं एखादी संख्या लिहून फ(क्ष), फब, (क्ष) ... फन (क्ष) म्हणजे फ(क्ष) व त्याची पहिली न व्युत्पन्न फलें सर्व धनात्मक होतील तर ती संख्या फ(क्ष) = ० या समीकरणाच्या धनात्मक मूलांची वरची मर्यादा आहे.

दुसरा व तिसरा हे दोन सिद्धांत नुसते दिले आहेत. त्यांची सिद्धता येथें देत बसण्यास जागा नाहीं. धनात्मक मूलांची खालची मर्यादा हवी असल्यास प्रथम क्ष = १/य  असें घालून समीकरण बदलावें व नवीन समीकरणाची धनात्मक मूलांची वरची मर्यादा काढावी म्हणजे मूळच्या समीकरणांच्या धनात्मक मूलांची खालची मर्यादा येते. तसेंच ॠणात्मक मूलांच्या मर्यादा हव्या असतील तर प्रथम क्ष = -क्ष लिहून समीकरण बदलावें व नव्या समीकरणाच्या धनात्मक मूलांच्या दोन्ही मर्यादा काढाव्यात व त्यांचीं चिन्हें बदललीं असतां त्याच मूळच्या समीकरणाच्या ॠणात्मक मूलांच्या मर्यादा होतात.

संख्यासमीकरणांची वास्तविक मूलें परिमेय (काँमेन्युरेबल) किंवा अपिरमेय (इन्काँमेन्सुरेबल) असतील. परिमेयांत पूर्णांक, अपूर्णांक, दशांश (साधे किंवा आवर्त व सर्वांची गणना होते. अपरिमेयांत अनंत दशांश अपूर्णांकांची गणना आहे. मूळ परिमेय असल्यास तें नक्की काढतां येतें पण तें अपरिमेय असल्यास अंदाजी उत्तरावरच भागवून घ्यावें लागतें. आतां हें अंदाजी उत्तर अधिक दशांश स्थळें घेऊन मूलाच्या ख-या किंमतीच्या जवळ जवळ नेतां येतें ही गोष्ट खरी आहे. तरी खरें नक्की उत्तर अनंत दशांश स्थळांचें असल्यामुळें तेथपर्यंत पोहोंचणें शक्य नाहीं.

परिमेयमूलांत पूर्णांकरूप मूलें काढणें हें महत्त्वाचें आहे. समीकरणाचें रूपांतर करून भिन्नात्मक मूल असल्यास मूळशोधन पूर्णांक रूपांतच आणतां येतें. त्यामुळें पूर्णांकात्मक मूलें काढण्याच्या कृतीकडे जास्त लक्ष पुरविलें आहे.

न्यूटनची भाजकपद्धतिः-
फ(क्ष) = अ०क्षन + अ१ क्षन - १ + ... अन = ० या समीकरणाचें ह हें पूर्णांकात्मक मूल आहे असें समजा म्हणजे क्ष - ह नें फ (क्ष) ला भाग जातो म्हणून क्ष-ह भागिल्यावर ब० क्षन - १ + ब१ क्षन - २ + ... ...  बन - १ ला भागाकार येतो असें मानल्यास हार्नरच्या पद्धतीनें
अ० = ब०, अ१ = ब१ -ह ब०    ...    ...
अन - १ = बन - १ -ह बन - २
अन = -ह बन - १
अशीं समीकरणें येतात. अन ला ह नें भाग गेला पाहिजे हें शेवटच्या समीकरणावरून उघड आहे. त्याच्या मागच्यावरून
अन-१+ अन/ह = -ह बन – २
म्हणजे अन-१ + अन/ह यास ह नें भाग जातों हे उघड आहे.
असेंच उलट गेल्यास शेवटचा भागाकार ब० येतो व ब० = अ० आहे.
अन चे सर्व अवयव घेऊन ही भागाकाराची कृति केली तर प्रत्येक वेळीं पूर्णांकात्मक भागाकार येत गेल्यास व शेवटीं अ० आल्यास तो अवयव त्या समीकरणाचें मूल आहे. जर मध्येंच अपूर्णांकात्मक भागाकार येईल तर तो अवयव मूल नाहीं म्हणून सोडून द्यावा.
कृतीची मांडाणी पुढें दिल्याप्रमाणें करितात.
अन    अन - १    ...    ...    अ२    अ१    अ०
    -बन - १    ...    ...    -ब२    -ब१    -ब०
-ह बन - २    ...    ...    -ह ब१    -ह ब०    ०

पहिल्या ओळींत अन पासून अ० पर्यंतचे सर्व गुणक क्रमानें मांडले आहेत. अन ला ह नें भागिलें तर -बन - १ येतो. -बन - १ व अन - १ ची बेरीज केली असतां -ह बन - २ येतो. यास ह नें भागून अन - २ मध्यें मिळविल्यास -ह बन - ३ येतो. तसेंच पुढें करीत जावयाचें.

उदाहरणः – क्ष४ - २ क्ष३ - १३ क्ष२ + ३८ क्ष - २४ = ० याचीं पूर्णांकात्मक मूलें काढा. ४ हें मूल आहे कीं काय पाहूं.
-२४    ३८    -१३    -२    १
    -६    ८
__________________________________
    ३२    -५

आतां -५ ला ४ नीं बरोबर भाग तुटत नाहीं म्हणून ४ हें मूल नाहीं.

आतां ३ आहे कीं नाहीं पाहूं.
-२४    ३८    -१३    -२    १
    -८    १०    -१    -१
    ३०    -३    -३    ०

म्हणून ३ हें मूल आहे.

या कृतींत क्ष - ३ नीं फ (क्ष) ला भागून आलेला भागाकार आपोआपच मिळतो म्हणून दुसरी संख्या मूल आहे कीं नाहीं हें बघण्यास आपण या दुस-या बहुराशिकाचा उपयोग करूं शकतों. फक्त गुणकांचीं चिन्हें बदलून मांडलीं म्हणजे झालें. आतां  २ हें मूल आहे कीं काय पाहूं.

+८    -१०    +१    +१
    ४    -३    -१
­____________________________
    -६    -२    ०
२ हें मूल आहे. पुन्हां पूर्वीप्रमाणेंच नवीन बहुराशिकाचे गुणक घेऊन -२ हें मूल नाहीं. कारण
--४    २    १
    २
_________________
    ५
यांत ४ स -२ नें बरोबर भाग जात नाहीं.
आतां -४ हें मूल आहे कीं काय पाहुं.
-४    १    १
    १    -१
     __________
    ४    ०

म्हणून -४ हें मूल आहे, २, ३, -४ हीं मूलें आहेत हें सिद्ध झाल्यावर ठरलेला अवयव क्ष - १ हा आपोआपच मिळतो. म्हणून १, २, ३ व -४ हीं मूलें आहेत.

न्यूटनची अंदाजी उत्तर काढण्याची रीतः - जेव्हां वास्तविक मूलांची किंमत अपरिच्छिन्न दशांश अपूर्णांक असते तेव्हां त्यांची नक्की किंमत काढणें शक्य नाहीं पण हव्या तितक्या दशांश स्थलांपर्यंत बरोबर असें उत्तर काढतां येतें. या कामीं उपयोगी पडणा-या दोन रीती आहेतः एक न्यूटनची व दुसरी हॉर्नरची. न्यूटनची रीत संख्यागुणक समीकरणांच्या बाबतींत इतकी व्यवहार्य नाहीं व संख्यागुणक समीकरणाचें अपरिमेय मूल काढण्याला हार्नरच्याच रीतीचा नेहमी अवलंब केला जातो. पण न्यूटनच्या रीती व मूल सान्निध्य फार जलद होतें व न्यूटनची रीत नुसत्या संख्यागुणक समीकरणासच लागू आहे असें नाहीं. तर ज्यामध्यें अबैजिक (ट्रॅन्सेंडेंटल) फलें येतात अशा समीकरणाचें सुद्धां मूल काढण्याच्या कामीं उपयोगी आहे.

न्यूटनची रीत अशी आहेः - फ(क्ष) = ० या समीकरणाच्या मूलांची सरासरी किंमत अ आहे व खरी किंमत अ + ह आहे व ह अगदीं सूक्ष्म आहे असें समजा. ज्याअर्थी मूळाची अ + ह ही खरी किंमत आहे त्याअर्थी फ(अ + ह) = ०
किंवा टेलरच्या सिद्धांतानें विस्तार करून
 
आतां ह सूक्ष्म असल्यामुळें ह२, ह३ ... वगैरे पदें गाळल्यास फ (अ) + ह फ(अ) = ०
म्हणून ह ची सरासरी किंमत -    आहे.
किंवा क्ष = अ + ह
= अ- फ(अ)/फ(अ) ... ...  (१) लें मूत्रसान्निध्य या क्ष च्या किंमतीला ब समजून पुढचें मूलसान्निध्य
  ... ...२ रें मूलसान्निध्य

उदाहरणार्थ क्ष३ - २क्ष - ५ = ० याचें २ व ३ च्या दरम्यान असणारें मूळ काढा. मूलमर्यादा याहिपेक्षां आकुंचित केल्यास आढळून येतें कीं मूल २ व २.२ यांच्यामध्यें आहे. म्हणून सिद्धांतांतील अ = २.१ घेतला. तर
फ (अ)     फ(२.१)
--------- =  ----------- ०.००५४३
फ (अ)     फ(२.१)
म्हणून पहिल्या दजार्चें मूलसान्निध्य
२.१.-०.००५४३ =  २.०९४६ याला ब समजून
  ची किंमत काढली तर
२.०९४५५१४८ हें पूढचें मूलसान्निध्य येतें.

जेथें हार्नरची रीत लागू पडत नाहीं अशीं दोन उदाहरणें पुढें दिलीं आहेत.
(१)    क्ष + ज्या (क्ष) - π/३ = ०
(२)    क्ष = स्प (क्ष)
हार्नरची संख्यासमीकरणें सोडविण्याची रीतः - या रीतीनें परिमेय व अपरिमेय मूलें काढतां येतात.

उत्तर अंकगणितांतील भागाकाराप्रमाणें एक एक अंकानें येत जातें. प्रथम पूर्णांक (असल्यास) व नंतर दशांश स्थळें येतात. दशांश परिच्छिन्न असल्यास कृति आपोआप थांबते. मूल अपरिमेय असल्यास वाटेल तितकीं दशांशस्थळें काढावींत. हीं कृति वर्गमूळ व घनमूळ काढण्याच्या रीतीसारखीच आहे. वस्तुतः या रीती हार्नरच्या रीतीच्या अंगभूतच आहेत. कारण हार्नरच्या रीतीनें ती समीकरणें सोडविलीं तरी तेंच उत्तर येणार.

विवक्षित संख्यांनीं दिलेल्या समीकरणांच्या मूलांची किंमत कमी करीत जाणें हेंच हार्नरच्या रीतीचें मुख्य तत्त्व आहे. या रीतीचा मोठा फायदा हा आहे कीं, तत्संबंधीं सर्व गणित आटोपशीर रूपांत मांडतां येतें आणि पहिल्यापासून शेवटपर्यंत एकाच कृतीनें उत्तर काढतां येतें. हें मूललाघव तत्त्व एका सोप्या उदाहरणानें दाखविलें आहे.

४ क्ष३ - १३ क्ष२ – ३१ क्ष - २७५ = ० या समीकरणाचें धनात्मक मूल काढा. आधीं कृति लिहिली आहे.
४     -१३        -३१        -२७५
    २४        ६६        २१०
    ११        ३५        -६५०००
    २४        २१०        ५१३९२
    ३५        २४५००        -१३६०८०००
    २४        ११९६        १३६०८०००
    ५९०        २५६९६        ०
    ८        १२१२
    ५९८        २६९०८००
    ८        ३०८००
    ६०६        २७२१६००
    ८
    ६१४०
    २०  (६.२५ हें उत्तर)
    ६१६०.
प्रथम दिलेल्या समीकरणाचे गुणक ओळीनें मांडावेत. वरील समीकरणाचें मूल ६ व ७ दरम्यान आहे हें अजमावून काढलें. म्हणून ६ नें कमी मूलें असलेलें समीकरण ४ क्ष३ + ५९० क्ष२ + २४५ क्ष - ६५ = ० आलें.  मूळच्या समीकरणाचें मूल ६ व ७ यांच्यामध्यें आहे म्हणून या समीकरणाचें मूल ० व १ यांच्यामध्यें असलें पाहिजे. म्हणजे अपूर्णांक असलें पाहिजे. अपूर्णांकांनीं हार्नरची कृति करणें तितकें सोईचें नाहीं, म्हणून या समीकरणाच्या मूलांची दसपट केली म्हणजे ४ क्ष३ + ५९० क्ष२ + २४५०० क्ष - ६५००० = ० हें समीकरण आलें. याचें मूल शून्य व १० च्यामध्यें असलें पाहिजे. २ व ३ याच्यामध्यें एक मूल असलें पाहिजे हें दिसून येतें. म्हणून या समीकरणाचीं मूलें पुन्हां २ नें कमी केली तेव्हां ४ क्ष३ + ६१४ क्ष२ + २६९०८ क्ष - १३६०८ = ० हें समीकरण आलें. याचीं मूलें पूर्णांकात्मक करण्यास मूलाची दसपट केली तर
४ क्ष३ + ६१४० क्ष२ + २६९०८०० क्ष - १३६०८००० = ० हें समीकरण आलें. याचें मूल शोधतां ५ हें मूल आहे असें आढळतें. कारण ५ नें जर मूलें कमी केलीं तर येणा-या समीकरणाचें मूल ० होतें. तेव्हां मूळच्या समीकरणाचें मूल ६.२५ आहे.

संख्यासमीकरणें सोडविण्यास हार्नरच्या रीतीच्या तोडीची दुसरी रीत नाहीं. केव्हां केव्हां फार दशांश स्थळें काढावयाचीं असली तर संक्षिप्त भागाकाराप्रमाणें आंकडे टाकीत जातात. केव्हां केव्हां हॉर्नरच्या रीतीनें कांहीं दशांश स्थळें काढून पुढची न्यूटनच्या पद्धतीनें काढितात. कधीं कधीं हॉर्नरच्या पद्धतीनें मूलशोधन करीत असतां मध्येंच त्या भागाकारानें पुढचीं दशांशस्थळें काढतां येतात.

जेव्हां दोन मूलें एकमेकांशीं बहुतेक अंशीं बरोबर असतात. तेव्हां न्यूटनच्या रीतीचा फारसा उपयोग होत नाहीं. व हॉर्नरच्या पद्धतींत सुद्धां ही अडचण अजीबात नाहीशीं होत नाहीं. पण हॉर्नरच्या रीतींत सावधगिरी ठेवल्यास दोन्हीं मूलें बरोबर काढतां येतात. याशिवाय लाग्रांजनें अंदाजी उत्तर काढण्याची आणखी एक रीत दिलेली आहे. तींत उत्तर सततभिन्नाच्या रूपांत येतें. पण ही रीत हॉर्नरच्या रीतीइतकी उच्च दर्जाची नाहीं, म्हणून ती येथें उदाहृत केली नाहीं.

चतुर्घात समुकरणें:- हीं सोडवितांनां येणारें जें लघुघनसमीकरण (रिडयूसिंग क्यूबिक इक्वेशन) त्याचें एक मूल परिमेय असल्यास डेकार्ट व फेरारीच्या रीतींनीं व चतुर्घातसमीकरण सोडवितात. इतर पक्षीं हार्नरच्याच कृतीचा आश्रय केला पाहिजे.

फेरारीची रीतः - समजा
क्ष४ + २ पक्ष३ + फक्ष२ + २ बक्ष + भ = ०
प्रत्येक पक्षांत (अक्ष + म)२ मिळवून
क्ष४ + २ पक्ष३ + (फ + अ२) क्ष२ + २ (ब + अम)क्ष + भ + म२ = (अक्ष + म)२
डावी बाजू पूर्ण वर्ग आहे असें समजल्यास ती
(क्ष२ + पक्ष + क)२ या स्वरूपाची असली पाहिजे. मग अनिश्चित गुणकाच्या तत्त्वाप्रमाणें
प२ + २ क = फ + अ३     ... (१)
पक = ब + अम         ... (२)
क२ = भ + म२         ... (३)
यांतून अ व म नाहीसें केल्यास
(प क - ब) २ = (क२ - भ) (२ क + प२ - फ) किंवा २ क३ – फक२ + २(पब - भ) क + प२ भ - फभ – ब२ = ०

या घनसमीकरणाचें वास्तविक मूल काढून अ व ब ची किंमत निघते. व चतुर्घात समीकरण
(क्ष२ + पक्ष + क) २ = (अक्ष + म) २  किंवा क्ष२ + पक्ष + क  = ± (अक्ष + म)
म्हणजे चतुर्घातसमीकरण दोन वर्गसमीकरणें सोडवून सोडवितां येतें. उदाहरणः -
क्ष४ - २ क्ष३ - ५ क्ष२ + १० क्ष - ३ = ०
दोन्ही बाजूंस (अक्ष + म)२  मिळवून डावी बाजू
क्ष४ - २ क्ष३ + (अ२ - ५) क्ष२ + २ (अम + ५) क्ष + म२ - ३ = (क्ष२ - क्ष + क) २ असें समजा.

गुणकांची तुलना करून अ२ = २ क + ६, अम = क - ५, म२ = क२ + ३ म्हणून (२क + ६) (क२ + ३) = (क + ५) २ किंवा २ क३ +५ क२ - ४ क - ७ = ० याचें क = -१ हें मूल आहे म्हणून अ२ = ४ व म२ = ४ व अम = -४ येतात म्हणजे मूळचें समीकरण
(क्ष२ - क्ष - १)२ = ± (२क्ष - २)२
यावरून क्ष च्या किंमती  
डेकार्टची रीतः - प्रत्येक चतुर्घातसमीकरण क्ष३ पदाशिवाय मांडतां येतें म्हणून क्ष४ - २ क्ष२ + ८ क्ष - ३ = ० हें समीकरण घेतल्यास
क्ष४ - २क्ष२ + ८ क्ष - ३ = (क्ष२ + कक्ष + ल) x (क्ष२ - कक्ष + म) अशी कल्पना करूं गुणकांची तुलना केली असता
ल + म – क२ = -२, क(म - ल) = ८, लम = -३; म्हणून
(क३ - २क + ८) (क३ - २क - ८) = -१२क२ किंवा क६ - ४क४ + १६क२ - ६४ = ०

हें (क२) चें घनसमीकरण आलें. याचें क२ = ४ हें मूल आहे म्हणून क = ± २, ल = -१ व म = ३ म्हणून दिलेलें समीकरण
(क्ष२ + २क्ष - १) (क्ष२ - २क्ष + ३) = ०

या स्वरूपांत मांडतां येतें. हीं वर्गसमीकरणें सोडवून चार उत्तरें येतील तीं मूळच्या चतुर्घातसमीकरणाचीं मूलें आहेत. (लेखक प्रो. एस. बी. बेलेकर)        

   

खंड २० : व-हाड - सांचिन  

 

 

 

  वलवनाड
  वल संस्थान
  वल्लभाचार्य
  वल्लभीचा मैत्रकवंश
  वल्लभ्
  वसई
  वसिष्ठ
  वसु
  वसुदेव
  वहना
  वहाबी
  वक्षनिदान
  वाई
  वाकाटक राजे
  वांकानेर संस्थान
  वांगारा
  वांग
  वाग्भट्ट
  वाघ
  वाघरी
  वाघांटी
  वाघेल राजे
  वाघोलीकर, मोरो बापूजी
  वाघ्या
  वाघ्रा
  वाचनालयें
  वाचस्पतिमिश्र
  वाचाभंग
  वांटप
  वाटल
  वाटाणा
  वाडाइ
  वाडें
  वाणी
  वात
  वात्स्यायन
  वांदिवाश
  वाद्यें
  वांद्रें
  वांबोरी
  वामदेव
  वामन
  वामन पंडित
  वामनस्थळी
  वायनाड
  वायलपाद
  वायव्य सरहद्द प्रांत
  वायुपुराण
  वायुभारमापक
  वायूचे रोग
  वारकरी पंथ
  वारली
  वारसा
  वार्सा शहर
  वालखिल्य
  वालपापडी
  वालपोल, होरेशिओ
  वालरस
  वालाजापेट
  वाली
  वाल्मिकि
  वाल्हें
  वाशिंग्टन
  वॉशिंग्टन, जॉर्ज
  वॉशिंग्टन, बुकर टी
  वाशिम
  वासवा
  वा संस्थानें
  वासुकि
  वासुदेव
  वासोटा
  वास्तुसौंदर्यशास्त्र
  वाहीक
  वाळवें
  वाळा
  विकर्ण
  विक्रमपूर
  विक्रमसंवत् व विक्रमादित्य
  विंचावड
  विचित्रवीर्य
  विंचू
  विंचूर
  विंचेस्टर
  विजयगच्छ
  विजयदुर्ग
  विजयादशमी
  विजयानगर
  विजयानगरचें घराणें
  विजयानगरम्
  विजापूर
  विझगापट्टम्
  विटेनबर्ग
  विठ्ठल कवी
  विठ्ठल शिवदेव विंचूरकर
  विठ्ठल सुंदर परशरामी
  विंडबर्ड बेटे
  विंडसर
  विणकाम अथवा विणणें
  वित्तेश्वर
  विदुर
  विदुला
  विदेह
  विद्याधर
  विद्यापीठें
  विद्युत्
  विंध्यपर्वत
  विनायकी लिपी
  विनुकोंडा
  विमा
  विमान
  विरपुर
  विरमगांव
  विरवन्नलूर
  विराट
  विल्यम राजे
  विल्यम्स, सर मोनीयर
  विल्लुपुरसम्
  विल्यन वुड्रो
  विल्सन, होरेस हेमन
  विल्हेल्म्स हॅवन
  विवस्वान्
  विवाह
  विवेकानंद
  विशाळगड किल्ला
  विशाळगड संस्थान
  विशिष्टाद्वैत
  विश्वकर्मा
  विश्वनाथ
  विश्वब्राह्मण
  विश्वसंस्था
  विश्वामित्र
  विश्वासराव पेशवे
  विश्वेदेव
  विश्वोत्पत्ति
  विश्वोत्पत्ति
  विषें व विषबाधा
  विष्णु
  विष्णु गोविंद विजापूरकर
  विष्णुदास नामा
  विष्णुपुराण
  विष्णुस्मृति
  विसनगर
  विसोबाखेचर
  विज्ञानशास्त्र
  विज्ञानेश्वर
  वीरपूर
  वीरवल्ली
  वीरशैव उर्फ लिंगायत
  वीरावळ
  वूलर सरोवर
  वूलवरहॅस्टन
  वूलिच
  वृत्तपत्रें
  वृत्तें
  वृत्र
  वृन्दसंगीत
  वृंदावन
  वृद्धाचलम्
  वृक्षसंवर्धन
  वेंगी देश
  वेंगुर्लें
  वेणूबाई
  वेत
  वेद
  वेदांत
  वेदारण्यम्
  वेद्द
  वेधशास्त्र
  वेरुळ
  वेलदोडे
  वेलन
  वेलबोंडी
  वेलस्टी रिचर्ड कॉली, मार्किंस
  वेलिंग्टन
  वेलिंग्टन, आर्थंर वेलस्ली
  वेल्लाळ
  वेल्लोर
  वेल्स
  वेश्याव्यवसाय
  वेस्टइंडिज बेटें
  वेस्ले, जॉन
  वैतरणी
  वैदु
  वैराट
  वैवस्वत मनु
  वैशंपायन
  वैशाली-विशाल
  वैशेषिक
  वैश्य
  वैष्णव संप्रदाय
  व्यंकटगिरी
  व्यंकटाध्वरी
  व्यंकोजी
  व्यापार
  व्यायाम
  व्रत
  व्हर्जिन बेटें
  व्हर्जिल
  व्हल्कन
  व्हिएन्ना
  व्हिक्टोरिया
  व्हिक्टोरिया निआंझा
  व्हिक्टोरिया फॉल
  व्हिलिंजस्
  व्हेनिस्
  व्हेनेझुएला
  व्हेपिन
  व्हेसुव्हियस
  व्होल्टा अल्सान्ड्रो
  व्होल्टेअर
 
  शक
  शंकराचार्य
  शंकुतला
  शकुनि
  शक्तिसंस्थान
  शंतनु
  शत्रुघ्न
  शनि
  शब्दवाहक
  शरीरसंवर्धन
  शर्मिष्ठा
  शल्य
  शस्त्रवैद्यक
  शहाजहान
  शहाजी
  शहामृग
  शाई
  शांघाय
  शांतीपूर
  शान
  शारीर व इंद्रियविज्ञानशास्त्र
  शारीरांत्र गूहकसंघ
  शार्लमन चार्लस दि ग्रेट
  शालिवाहन राजे
  शालिवाहन शक
  शासनशास्त्र
  शाहू थोरला
  शिकॅगो
  शिखंडी
  शिंगाडा
  शिगात्झे
  शिंदे घराणें
  शिंपी
  शिबि
  शिरपुर
  शिर:शोणित मूर्च्छा
  शिराझ
  शिरूर
  शिरोंचा
  शिलर, जोहान ख्रिस्तोप
  शिलाजित
  शिलाहार राजे
  शिल्पकला
  शिव
  शिवगंगा
  शिवगिरि
  शिवदीनबावा
  शिवाजी
  शिशुपाल
  शिसें
  शिक्षणशास्त्र
  शीख
  शुक
  शुक्र
  शुंग घराणें
  शुजा
  शुन:शेप
  शुंभ निशुंभ
  शुश्रूषा
  शूर्पणखा
  शूलगव
  शृंगवरप्पुकोटा
  शृंगेरी
  शेक्सपिअर विल्यम्
  शेख
  शेखमहंमद
  शेख सादी
  शेगांव
  शेडबाळ
  शेफिल्ड
  शेले, पर्सी बायशे
  शेष
  शेळ्यामेंढ्या
  शैवसंप्रदाय
  शोण अथवा शोणभद्रा
  शोपेनहार
  श्रवणबेळगोळ
  श्रीधरस्वामी
  श्रीनगर
  श्रीरंगम्
  श्रीविल्लीपुत्तूर
  श्रीवैकुंठम्
  श्रीशैलम्
  श्लीपदरोग
  श्लेगेल
  श्वासनलिकादाह
  श्वेतांबर जैन
  श्वेताश्वतरोपनिषद
 
 
  संकटकतनु
  संकरनाइनार्कोयिल
  संकेश्वर
  सक्कर
  सखारामबापू
  संख्यामीमांसा
  संग
  संगड
  संगमनेर
  संगमेश्वर
  सगर
  संगीतशास्त्र
  संग्रहणी
  संघड
  संघसत्तावाद
  सच्छिद्रसंघ
  संजय
  संजारी
  सतलज
  संताळ परगणे
  सती
  सत्नामी
  सत्पंथ
  सत्यभामा
  सत्यवान
  संत्री-मोसंबी
  सदानंद
  सदाशिव माणकेश्वर
  सदाशिवरावभाऊ पेशवे
  संदिला
  संदोवे
  संद्वीप
  संधिपाद
  संधिवातरोग
  सॅन फ्रान्सिको
  सन्निपातज्वर
  संपगांव
  संपथर
  संपात
  संपातचलन
  सपृष्ठवंश
  सप्तशृंगी
  सफीपूर
  संबलपूर
  संभळ
  संभाजी
  संभाजी आंगरे
  समरकंद
  समशेर बहादूर
  समाजशास्त्र
  समाजसत्तावाद
  समीकरणमीमांसा
  समुंद्री
  सम्पत्ति
  सम्राला
  सयाम
  संयुक्त संस्थानें
  सय्यद
  सरकेशियन लोक
  सरगोधा
  सरधन
  सरस्वती
  सरहिंद
  सरक्षक जकातपद्धति
  सरैकेला
  सर्प
  सर्वसिद्धि
  सर्वेश्वरवाद
  सर्व्हिया
  सॅलोनिका
  सवर
  संशयवाद
  ससराम
  ससा
  संस्कार
  संस्कृति
  सस्तनप्राणी
  सहकारी संस्था
  सहदेव
  सहवासी ब्राह्मण
  सहसवन
  सहारा
  सह्याद्रि
  साऊथ वेस्ट आफ्रिका
  साकारिन
  साकोली
  साक्रेटीस
  साखर
  सांख्य
  साग
  सांगला
  सांगली संस्थान
  सागैंग, जिल्हा
  सांगोलें
  साघलीन
  सांचिन

 

   

यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान निर्मित महत्वपूर्ण संकेतस्थळे  

   

पुजासॉफ्ट, मुंबई द्वारा निर्मित
कॉपीराइट © २०१२ --- यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान, मुंबई - सर्व हक्क सुरक्षित .